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4.6 : Fonctions définies par morceaux


Dans certaines situations, une relation numérique peut suivre un modèle de comportement pendant un certain temps, puis présenter un type de comportement différent. Dans une situation comme celle-ci, il est utile d'utiliser ce que l'on appelle une fonction définie par morceaux - une fonction définie par morceaux.

Dans l'exemple ci-dessus d'une fonction définie par morceaux, nous voyons que les valeurs (y) pour les valeurs négatives de (x) sont définies différemment des valeurs (y) pour les valeurs positives de (x )

Parfois, on nous donne un graphique et nous devons écrire une description par morceaux de la fonction qu'il décrit.

La fonction par morceaux illustrée ci-dessus pourrait être décrite comme suit :

Exercices 4.6
Tracez un graphique pour chacune des fonctions par morceaux décrites ci-dessous.



















Une fonction par morceaux est généralement définie par plus d'une formule : une formule pour chaque intervalle.

Ce que dit ci-dessus, c'est que si x est inférieur ou égal à 2, la formule de la fonction est f( x ) = -x et si x est supérieur à 2, la formule est f( x ) = x. Il est également important de noter que le domaine de la fonction f défini ci-dessus est l'ensemble de tous les nombres réels puisque f est défini partout pour tous les nombres réels.

La fonction ci-dessus est constante et égale à 2 si x est supérieur à -3. la fonction f est également constante et égale à -5 si x est inférieur à -3. On peut dire que la fonction f est constante par morceaux. Le domaine de f donné ci-dessus est l'ensemble de tous les nombres réels sauf -3 : si x = -3 la fonction f est indéfinie.

Les fonctions impliquant une valeur absolue sont également un bon exemple de fonctions par morceaux.

En utilisant la définition de la valeur absolue, la fonction f donnée ci-dessus peut être écrite

Le domaine de la fonction ci-dessus est l'ensemble de tous les nombres réels.

Un autre exemple de vaule absolue.

La fonction ci-dessus peut être écrite comme

La fonction ci-dessus est définie pour tous les nombres réels.

Un autre exemple impliquant plus de deux intervalles.

La fonction ci-dessus est définie pour tous les nombres réels à l'exception des valeurs de x dans l'intervalle (-2 , 2] et x = 4.

Exemple 6 : f est une fonction définie par

Trouvez le domaine et l'étendue de la fonction f et tracez-le graphiquement.

Solution de l'exemple 6 :

La fonction f est définie pour toutes les valeurs réelles de x. Le domaine de f est l'ensemble de tous les nombres réels. Nous allons le représenter graphiquement en considérant la valeur de la fonction dans chaque intervalle.

Dans l'intervalle (-inf , -2] le graphique de f est une ligne horizontale y = f(x) = -1 (voir la formule pour cet intervalle ci-dessus). De plus, cet intervalle est fermé à x = -2 et donc le graphique doit montrer ceci : voir le "point fermé" sur le graphique à x = -2.

Dans l'intervalle (-2 , + inf) le graphique est une ligne horizontale y = f(x) = 2 (voir la formule pour cet intervalle ci-dessus). L'intervalle (-2 , + inf) est ouvert à x = -2 et le graphique le montre avec un "point ouvert". La fonction f ne peut prendre que deux valeurs : -1 et 2. La plage est donnée par

Exemple 7 : f est une fonction définie par

Trouvez le domaine et l'étendue de la fonction f et tracez-le graphiquement.

Solution de l'exemple 7 :

Le domaine de f est l'ensemble de tous les nombres réels puisque la fonction f est définie pour toutes les valeurs réelles de x.

Dans l'intervalle (-inf , 2) le graphique de f est une parabole décalée d'1 unité. De plus, cet intervalle est ouvert à x = 2 et donc le graphique montre un "point ouvert" sur le graphique à x = 2.

Dans l'intervalle [2 , + inf) le graphe est une droite avec une intersection x en (3 , 0) et passe par le point (2 , 1). L'intervalle [2 , + inf) est fermé à x = 2 et le graphique montre un "point fermé". A partir du graphique, nous pouvons observer que la fonction f peut prendre toutes les valeurs réelles. La plage est donnée par (-inf, +inf).

Exemple 8 : f est une fonction définie par

Trouvez le domaine et l'étendue de la fonction f et tracez-le graphiquement.

Solution de l'exemple 8 :

Le domaine de f est l'ensemble de tous les nombres réels puisque la fonction f est définie pour toutes les valeurs réelles de x.

Dans l'intervalle (-inf , 0) le graphique de f est une hyperbole avec une asymptote verticale à x = 0.

Dans l'intervalle [0 , + inf) le graphe est une exponentielle décroissante et passe par le point (0 , 1). L'intervalle [0 , + inf) est fermé à x = 0 et le graphique montre un "point fermé".

Lorsque x devient très petit, 1 / x tend vers zéro. Lorsque x devient très grand, e -x tend également vers zéro. Par conséquent, la ligne y = 0 est une asymptote horizontale au graphique de f.

À partir du graphique de f présenté ci-dessous, nous pouvons observer que la fonction f peut prendre toutes les valeurs réelles sur (-inf , 0) U (0 , 1] qui est la plage de la fonction f.

Exemple 9 : f est une fonction définie par

Trouvez le domaine et l'étendue de la fonction f et tracez-le graphiquement.

Solution de l'exemple 9 :

Le domaine de f est l'ensemble de tous les nombres réels.

Dans l'intervalle (-inf , -1], le graphique de f est une ligne horizontale y = f(x) = -1. Point fermé à x = -1 puisque l'intervalle s'est fermé à x = -1.

Dans l'intervalle (-1 , 1] le graphique est une ligne horizontale. Il devrait y avoir un point fermé à x = 1 mais lisez ci-dessous.

Dans l'intervalle (1 , + inf) le graphique est la ligne y = x. Il devrait y avoir un point ouvert à x = 1 puisque l'intervalle est ouvert à x = 1. Mais un point fermé (voir ci-dessus) et un point ouvert au même endroit deviennent un point "normal".

A partir du graphique de f présenté ci-dessous, nous pouvons observer que la fonction f peut prendre toutes les valeurs réelles sur <-1>U [1 , + inf) qui est l'étendue de la fonction f.

Plus de références et de liens sur les graphiques. Fonctions graphiques


SOLUTION : trouver la plage et le domaine. f(x)=1/x+2


Réglez le dénominateur égal à zéro. N'oubliez pas que diviser par 0 n'est pas défini. Donc, si nous trouvons des valeurs de x qui rendent le dénominateur nul, alors nous devons les exclure du domaine.

Soustraire 2 des deux côtés


Combinez les termes similaires sur le côté droit

Puisque rend le dénominateur égal à zéro, cela signifie que nous devons exclure de notre domaine

qui, en clair, se lit comme suit : x est l'ensemble de tous les nombres réels sauf

Donc notre domaine ressemble à ceci en notation par intervalles

Maintenant, pour trouver la plage, notez qu'il n'y a pas de terme x dans le numérateur. Donc si
, il n'y a pas de valeur x qui satisfera l'équation. Donc, en d'autres termes, ne sera jamais égal à zéro. Cela signifie donc que nous devons retirer 0 de notre plage.

qui, en clair, se lit comme suit : y est l'ensemble de tous les nombres réels sauf

Donc, notre gamme ressemble à ceci en notation d'intervalle


On voit donc qu'en x=-2 il y a un écart (la partie verticale ne fait pas partie du graphe) et qu'en y=0 il y a une asymptote. Cela confirme donc notre réponse.


Exemples

Configurez une fonction par morceaux avec différentes pièces au-dessous et au-dessus de zéro :

Trouver la dérivée d'une fonction par morceaux :

Utilisation pw pour entrer  et puis pour chaque cas supplémentaire par morceaux :


4.6 : Fonctions définies par morceaux

Conditions d'utilisation Personne de contact : Donna Roberts

Nous avons vu de nombreux graphiques exprimés sous forme d'équations simples et continus sur un domaine des nombres réels. Nous avons également vu les fonctions "discrètes" qui sont composées de "points" séparés et non connectés. Il existe également des graphiques définis par « différentes équations » sur différentes sections des graphiques. Ces graphiques peuvent être continus, ou ils peuvent contenir des "breaks". Étant donné que ces graphiques ont tendance à ressembler à des " morceaux " collés ensemble pour former un graphique, ils sont appelés " fonctions par morceaux " (défini par morceaux fonctions) ou les fonctions "s à définition fractionnée ".


Une fonction définie par morceaux est une fonction définie par au moins deux équations ("morceaux"), dont chacune s'applique à une partie différente du domaine. Les fonctions définies par morceaux peuvent prendre diverses formes. Leurs "pièces" peuvent être toutes linéaires ou une combinaison de formes fonctionnelles (telles que constante, linéaire, quadratique, cubique, racine carrée, racine cubique, exponentielle, etc.). En raison de cette diversité, il n'y a pas de " fonction parent " pour les fonctions définies par morceaux. L'exemple ci-dessous contiendra des "pieces"s linéaires, quadratiques et constants.



Notez que chaque "piece" de la fonction a une contrainte spécifique.

De X-valeurs de -∞ à -1, le graphique est un ligne droite.

De X-valeurs de -1 à 1, le graphique est constant.

La fonction par morceaux montrée dans cet exemple est continu (il n'y a pas de "gaps" ni de "breaks" dans le tracé).

Dans cet exemple, le domaine est tout réel puisque tout X-values ​​ont une valeur tracée.


Vous ne savez toujours pas ce qui se passe dans ces fonctions définies par morceaux ?
Essayez de jeter un œil à chaque section sous la forme d'un graphique "séparé", et prenez vos ciseaux !

Les fonctions définies par morceaux peuvent être continues (comme on le voit dans l'exemple ci-dessus), ou elles peuvent être discontinues (ayant des ruptures, des sauts ou des trous comme on le voit dans les exemples ci-dessous).

Autres exemples de fonctions définies par morceaux :


L'une des fonctions définies par morceaux les plus reconnues est la fonction de valeur absolue.

• croissant (0, )
• décroissant (-∞,0)

• min absolu/relatif est 0
• pas de max absolu (graphique &rarr ∞ )

x-interception :
se croise X-axe à (0, 0)
sauf si le domaine est modifié

y-à l'origine :
se croise oui-axe à (0, 0)
sauf si le domaine est modifié

Sommet:
le point (0,0)
sauf si le domaine est modifié

Taux de variation moyen :
est constant sur chaque section de droite (rayon) du graphique.



Une fonction step (ou fonction escalier ) est une fonction par morceaux contenant tous les "pieces" constants. Les pièces constantes sont observées à travers les intervalles adjacents de la fonction, car elles changent de valeur d'un intervalle à l'autre. Une fonction échelon est discontinue (non continue). Vous ne pouvez pas dessiner une fonction pas à pas sans retirer votre crayon de votre papier.

• remarquez la ressemblance avec un ensemble d'étapes

L'une des fonctions pas à pas les plus connues est la Fonction du plus grand entier.
La fonction du plus grand entier renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à X, pour tous les nombres réels X. En substance, la plus grande fonction entière arrondit un nombre réel à l'entier le plus proche. Par exemple: [2] = 2 [1.5] = 1 [-3.1] = -4 [-6.9] = -7

• vous pouvez voir certains textes utilisant la notation oui = [[X]] (doubles crochets).


Exemples de fonctions par morceaux

L'évaluation d'une fonction par morceaux ajoute une étape supplémentaire à l'ensemble de la procédure. Nous devons décider dans quelle partie de la fonction nous brancher. Puisque -3 est inférieur à 2, nous utilisons la première fonction pour évaluer X = -3.

Le chiffre 2 est notre frontière entre la vie, la mort et les deux éléments de notre fonction. Les bris d'égalité vont à la deuxième fonction, cependant.

La deuxième fonction continue d'être utilisée, de 2 à l'infini et au-delà, selon certains jouets spatiaux.

Maintenant, pour représenter graphiquement la fonction.

À gauche de X = 2, F(X) = X + 1. Le graphique ira jusqu'à, mais pas toucher, F(2) = 2 + 1 = 3. Alors F(X) = -2X + 7 à droite de et y compris X = 2. Nous pouvons également utiliser les points que nous avons évalués comme guides.

Exemple 2

Attention, Shmooper. Chaque fois que nous avons fait une fonction par morceaux, les conditions "si" ont commencé par le négatif X-valeurs et deviennent ensuite plus positifs au fur et à mesure. Cela ne doit pas être le cas, cependant. Lisez toujours attentivement le problème, ou vous commettrez une terrible erreur mathématique.

Lorsque X est inférieur à -2, la fonction est une droite à oui = 2. A la fin de la ligne, c'est une inégalité la fonction n'est pas égale à 2 à X = -2. Au lieu de cela, il est égal à :

La fonction vaut 4X – 4 pour toujours vers la droite après cela.

Exemple 3

Représentez graphiquement la fonction par morceaux :

Nous n'irons qu'un morceau à la fois, en représentant graphiquement chaque section à tour de rôle.

Premièrement, nous avons F(X) = X + 1, jusqu'à, mais non compris, X = 3.

Puis, à X = 3, la fonction est juste égale à 3. Ajoutez un point au graphique en (3, 3).

Enfin, nous ajoutons F(X) = X + 2 pour tous les points après X = 3, ce qui nous donne le graphique complet.

Il s'agit toujours d'une fonction, car chaque valeur de X est toujours associé à une valeur de oui. Nous n'avons qu'à chasser à X = 3, vu comment ça saute tellement.


Ce n'est pas parce qu'un graphique ressemble à une fonction continue par morceaux que c'est le cas. Par exemple, la fonction d'onde carrée est par morceaux, et il est certainement regards comme une fonction continue par morceaux. Cependant, la fonction n'est pas continue au niveau des entiers, ce n'est donc pas un exemple de ce type de fonction.


Comment classer les discontinuités

À l'aide du graphique ci-dessous, identifiez et classez chaque point de discontinuité.

Étape 1

Le tableau ci-dessous répertorie l'emplacement (valeur $x$) de chaque discontinuité et le type de discontinuité.

Notez que la discontinuité à $x=-7$ est à la fois amovible (la valeur de la fonction est différente de la valeur limite unilatérale) et un point final (puisque le graphique n'est pas défini à gauche de $x=-7$ ).

Exemple 2

En utilisant les tableaux ci-dessous, quel type de discontinuité semble exister à $x = 5$ ?

$ début & hline 4.9 & 8.15 4.99 & 8.015 4.999 & 8.0015 4.9999 & 8.00015 4.99999 & 8.000015 end $

$ début & hline 5.1 & 2.4 5.01 & 2.43 5.001 & 2.403 5.0001& 2.4003 5.00001 & 2.40003 end $

Le tableau de gauche nous indique $limlimits_f(x) environ 8$

Le tableau de droite nous indique $limlimits_f(x) environ 2,4$

Les tableaux nous amènent à croire que les limites unilatérales sont différentes, nous concluons donc que la fonction a probablement une discontinuité de saut à $x = 5$ .

Exemple 3

La fonction ci-dessous est-elle continue à son point de transition ? Sinon, identifiez le type de discontinuité qui s'y produit.

Identifiez le(s) point(s) de transition.

Le point de transition est à $x = 1$ puisque c'est là que la fonction passe d'une formule à la suivante.

Déterminer la limite gauche au point de transition.

$ displaystylelim_ f(x) = displaystylelim_ x^2 = 1^2 = 1 $

Déterminer la limite de droite au point de transition.

$ displaystylelim_ f(x) = displaystylelim_ (x+ 3) = 1 + 3 = 4 $

Comme les limites unilatérales sont différentes, la fonction a une discontinuité de saut à $x = 1$ .

Exemple 4

La fonction ci-dessous est-elle continue à x = 4 ? Sinon, identifiez le type de discontinuité qui s'y produit.

Examinez la limite de gauche.

$ displaystylelim_ f(x) = displaystylelim_ sqrt x = sqrt <4>= 2 $

Examinez la limite de droite.

$ displaystylelim_ f(x) = displaystylelim_ (6-x) = 6 -4 = 2 $

La limite existe et la fonction existe, mais elles ont des valeurs différentes. La fonction a une discontinuité amovible à $x = 4$ .

Exemple 5

Sans tracer un graphique, déterminez le type de discontinuité de la fonction ci-dessous à $x = 3$ .

La fonction est indéfinie à $x = 3$, il y a donc une discontinuité à ce stade. Pour déterminer le type, nous devrons évaluer la limite lorsque $x$ approche 3.

Puisque la fonction a une forme $frac 0 0$ à $x = 3$ , nous devons trouver et diviser les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Évaluez la limite de la fonction la plus simple à mesure que $x$ s'approche de 3.

Puisque la limite existe, mais pas la valeur de la fonction, nous savons que la fonction a une discontinuité amovible à $x = 3$ .

Exemple 6

Sans tracer un graphique, déterminez le type de discontinuité de la fonction ci-dessous à $x = -1$ .

Puisque nous avons une division par zéro, la fonction n'existe pas à $x = -1$ . Mais, la forme $frac n 0$ nous dit que la fonction devient infiniment grande à mesure que $x$ approche -1.

Noter: Afin de déterminer si la limite est infinie, nous aurions besoin de savoir dans quelle direction la fonction va lorsque $x$ s'approche de -1. Mais pour classer la discontinuité, il suffit de savoir que la fonction devient infiniment grande.


2 réponses 2

Dans pgfmath, une expression vraie a la valeur 1 et une expression fausse a la valeur 0. C'est-à-dire qu'une expression telle que (x<-2) est équivalente à une fonction f(x):

(x<-2) : Cette condition n'est vraie que pour x < -2 . Par conséquent, cela ne contribue qu'à l'expression de x < -2 . D'où (x<-2)*-2=-2 pour x<-2 , 0 sinon.

(!(x<-2) && (x<3)) : Ceci a la valeur 1 pour -2 <= x <= 2 . Par conséquent, dans cette plage, cela a la valeur de x .

!(x<3) : C'est 1 uniquement pour x >=3 . D'où (!(x<3)) * 3=3 pour x >=3 , et zéro sinon.

Si la confusion persiste, ce tableau qui calcule les valeurs des différentes conditions devrait vous aider :