Des articles

7.2 : Fonctions exponentielles et leurs graphes - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Identifier et évaluer les fonctions exponentielles.
  • Tracez le graphique des fonctions exponentielles et déterminez le domaine et la plage.
  • Identifier et représenter graphiquement la fonction exponentielle naturelle.
  • Appliquer les formules d'intérêt composé.

Fonctions exponentielles

À ce stade de notre étude de l'algèbre, nous commençons à examiner les fonctions transcendantales ou les fonctions qui semblent « transcender » l'algèbre. Nous avons étudié des fonctions à bases variables et à exposants constants tels que (x^{2}) ou (y^{−3}). Dans cette section, nous explorons les fonctions à base constante et à exposants variables. Étant donné un nombre réel (b > 0) où (b ≠ 1) an exponentiel une fonction5 a la forme,

(f(x)=b^{x} quad color{Céruléen}{Exponentielle:Fonction})

Par exemple, si la base (b) est égale à (2), alors nous avons la fonction exponentielle définie par (f (x) = 2^{x}). Ici, nous pouvons voir que l'exposant est la variable. Jusqu'à présent, les exposants rationnels ont été définis mais pas les exposants irrationnels. Considérons (2^{sqrt{7}}), où l'exposant est un nombre irrationnel dans la plage,

(2.64

Nous pouvons utiliser ces bornes pour estimer (2^{sqrt{7}}),

(2^{2.64}<2^{sqrt{7}}<2^{2.65})
(6.23<2^{sqrt{7}}<6.28)

En utilisant des exposants rationnels de cette manière, une approximation de (2^{sqrt{7}}) peut être obtenue à n'importe quel niveau de précision. Sur une calculatrice,

(2^{coin} sqrt{7} environ 6,26)

Par conséquent, le domaine de toute fonction exponentielle est constitué de tous les nombres réels ((−∞, ∞)). Choisissez des valeurs pour (x), puis déterminez les valeurs (y) correspondantes.

Tableau (PageIndex{1})
(X)(y)(f(x)=2^{x})(couleur{Céruléen}{Solutions})
(-2)(color{Céruléen}{frac{1}{4}})(y=2^{-2}=frac{1}{2^{2}}=frac{1}{4})(gauche(-2, frac{1}{4}droite))
(-1)(color{Céruléen}{frac{1}{2}})(y=2^{-1}=frac{1}{2^{1}}=frac{1}{2})(gauche(-1, frac{1}{2}droite))
(0)(color{Céruléen}{1} )(y=2^{0}=1)((0,1))
(1)(color{Céruléen}{2})(y=2^{1}=2)((1,2))
(2)(couleur{Céruléen}{4})(y=2^{2}=4)((2,4))
(sqrt{7})(couleur{Céruléen}{6.26})(y=2^{sqrt{7}} environ 6,26)((2.65,6.26))

Comme les exposants sont définis pour n'importe quel nombre réel, nous pouvons tracer le graphique en utilisant une courbe continue passant par ces points donnés :

Il est important de souligner que lorsque (x) s'approche de l'infini négatif, les résultats deviennent très petits mais n'atteignent jamais réellement zéro. Par exemple,

(f(-5)=2^{-5}=frac{1}{2^{5}} environ 0.03125)
(f(-10)=2^{-10}=frac{1}{2^{10}} environ 0,0009766)
(f(-15)=2^{-15}=frac{1}{2^{-15}} environ .00003052)

Ceci décrit une asymptote horizontale à (y = 0), l'axe (x), et définit une borne inférieure pour la plage de la fonction : ((0, ∞)).

La base (b) d'une fonction exponentielle affecte la vitesse à laquelle elle croît. Ci-dessous, nous avons représenté graphiquement (y = 2^{x} , y = 3^{x}) et (y = 10^{x}) sur le même ensemble d'axes.

Notez que toutes ces fonctions exponentielles ont la même (y)-interception, à savoir ((0, 1)). En effet, (f (0) = b^{0} = 1) pour toute fonction définie à l'aide de la forme (f (x) = b^{x}). Lorsque les fonctions sont lues de gauche à droite, elles sont interprétées comme augmentant ou augmentant de manière exponentielle. De plus, toute fonction exponentielle de cette forme aura un domaine composé de tous les nombres réels ((−∞, ∞)) et une plage composée de valeurs positives ((0, )) délimitée par une asymptote horizontale à (y = 0).

Exemple (PageIndex{1}) :

Esquissez le graphique et déterminez le domaine et l'intervalle : (f(x)=10^{x}+5).

Solution

La base (10) est souvent utilisée, notamment avec la notation scientifique. Par conséquent, (10) est appelé la base commune. En fait, la fonction exponentielle (y = 10^{x}) est si importante que vous trouverez un bouton (10^{x}) qui lui est dédié sur la plupart des calculatrices scientifiques modernes. Dans cet exemple, nous allons esquisser le graphe de base (y = 10^{x}) puis le décaler vers le haut de (5) unités.

Notez que l'asymptote horizontale du graphe de base (y = 10^{x}) a été décalée de (5) unités vers (y = 5) (en pointillés). Prenez une minute pour évaluer quelques valeurs de (x) avec votre calculatrice et vous convaincre que le résultat ne sera jamais inférieur à (5).

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((5, infty))

Considérons ensuite les fonctions exponentielles avec des bases fractionnaires (0 < b < 1). Par exemple, (f(x)=left(frac{1}{2} ight)^{x}) est une fonction exponentielle de base (b = frac{1}{2}) .

Tableau (PageIndex{2})
(X)(y)(f(x)=gauche(frac{1}{2}droit)^{x})(couleur{Céruléen}{Solutions} )
(-2)(couleur{Céruléen}{4} )(fleft(frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{-2}=frac{1^{-2}}{2 ^{-2}}=frac{2^{2}}{1^{2}}=4)((-2,4))
(-1)(color{Céruléen}{2})(fleft(frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{-1}=frac{1^{-1}}{2 ^{-1}}=frac{2^{1}}{1^{1}}=2)((-1,2))
(0)(color{Céruléen}{1})(fleft(frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{0}=1)((0,1))
(1)(color{Céruléen}{frac{1}{2}})(fleft(frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{1}=frac{1}{2})(gauche(1, frac{1}{2}droite))
(2)(color{Céruléen}{frac{1}{4}})(fleft(frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{2}=frac{1}{4})(gauche(2, frac{1}{4}droite))

Tracer les points que nous avons,

En lisant le graphique de gauche à droite, il est interprété comme décroissant de façon exponentielle. La base affecte la vitesse à laquelle la fonction exponentielle diminue ou décroît. Ci-dessous, nous avons représenté graphiquement (y=left(frac{1}{2} ight)^{x}, y=left(frac{1}{3} ight)^{x}), et (y=left(frac{1}{10} ight)^{x}) sur le même ensemble d'axes.

Rappelons que (x^{-1}=frac{1}{x}) et ainsi nous pouvons exprimer des fonctions exponentielles avec des bases fractionnaires en utilisant des exposants négatifs. Par exemple,

(g(x)=gauche(frac{1}{2} ight)^{x}=frac{1^{x}}{2^{x}}=frac{1}{2 ^{x}}=2^{-x})

De plus, étant donné que (f (x) = 2^{x}) nous pouvons voir (g(x)=f(-x)=2^{-x}) et pouvons considérer (g) être un reflet de (f) sur l'axe (y).

En résumé, étant donné (b > 0)

Et pour les deux cas,

(egin{aligned}color{Cerulean} { Domaine :}&(-infty, infty) color{Cerulean} { Plage : }&(0, infty) color{Cerulean} { y-intercept : }&(0,1) color{Cerulean} { Asymptote : }& y=0end{aligned})

De plus, notez que les graphiques réussissent le test de la ligne horizontale et que les fonctions exponentielles sont donc un-à-un. Nous utilisons ces graphiques de base, ainsi que les transformations, pour esquisser les graphiques des fonctions exponentielles.

Exemple (PageIndex{2})

Esquissez le graphique et déterminez le domaine et la plage : (f(x)=5^{-x}-10).

Solution

Commencez par le graphe de base (y = 5^{−x}) et décalez-le vers le bas de (10) unités.

L'ordonnée à l'origine (y) est ((0, −9)) et l'asymptote horizontale est (y = −10).

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-10, infty))

Trouver l'origine (x) du graphe dans l'exemple précédent est laissé pour une section ultérieure dans ce chapitre. Pour l'instant, nous nous intéressons davantage à la forme générale des fonctions exponentielles.

Exemple (PageIndex{3})

Tracez le graphique et déterminez le domaine et l'intervalle de (g(x)=-2^{x-3}).

Solution

Commencer par le graphe de base (y=2^{x}) et identifier les transformations.

(egin{array}{l}{y=2^{x}} quadquadquadcolor{Cerulean}{Basic:graph} {y=-2^{x}} quad ::::color{Cerulean}{Reflection:about:the:x-axis} {y=-2^{x-3}}quadcolor{Cerulean}{Shift :right:3:units}end{array})

Notez que l'asymptote horizontale reste la même pour toutes les transformations. Pour finir, nous voulons généralement inclure l'interception (y). Rappelez-vous que pour trouver l'interception (y) nous définissons (x = 0).

(egin{aligned} g(color{Cerulean}{0}color{black}{)} &=-2^{color{Cerulean}{0}color{black}{-}3} &=-2^{-3} &=-frac{1}{2^{3}} &=-frac{1}{8} end{aligned})

Par conséquent, l'interception (y) est (left(0,-frac{1}{8} ight)).

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-infty, 0))

Exercice (PageIndex{1})

Tracez le graphique et déterminez le domaine et la plage : (f(x)=2^{x-1}+3)

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((3, infty))

www.youtube.com/v/WDcObqDtE7M

Base naturelle e

Certains nombres apparaissent souvent dans les applications courantes. Un de ces nombres familiers est pi ((π)), que nous savons se produire lorsque l'on travaille avec des cercles. Ce nombre irrationnel a un bouton dédié sur la plupart des calculatrices (π) et approximé à cinq décimales, (π ≈ 3.14159). Un autre nombre important (e) apparaît lorsque l'on travaille avec des modèles de croissance et de décroissance exponentielle. C'est un nombre irrationnel et approché à cinq décimales, (e 2,71828). Cette constante se produit naturellement dans de nombreuses applications du monde réel et est donc appelée la base naturelle. Parfois (e) est appelé constante d'Euler en l'honneur de Leonhard Euler (prononcé « Oiler »).


Figure (PageIndex{14}) : Léonhard Euler (1707-1783)

En fait, le fonction exponentielle naturelle :

(f(x)=e^{x})

est si important que vous trouverez un bouton (e^{x}) dédié sur n'importe quelle calculatrice scientifique moderne. Dans cette section, nous nous intéressons à l'évaluation de la fonction exponentielle naturelle pour des nombres réels donnés et à l'esquisse de son graphique. Pour évaluer la fonction exponentielle naturelle, définie par (f (x) = e^{x}) où (x = −2) à l'aide d'une calculatrice, vous devrez peut-être appliquer le bouton shift. Sur de nombreuses calculatrices scientifiques, le curseur s'affichera comme suit :

(f(-2)=e^{coin}(-2) environ 0,13534)

Après avoir appris à utiliser votre calculatrice particulière, vous pouvez maintenant esquisser le graphique en traçant des points. (Arrondir au centième près.)

Tableau (PageIndex{3})
(X)(y)(f(x)=e^{x})(couleur{Céruléen}{Solutions} )
(-2)(couleur{Céruléen}{0.14})(f(-2)=e^{-2}=0.14)((-2,0.14))
(-1)(couleur{Céruléen}{0.37})(f(-1)=e^{-1}=0.37)((-1,0.37))
(0)(color{Céruléen}{1})(f(0)=e^{0}=1)((0,1))
(1)(couleur{Céruléen}{2.72})(f(1)=e^{1}=2,72)((1,2.72))
(2)(couleur{Céruléen}{7.39})(f(2)=e^{2}=7.39)((2,7.39))

Tracez les points et tracez le graphique.

Notez que la fonction est similaire au graphique de (y = 3^{x}). Le domaine se compose de tous les nombres réels et la plage se compose de tous les nombres réels positifs. Il y a une asymptote à (y = 0) et une (y)-intercept à ((0, 1)). Nous pouvons utiliser les transformations pour esquisser le graphique de fonctions exponentielles plus compliquées.

Exemple (PageIndex{4}) :

Tracez le graphique et déterminez le domaine et l'intervalle : (g(x)=e^{x+2}-3).

Solution

Identifier les transformations de base.

(egin{array}{l}{y=e^{x}} quadquadquad:::color{Cerulean}{Basic:graph} {y=e^{ x+2}} quadquad:::color{Cerulean}{Shift:left:2:units} {y=e^{x+2}-3}: :::color{Cerulean}{Shift:down:3:units}end{array})

Pour déterminer l'ensemble d'interception (y) (x = 0).

Par conséquent, l'ordonnée à l'origine (y) est ((0, e^{2} − 3)).

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-3, infty))

Exercice (PageIndex{2})

Tracez le graphique et déterminez le domaine et l'intervalle : (f(x)=e^{-x}+2).

Réponse

Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((2, infty))

www.youtube.com/v/FkwBpg2Xpb8

Formules d'intérêt composé

Les fonctions exponentielles apparaissent dans les formules utilisées pour calculer les intérêts gagnés dans la plupart des comptes d'épargne réguliers. L'intérêt composé se produit lorsque les intérêts accumulés pour une période sont ajoutés à l'investissement principal avant de calculer les intérêts pour la période suivante. Le montant ainsi accumulé dans le temps est modélisé par le intérêts composés formule6:

(A(t)=Pgauche(1+frac{r}{n}droit)^{n t})

Ici, le montant (A) dépend du temps (t) en années pendant lequel le principal (P) accumule des intérêts composés à un taux d'intérêt annuel (r). La valeur (n) représente le nombre de fois que l'intérêt est composé en un an.

Exemple (PageIndex{5}) :

Un investissement de (500) $ est effectué dans un CD de (6) ans qui rapporte (4 frac{1}{2}) % d'intérêt annuel composé mensuellement. Combien vaudra le CD à la fin du terme (6) ans ?

Solution

Ici le principal (P =) $(500), le taux d'intérêt (r = 4 frac{1}{2})% (= 0.045), et parce que l'intérêt est composé mensuellement, (n = 12). L'investissement est modélisé par ce qui suit,

(A(t)=500gauche(1+frac{0.045}{12}droit)^{12 t})

Pour déterminer le montant du compte après (6) ans, évaluez (A (6)) et arrondissez au cent le plus proche.

(egin{aligned} A(color{Cerulean}{6}color{black}{)} &=500left(1+frac{0.045}{12} ight)^{12(color {Céruléen}{6}couleur{noir}{)}} &=500(1.00375)^{72} &=654.65 end{aligné})

Réponse

Le CD vaudra (654.65) $ à la fin du terme (6) ans.

Ensuite, nous explorons les effets de l'augmentation de (n) dans la formule. Par souci de clarté, nous laissons (P) et (r) égaux à (1) et calculons en conséquence.

Tableau (PageIndex{4})
Composition annuelle(gauche(1+frac{1}{n}droit)^{n})
Annuel ((n=1))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{1}} ight)}^{color{Cerulean}{1}}color{black}{= }2)
Semestriel ((n=2))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{2}} ight)}^{color{Cerulean}{2}}color{black}{= }2.25)
Trimestriel ((n=4))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{4}} ight)}^{color{Cerulean}{4}}color{black}{≈ }2.44140)
Mensuel ((n=12))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{12}} ight)}^{color{Cerulean}{12}}color{black}{≈ }2.61304)
Hebdomadaire ((n=52))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{52}} ight)}^{color{Cerulean}{52}}color{black}{≈ }2.69260)
Quotidien ((n=365))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{365}} ight)}^{color{Cerulean}{365}}color{black}{≈ }2.71457)
Horaire ((n=8760))(color{black}{left(1+frac{1}{color{Cerulean}{8760}} ight)}^{color{Cerulean}{8760}}color{black}{≈ }2.71813)

En poursuivant ce schéma, à mesure que (n) augmente pour dire en composant chaque minute ou même chaque seconde, nous pouvons voir que le résultat tend vers la base naturelle (e 2,71828). L'intérêt composé à chaque instant conduit à la intérêts composés en continu formule7,

(A(t)=P e^{rt})

Ici, (P) représente le montant initial du capital investi, (r) représente le taux d'intérêt annuel et (t) représente la durée en années pendant laquelle l'investissement est autorisé à accumuler des intérêts composés en continu.

Exemple (PageIndex{6}) :

Un investissement de (500) $ est effectué dans un CD de (6) ans qui rapporte (4 frac{1}{2}) % d'intérêt annuel composé en continu. Combien vaudra le CD à la fin du terme (6) ans ?

Solution

Ici le principal (P =) $(500), et le taux d'intérêt (r = 4 frac{1}{2})% (= 0.045). Puisque l'intérêt est composé de façon continue, nous utiliserons la formule (A (t) = Pe^{rt}). L'investissement est modélisé par ce qui suit,

(A(t)=500 e^{0,045 t})

Pour déterminer le montant du compte après (6) ans, évaluez (A (6)) et arrondissez au cent le plus proche.

(egin{aligned} A(color{Cerulean}{6}color{black}{)} &=500 e^{0.045(color{Cerulean}{6}color{black}{)}} &=500 e^{0.27} &=654.98 end{aligned})

Réponse

Le CD vaudra (654.98) $ à la fin du terme (6) ans.

Comparez les deux exemples précédents et notez que la composition continue peut ne pas être aussi bénéfique qu'il y paraît. Bien qu'il soit préférable de composer les intérêts plus souvent, la différence n'est pas si profonde. Certes, le taux d'intérêt est un facteur beaucoup plus important dans le résultat final.

Exercice (PageIndex{3})

Combien vaudra un CD de (1200) $, générant (5.2)% d'intérêt annuel composé en continu, à la fin d'un terme de (10) ans ?

Réponse

$(2,018.43)

www.youtube.com/v/1alUOjTq5wc

Points clés à retenir

  • Les fonctions exponentielles ont des définitions de la forme (f (x) = b^{x}) où (b > 0) et (b ≠ 1). Le domaine se compose de tous les nombres réels ((−∞, ∞)) et la plage se compose de nombres positifs ((0, ∞)). De plus, toutes les fonctions exponentielles de cette forme ont une intersection (y) de ((0, 1)) et sont asymptotiques par rapport à l'axe (x).
  • Si la base d'une fonction exponentielle est supérieure à (1 (b > 1)), alors son graphique augmente ou grandit au fur et à mesure qu'il est lu de gauche à droite.
  • Si la base d'une fonction exponentielle est une fraction appropriée ((0 < b < 1)), alors son graphique diminue ou décroît au fur et à mesure qu'il est lu de gauche à droite.
  • Le nombre (10) est appelé base commune et le nombre (e) est appelé base naturelle.
  • La fonction exponentielle naturelle définie par (f (x) = e^{x}) a un graphe très similaire au graphe de (g (x) = 3^{x}).
  • Les fonctions exponentielles sont un-à-un.

Exercice (PageIndex{4})

Évaluer.

  1. (f(x)=3^{x}) où (f(-2), f(0),) et (f(2)).
  2. (f(x)=10^{x}) où (f(-1), f(0),) et (f(1)).
  3. (g(x)=left(frac{1}{3} ight)^{x}) où (g(-1), g(0),) et (g(3) ).
  4. (g(x)=gauche(frac{3}{4} ight)^{x}) où (g(-2), g(-1),) et (g(0 )).
  5. (h(x)=9^{-x}) où (h(-1), h(0),) et (hleft(frac{1}{2} ight) ).
  6. (h(x)=4^{-x}) où (h(-1), hgauche(-frac{1}{2}droit),) et (h(0) ).
  7. (f(x)=-2^{x}+1) où (f(-1), f(0),) et (f(3)).
  8. (f(x)=2-3^{x}) où (f(-1), f(0),) et (f(2)).
  9. (g(x)=10^{-x}+20) où (g(-2), g(-1),) et (g(0)).
  10. (g(x)=1-2^{-x}) où (g(-1), g(0),) et (g(1)).
Réponse

1. (f(-2)=frac{1}{9}, f(0)=1, f(2)=9)

3. (g(-1)=3, g(0)=1, g(3)=frac{1}{27})

5. (h(-1)=9, h(0)=1, hgauche(frac{1}{2} ight)=frac{1}{3})

7. (f(-1)=frac{1}{2}, f(0)=0, f(3)=-7)

9. (g(-2)=120, g(-1)=30, g(0)=21)

Exercice (PageIndex{5})

Utilisez une calculatrice pour approximer les éléments suivants au centième près.

  1. (f(x)=2^{x}+5) où (f(2.5)).
  2. (f(x)=3^{x}-10) où (f(3.2)).
  3. (g(x)=4^{x}) où (g(sqrt{2})).
  4. (g(x)=5^{x}-1) où (g(sqrt{3})).
  5. (h(x)=10^{x}) où (h(pi)).
  6. (h(x)=10^{x} + 1) où (hgauche(frac{pi}{3}droit)).
  7. (f(x)=10^{-x}-2) où (f(1.5)).
  8. (f(x)=5^{-x}+3) où (f(1.3)).
  9. (f(x)=gauche(frac{2}{3} ight)^{x}+1) où (f(-2,7)).
  10. (f(x)=left(frac{3}{5} ight)^{-x}-1) où (f(1.4)).
Réponse

1. (10.66)

3. (7.10)

5. (1385.46)

7. (−1.97)

9. (3.99)

Exercice (PageIndex{6})

Esquissez la fonction et déterminez le domaine et la plage. Tracez l'asymptote horizontale avec une ligne pointillée.

  1. (f(x)=4^{x})
  2. (g(x)=3^{x})
  3. (f(x)=4^{x}+2)
  4. (f(x)=3^{x}-6)
  5. (f(x)=2^{x-2})
  6. (f(x)=4^{x+2})
  7. (f(x)=3^{x+1}-4)
  8. (f(x)=10^{x-4}+2)
  9. (h(x)=2^{x-3}-2)
  10. (h(x)=3^{x+2}+4)
  11. (f(x)=gauche(frac{1}{4}droit)^{x})
  12. (h(x)=gauche(frac{1}{3}droit)^{x})
  13. (f(x)=gauche(frac{1}{4}droit)^{x}-2)
  14. (h(x)=gauche(frac{1}{3}droit)^{x}+2)
  15. (g(x)=2^{-x}-3)
  16. (g(x)=3^{-x}+1)
  17. (f(x)=6-10^{-x})
  18. (g(x)=5-4^{-x})
  19. (f(x)=5-2^{x})
  20. (f(x)=3-3^{x})
Réponse

1. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((0, infty))

3. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((2, infty))

5. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((0, infty))

7. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-4, infty))

9. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-2, infty))

11. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((0, infty))

13. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-2, infty))

15. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-3, infty))

17. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-infty, 6))

19. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-infty, 5))

Exercice (PageIndex{7})

Trouvez (f (−1), f (0)) et (f (frac{3}{2})) pour la fonction donnée. Utilisez une calculatrice, le cas échéant, pour vous approcher au centième près.

  1. (f(x)=e^{x}+2)
  2. (f(x)=e^{x}-4)
  3. (f(x)=5-3 e^{x})
  4. (f(x)=e^{-x}+3)
  5. (f(x)=1+e^{-x})
  6. (f(x)=3-2 e^{-x})
  7. (f(x)=e^{-2 x}+2)
  8. (f(x)=e^{-x^{2}}-1)
Réponse

1. (f(-1) environ 2,37, f(0)=3, fgauche(frac{3}{2}droit) environ 6,48)

3. (f(-1) environ 3,90, f(0)=2, fgauche(frac{3}{2}droit) environ-8,45)

5. (f(-1) environ 3,72, f(0)=2, fgauche(frac{3}{2}droit) environ 1,22)

7. (f(-1) environ 9,39, f(0)=3, fgauche(frac{3}{2}droit) environ 2,05)

Exercice (PageIndex{8})

Esquissez la fonction et déterminez le domaine et la plage. Tracez l'asymptote horizontale avec une ligne pointillée.

  1. (f(x)=e^{x}-3)
  2. (f(x)=e^{x}+2)
  3. (f(x)=e^{x+1})
  4. (f(x)=e^{x-3})
  5. (f(x)=e^{x-2}+1)
  6. (f(x)=e^{x+2}-1)
  7. (g(x)=-e^{x})
  8. (g(x)=e^{-x})
  9. (h(x)=-e^{x+1})
  10. (h(x)=-e^{x}+3)
Réponse

1. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-3, infty))

3. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((0, infty))

5. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((1, infty))

7. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-infty, 0))

9. Domaine : ((-infty, infty)); Plage : ((-infty, 0))

Exercice (PageIndex{9})

  1. Jim a investi (750) $ dans un CD de (3) ans qui rapporte (4.2)% d'intérêt annuel composé mensuellement. Combien vaudra le CD à la fin du terme (3)-ans ?
  2. José a investi (2450) $ dans un CD de (4) ans qui rapporte (3,6) % d'intérêt annuel composé semestriellement. Combien vaudra le CD à la fin du terme (4) ans ?
  3. Jeanne a ses économies de (5 350 $) sur un compte qui rapporte (3 frac{5}{8}) % d'intérêt annuel composé trimestriellement. Combien restera-t-il sur le compte au bout de (5) ans ?
  4. Bill a (12 400) $ sur un compte d'épargne ordinaire qui rapporte (4 frac{2}{3}) % d'intérêt annuel composé mensuellement. Combien restera-t-il sur le compte au bout de (3) ans ?
  5. Si (85 200) $ est investi dans un compte générant (5,8) % d'intérêts annuels composés trimestriellement, quel est le montant des intérêts accumulés au cours des (3) premières années ?
  6. Si (124 000) $ est investi dans un compte générant (4,6)% d'intérêts annuels composés mensuellement, alors combien d'intérêts sont accumulés au cours des (2) premières années ?
  7. Bill a investi (1400) $ dans un CD de (3) ans qui rapporte (4.2)% d'intérêt annuel qui est composé en continu. Combien vaudra le CD à la fin du terme (3)-ans ?
  8. Brooklyn a investi (2,850) $ dans un CD de (5) ans qui rapporte (5.3)% d'intérêt annuel qui est composé en continu. Combien vaudra le CD à la fin du terme (5) ans ?
  9. Omar a ses économies de (4 200 $) sur un compte qui rapporte (4 frac{3}{8}) % d'intérêt annuel composé en continu. Combien restera-t-il sur le compte au bout de (2 frac{1}{2}) ans ?
  10. Nancy a ses économies de (8 325 $) sur un compte qui rapporte (5 frac{7}{8}) % d'intérêt annuel composé en continu. Combien restera-t-il sur le compte au bout de (5 frac{1}{2}) ans ?
  11. Si (12 500) $ est investi dans un compte qui rapporte (3,8) % d'intérêts annuels composés en continu, quel est le montant des intérêts accumulés au cours des (10) premières années ?
  12. Si (220 000) $ est investi dans un compte qui rapporte (4,5) % d'intérêts annuels composés en continu, quel est le montant des intérêts accumulés au cours des (2) premières années ?
  13. La population d'une certaine petite ville augmente selon la fonction (P (t) = 12 500(1,02)^{t}) où (t) représente le temps en années depuis le dernier recensement. Utilisez la fonction pour déterminer la population le jour du recensement (lorsque (t = 0)) et estimez la population en (6) ans à partir de ce moment.
  14. La population d'une certaine petite ville décroît selon la fonction (P (t) = 22 300 (0,982)^{t}) où (t) représente le temps en années depuis le dernier recensement. Utilisez la fonction pour déterminer la population le jour du recensement (lorsque (t = 0)) et estimez la population en (6) ans à partir de ce moment.
  15. La valeur décroissante, en dollars, d'une voiture neuve est modélisée par la formule (V (t) = 28 000(0,84)^{t}) où (t) représente le nombre d'années après l'achat de la voiture. Utilisez la formule pour déterminer la valeur de la voiture lorsqu'elle était neuve ((t = 0)) et la valeur après (4) ans.
  16. Le nombre de visiteurs uniques sur le site Web du collège peut être approximé par la formule (N (t) = 410(1,32)^{t}) où (t) représente le nombre d'années après 1997 lorsque le site Web a été créé . Nombre approximatif de visiteurs uniques sur le site Web du collège en 2020.
  17. Si rien n'est fait, une nouvelle souche de virus de la grippe peut se propager très rapidement d'une personne à d'autres. Le nombre de personnes affectées peut être modélisé à l'aide de la formule (P(t)=e^{0,22 t}) où (t) représente le nombre de jours pendant lesquels le virus est autorisé à se propager sans contrôle. Estimez le nombre de personnes infectées par le virus après (30) jours et après (60) jours.
  18. Si rien n'est fait, une population de (24) lapins sauvages anglais peut croître selon la formule (P(t)=24 e^{0.19 t}) où le temps (t) est mesuré en mois. Combien de lapins seraient présents (3 frac{1}{2}) ans plus tard ?
  19. La population d'une certaine ville en 1975 était de (65 000) personnes et augmentait de façon exponentielle à un taux annuel de (1,7)%. À l'époque, la croissance démographique était modélisée par la formule (P (t) = 65 000e^{0,017t}) où (t) représentait le nombre d'années depuis 1975. En 2000, le recensement déterminait que la population réelle était de (104 250) personnes. Quelle population le modèle prédit-il pour l'an 2000 et quelle était l'erreur réelle ?
  20. En raison de la désintégration radioactive, la quantité d'un échantillon de (10) milligramme d'iode-131 diminue selon la formule (A (t) = 10e^{−0,087t}) où (t) représente le temps mesuré en jours. Quelle quantité de l'échantillon reste après (10) jours ?
  21. Le nombre de cellules dans un échantillon de bactéries est approximé par le modèle de croissance logistique (N(t)=frac{1.2 imes 10^{5}}{1+9 e^{-0,32 t}}) où (t) représente le temps en heures. Déterminez le nombre initial de cellules, puis déterminez le nombre de cellules (6) heures plus tard.
  22. La part de marché d'un produit, en pourcentage, est approchée par la formule (P(t)=frac{100}{2+e^{-0,44 t}}) où (t) représente le nombre de mois après le lancement d'une campagne publicitaire agressive. De combien peut-on s'attendre à ce que la part de marché augmente après les trois premiers mois de publicité ?
Réponse

1. $(850.52)

3. $(6,407.89)

5. $(16,066.13)

7. $(1,588.00)

9. $(4,685.44)

11. $(5,778.56)

13. Population initiale : (12 500); Population (6) ans plus tard : (14 077)

15. Nouveau : $(28 000); Dans (4) ans : $(13 940,40)

17. Après (30) jours : (735) personnes ; Après (60) jours : (540,365) personnes

19. Modèle : (99 423) personnes ; erreur : (4,827) personnes

21. Initialement, il y a (12 000) cellules et (6) heures plus tard, il y a (51 736) cellules.

Exercice (PageIndex{10})

  1. Pourquoi (b = 1) est-il exclu comme base dans la définition des fonctions exponentielles ? Expliquer.
  2. Expliquez pourquoi une fonction exponentielle de la forme (y = b^{x}) ne peut jamais être négative.
  3. Recherchez et discutez de la dérivation de la formule des intérêts composés.
  4. Recherchez et discutez du modèle de croissance logistique. Fournissez un lien vers plus d'informations sur ce sujet.
  5. Recherchez et discutez de la vie et des contributions de Leonhard Euler.
Réponse

1. La réponse peut varier

3. La réponse peut varier

5. La réponse peut varier

Notes de bas de page

5Toute fonction avec une définition de la forme (f (x) = b^{x}) où (b > 0) et (b 1).

6Une formule qui donne le montant accumulé en gagnant des intérêts sur le principal et les intérêts au fil du temps : (A(t)=Pleft(1+frac{r}{n} ight)^{n t}).

7Une formule qui donne le , le montant accumulé en gagnant des intérêts composés en continu : (A (t) = Pe^{rt}).


Voir la vidéo: funktio ja funktion kuvaaja (Décembre 2021).