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5.2.5 : Soustraction de nombres rationnels - Mathématiques


Leçon

Rassemblons l'addition et la soustraction.

Exercice (PageIndex{1}) : Parler de nombre : ajout manquant

Résoudre chaque équation mentalement. Réécrivez chaque équation d'addition sous la forme d'une équation de soustraction.

(247+c=458)

(c+43,87=58,92)

(frac{15}{8}+c=frac{51}{8})

Exercice (PageIndex{2}) : Expressions avec altitude

Un alpiniste change d'altitude. Écrivez une expression qui représente la différence entre l'élévation finale et l'élévation de début. Ensuite, écrivez la valeur du changement. Le premier a été fait pour toi.

élévation de début (pieds)élévation finale (pieds)différence entre la finale et le débutchangement
(+400)(+900)(900-400)(+500)
(+400)(+50)
(+400)(-120)
(-200)(+610)
(-200)(-50)
(-200)(-500)
(-200)(0)
Tableau (PageIndex{1})

Êtes-vous prêt pour plus?

Remplissez le tableau de sorte que chaque ligne et chaque colonne soit égale à 0. Pouvez-vous trouver une autre façon de résoudre ce casse-tête ?

-1205
0-1825
25-185-12
-12-18
-1825-12
Tableau (PageIndex{2})
-1205
0-1825
25-185-12
-12-18
-1825-12
Tableau (PageIndex{3})

Exercice (PageIndex{3}) : l'ordre est-il important ?

1. Trouvez la valeur de chaque expression de soustraction.

UNEB
(3-2)(2-3)
(5-(-9))((-9)-5)
((-11)-2)(2-(-11))
((-6)-(-3))((-3)-(-6))
((-1.2)-(-3.6))((-3.6)-(-1.2))
((-2frac{1}{2})-(-3frac{1}{2}))((-3frac{1}{2})-(-2frac{1}{2}))
Tableau (PageIndex{4})

2. Que remarquez-vous sur les expressions de la colonne A par rapport à la colonne B ?

3. Que remarquez-vous à propos de leurs valeurs ?

Résumé

Lorsque nous parlons de la différence de deux nombres, nous voulons dire « les soustraire ». Habituellement, nous les soustrayons dans l'ordre dans lequel ils sont nommés. Par exemple, la différence entre (+8) et (-6) est (8-(-6)).

La différence de deux nombres vous indique à quelle distance ils se trouvent sur la droite numérique. 8 et -6 sont distants de 14 unités, car (8-(-6)=14):

Notez que si vous les soustrayez dans l'ordre inverse, vous obtenez le nombre inverse :

((-6)-8=-14)

En général, la distance entre deux nombres (a) et (b) sur la droite numérique est (|a-b|). Notez que le distance entre deux nombres est toujours positif, quel que soit l'ordre. Mais le différence peut être positif ou négatif, selon la commande.

Entrées du glossaire

Définition : Dépôt

Lorsque vous mettez de l'argent sur un compte, cela s'appelle un verser.

Par exemple, une personne a ajouté 60 $ à son compte bancaire. Avant le dépôt, ils avaient 435 $. Après le dépôt, ils avaient 495 $, car (435+60=495)

Définition : retrait

Lorsque vous retirez de l'argent d'un compte, cela s'appelle un retrait.

Par exemple, une personne a retiré 25 $ de son compte bancaire. Avant le retrait, ils avaient 350 $. Après le retrait, ils avaient 325 $, car (350-25=325).

Entraine toi

Exercice (PageIndex{4})

Écris une phrase pour répondre à chaque question :

  1. Combien plus chaud est 82 que 40?
  2. À quel point 82 est-il plus chaud que -40 ?

Exercice (PageIndex{5})

  1. Quelle est la différence de hauteur entre 30 m en haut d'une falaise et 87 m en haut d'une falaise ? Quelle est la distance entre ces positions ?
  2. Quelle est la différence de hauteur entre un albatros volant à 100 m au-dessus de la surface de l'océan et un requin nageant à 30 m sous la surface ? Quelle est la distance entre eux si le requin est juste en dessous de l'albatros ?

Exercice (PageIndex{6})

Une entreprise produit des écrans de différentes tailles. D'après le tableau, pourrait-il y avoir une relation entre le nombre de pixels et la surface de l'écran ? Si oui, écrivez une équation représentant la relation. Si non, expliquez votre raisonnement.

pouces carrés d'écrannombre de pixels
(6)(31,104)
(72)(373,248)
(105)(544,320)
(300)(1,555,200)
Tableau (PageIndex{5})

(De l'unité 2.3.2)

Exercice (PageIndex{7})

Trouvez chaque différence.

  1. ((-5)-6)
  2. (35-(-8))
  1. (frac{2}{5}-frac{3}{5})
  2. (-4frac{3}{8}-gauche(-1frac{1}{4}droit))

Exercice (PageIndex{8})

Une famille va au restaurant. Lorsque la facture arrive, c'est imprimé en bas de celle-ci :

Guide de gratuité pour votre commodité :

15 % équivaudraient à 4,89 $

18 % équivaudraient à 5,87 $

20 % serait de 6,52 $

Quel était le prix du repas ? Expliquez votre raisonnement.

(De l'unité 4.3.1)

Exercice (PageIndex{9})

Quelle est une copie à l'échelle du polygone A ? Identifiez une paire de côtés correspondants et une paire d'angles correspondants. Comparez les zones des copies à l'échelle.

(De l'unité 1.1.2)


Domaine d'apprentissage : le système numérique

Standard : appliquer et étendre les connaissances antérieures sur les opérations avec des fractions pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres rationnels

Indicateur : Comprenez p + q comme le nombre situé à une distance |q| à partir de p, dans le sens positif ou négatif selon que q est positif ou négatif. Montrer qu'un nombre et son contraire ont une somme de 0 (sont des inverses additifs). Interpréter des sommes de nombres rationnels en décrivant des contextes du monde réel.

Degré d'alignement : non classé (0 utilisateurs)


Soustraction de nombres rationnels négatifs

Si nous soustrayons un nombre rationnel négatif, nous devons nous déplacer dans le sens positif sur la droite numérique.

Par exemple, si nous voulons soustraire -0,5 de 5, nous devons déplacer 0,5 unité de 5 dans le sens positif.   

Puisque nous soustrayons le nombre rationnel négatif -1,5 de 2,5, nous devons déplacer 1,5 unités de 2,5 dans le sens positif sur la droite numérique.  

Il a été illustré dans l'image ci-dessous.

Après avoir déplacé de 1,5 unités dans le sens positif de 2,5, nous sommes en position de 4.

Puisque nous soustrayons le nombre rationnel négatif -2,5 de -2, nous devons déplacer 2,5 unités de -2 dans le sens positif sur la droite numérique.  

Il a été illustré dans l'image ci-dessous.

Après avoir déplacé 2,5 unités dans le sens positif de -2, on est dans la position de 0,5

Au cours de la semaine la plus chaude de l'été, le niveau d'eau de la rivière du Rat musqué était de 5/6 pieds sous la normale. La semaine suivante, le niveau était 1/3 pied en dessous de la normale. Quelle est la variation globale du niveau d'eau ?

Soustraire pour trouver la différence de niveaux d'eau. C'est-à-dire que nous devons trouver -1/3 - (-5/6)

Puisque nous soustrayons le nombre rationnel négatif -5/6 de -1/3, nous devons déplacer 5/6 unités de -1/3 dans le sens positif sur la droite numérique.  

Il a été illustré dans l'image ci-dessous.

Après avoir déplacé 5/6 unités dans le sens positif de -1/3, on est en position 1/2.

Donc, le niveau d'eau a changé de 1/2 pied.

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Nombres rationnels: Table des matières

Qu'est-ce que le nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est défini comme un nombre qui peut être exprimé sous la forme (frac<< m

>><< m>>,) où (p) et (q) sont des entiers co-premiers et (< m> e 0.)

Numérateur et dénominateur: Sous la forme donnée (frac<< m

>><< m>>,) l'entier (p) est le numérateur et l'entier (< m>left( < e 0> ight)) est le dénominateur. Ainsi, dans (frac<< – 3>><7>) le numérateur est ( – 3) et le dénominateur est (7.)

Les entiers sont-ils aussi des nombres rationnels ?

Tout nombre entier peut être dit comme un nombre rationnel. Par exemple : l'entier ( – 5) est un nombre rationnel, car il peut s'écrire sous la forme (frac<< – 5>><1>.) Ici, l'entier (0 ) peut aussi s'écrire (0 = frac<0><2>) ou (frac<0><7>) etc. Ainsi, les entiers sont des nombres rationnels.

Que sont les nombres rationnels équivalents ?

Un nombre rationnel peut être écrit en utilisant différents numérateurs et dénominateurs. Par exemple : on prendra le nombre rationnel (frac<< – 2>><3>.)
(frac<< – 2>> <3>= frac<< – 2 imes 2>><<3 imes 2>> = frac<< – 4>><6 >.) Nous pouvons voir que (frac<< – 2>><3>) est identique à (frac<< – 4>><6>.)

Que sont les nombres irrationnels ?

Un nombre irrationnel est défini comme le nombre qui ne peut être exprimé sous la forme (frac<< m

>><< m>>,) où (p) et (q) sont des entiers co-premiers et (< m> e 0.)
Il y a tellement de nombres irrationnels qui ne peuvent pas être écrits sous la forme simplifiée, et certains des exemples sont (surd 8,surd 11,surd 50) et le nombre d'Euler (e = 2.718281 ldots .,) Nombre d'or (< m> = 1,618034 ldots .)

Exemples de nombres rationnels et de nombres irrationnels

Quelques exemples de nombres rationnels :

(p)(q)(frac

)

Rationnel
(1)(2)(frac<1><2>)Oui
( – 3)(4)(frac<< – 3>><4>)Oui
(.3)(1)(frac<3><<10>>)Oui
( – 0.7)(1)(frac<< – 7>><<10>>)Oui
(0.141414 ldots .)(1)(frac<<14>><<99>>)Oui

Quelques exemples de nombres irrationnels :

Les nombres irrationnels sont l'ensemble des nombres réels qui ne peuvent être exprimés sous la forme (frac<< m

>><< m>>,) où (p) et (q) sont des entiers co-premiers et (< m> e 0.) Il existe de nombreux nombres irrationnels. Certains d'entre eux sont : (surd 8,surd 11,surd 50,) Nombre d'Euler (e = 2.718281 ldots …,) Nombre d'or (varphi = 1.618034 ldots …. )

Que sont les nombres rationnels sur une droite numérique ?

Ici, nous allons apprendre à représenter des nombres sur la droite numérique, alors dessinons une droite numérique.

Ainsi, ici, les points à droite de (0) sont désignés par le signe ( + ) et sont des nombres positifs. Le point à gauche de (0) est désigné par le signe ( – ) et sont des nombres négatifs.,
Donc, représentez le nombre ( – frac<1><2>) sur la droite numérique.
Comme le nombre rationnel ( – frac<1><2>) est négatif, il sera marqué sur le côté gauche du (0.)

Ainsi, tout en marquant les entiers sur la droite numérique, les entiers successifs sont marqués à intervalles égaux. De plus, à partir de (0), la paire (1) et ( – 1) est à la même distance. Donc, sont les paires (2) et ( – 2,3) et ( – 3) et ainsi de suite.

De même, les nombres rationnels (frac<1><2>) et ( – frac<1><2>) seraient à égale distance de (0.) Maintenant, vous savez comment pour marquer le nombre rationnel (frac<1><2>.) Ceci est marqué à un point qui est la moitié de la distance entre (0) et (1) Donc, ( – frac <1><2>) est marqué à un point situé à la moitié de la distance entre (0) et ( – 1.)

Maintenant, essayez de marquer ( – frac<3><2>) sur la droite numérique. Il se trouve à gauche de (0) et est à la même distance que (frac<3><2>) de (0.) Par ordre décroissant, on a (frac<< & #8211 1>><2>,< m<>>frac<< – 2>><2>left( < = – 1> ight),< m< >>frac<< – 3>><2>,< m<>>frac<< – 4>><2>left( < = – 2> ight) ,) ce qui montre que (frac<< – 3>><2>) se situe entre ( – 1) et ( – 2.) Ainsi, (frac< < – 3>><2>) se situe à mi-chemin entre ( – 1) et ( – 2.)

Tous les autres nombres rationnels qui ont des dénominateurs différents peuvent être représentés de la même manière.

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel sous forme standard ?

Les dénominateurs de ces nombres rationnels sont des entiers positifs et (1) est le seul facteur commun entre les numérateurs et les dénominateurs. De plus, le signe négatif n'apparaît qu'au numérateur. Ces nombres rationnels sont dits sous la forme standard ou la forme la plus simple ou la forme la plus basse.

Définition: Un nombre rationnel est prétendu être sous sa forme standard si son dénominateur est un entier positif et, par conséquent, le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre facteur commun que (1.)

Si vous vous souvenez de la méthode de réduction des fractions à leurs formes les plus basses, nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le même entier positif non nul. Nous utiliserons une méthode équivalente pour réduire les nombres rationnels à leur forme standard.

Exemple: Réduire à la forme standard (frac<<36>><< – 24>>.)

Solution: Ainsi, le HCF des nombres (36) et (24) est (12.). Ainsi, la forme standard peut être obtenue en divisant la fraction donnée par ( – 12.)

Quelle est la relation entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?

Nous savons que les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. La comparaison entre le nombre rationnel et le nombre irrationnel a été donnée ci-dessous :

Nombres rationnelsNombres irrationnels
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent être exprimés sous forme de fractions d'entiers. Exemples : (0.75,< m<>>frac<< – 31>><5>)Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions d'entiers. Exemple : (surd 2,pi .)
Ces nombres peuvent être des décimales terminales.Ces nombres ne peuvent jamais être des décimales terminales.
Les nombres rationnels peuvent être des nombres décimaux sans fin avec des motifs répétitifs de nombres décimaux.Les nombres irrationnels ont toujours des expansions décimales non terminales sans motifs répétitifs de décimales.
L'ensemble des nombres rationnels contient des nombres naturels, des nombres entiers et des entiers.L'ensemble des nombres irrationnels est un ensemble séparé qui ne contient aucun des autres ensembles de nombres.

Regardez le schéma donné pour une meilleure compréhension.

Comment identifier un nombre rationnel ?

Nous savons qu'un nombre rationnel peut être exprimé sous forme de fraction ou d'entier. Chacun de ces nombres est considéré comme un nombre rationnel. Maintenant, pour identifier si le nombre donné est un nombre rationnel ou non, nous devons vérifier avec les conditions suivantes :

1. Nous pouvons représenter le nombre comme une fraction d'entiers comme (frac

,) où (q e 0.)
2. Le rapport (frac

) peut être simplifié et représenté sous la forme décimale qui est soit récurrente, soit non-terminative.

Quels sont les types de nombres rationnels ?

1. Nombres rationnels positifs : (frac<2><5>,.2,6,) sont quelques exemples de nombres rationnels positifs. Ici (0.2) peut être écrit comme (frac<1><5>) et (6) peut être écrit comme (frac<6><1>.)
2. Nombres rationnels négatifs : ( – frac<2><7>, – 0.5, – 8,) sont quelques exemples de nombres rationnels négatifs. Ici ( – 0.5) peut être écrit comme (frac<1><2>) et ( – 8) peut être écrit comme ( – frac<8><1 >.)
3. Forme entière du nombre rationnel : Comme nous savons que tous les entiers sont des nombres rationnels car nous pouvons les écrire sous la forme (frac<< m

>><< m>>,) où (p) et (q) sont des entiers co-premiers et (< m> e 0.) Exemple, (6) peut être écrit comme (frac<6><1>.)
4. Forme décimale du nombre rationnel : Les nombres décimaux récurrents terminés et non terminés sont des nombres rationnels. Exemple, (0.3) est un nombre décimal de fin qui peut être écrit comme (frac<3><<10>>) et (0.33333 ldots ) ​​est un nombre décimal récurrent sans fin qui peut être écrit comme (frac<1><3>.)

Comment identifier les nombres rationnels positifs et négatifs ?

Les nombres rationnels peuvent être différenciés en nombres rationnels positifs et négatifs. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs ou négatifs, on parle alors de nombre rationnel positif. Lorsque l'un des numérateurs ou le dénominateur est un entier positif et l'autre est un entier négatif, il est appelé nombre rationnel négatif.

Nombres rationnels positifsNombres rationnels négatifs
Lorsque les numérateurs et les dénominateurs sont de même signe, il est appelé nombre rationnel positif. Exemple : (frac<3><8>) est un nombre rationnel positif.Lorsque le numérateur et le dénominateur sont de signes différents, ils sont appelés nombres rationnels négatifs. Exemple : (frac<< – 8>><9>) est un nombre rationnel négatif.
Tous les nombres sont supérieurs à zéro.Tous les nombres sont inférieurs à zéro.

Que sont les opérations arithmétiques des nombres rationnels ?

Comme vous savez déjà comment additionner, soustraire, multiplier ou diviser les nombres entiers ainsi que les fractions. Voyons maintenant ces opérations de base sur les nombres rationnels.

Une addition: Lorsque vous additionnez les nombres rationnels avec le même dénominateur, ajoutez seulement les numérateurs en gardant le même dénominateur. Deux nombres rationnels avec des dénominateurs différents sont ajoutés en retirant le LCM des deux dénominateurs, puis en convertissant les deux nombres rationnels en leurs formes équivalentes pour avoir le LCM comme dénominateur.

Soustraction: Tout en soustrayant deux nombres rationnels, nous ajoutons l'inverse additif du nombre rationnel qui est soustrait de l'autre nombre rationnel.

Multiplication: Pour multiplier les deux nombres rationnels, multipliez leurs numérateurs et dénominateurs séparément et écrivez le produit sous la forme (frac<<< m>>><<< m>>>.)

Lorsque vous multipliez le nombre rationnel par un entier positif, multipliez le numérateur par cet entier, en gardant le dénominateur inchangé.

Ici, multipliez un nombre rationnel par l'entier négatif :

Division: Pour diviser un nombre rationnel par l'autre nombre rationnel non nul, on multiplie le nombre rationnel par l'inverse de l'autre nombre rationnel.

Qu'est-ce que l'inverse multiplicatif du nombre rationnel ?

Un nombre rationnel (frac

) est appelé inverse multiplicatif ou réciproque de (frac

) et est noté (> ight)^< – 1>>….) Les nombres (1) et ( – 1) sont les seuls nombres rationnels qui sont leurs propres réciproques. Aucun autre nombre rationnel n'est son propre réciproque. Le nombre rationnel (0) n'a pas d'inverse multiplicatif.
Exemple: Le nombre est (frac<2><8>) son inverse multiplicatif est (frac<8><2>.)

Quelles sont les propriétés des nombres rationnels ?

Le nombre rationnel est le sous-ensemble du nombre réel qui obéira à toutes les propriétés du système de nombres réels. Quelques-unes des propriétés importantes sont les suivantes :

  1. Chaque fois que nous multiplions, additionnons, soustrayons ou divisons deux nombres rationnels, le résultat est toujours un nombre rationnel.
  2. Le nombre rationnel reste le même lorsque nous divisons ou multiplions le numérateur et le dénominateur avec le même nombre.
  3. Lorsque nous ajoutons zéro à n'importe quel nombre rationnel, nous obtenons le même nombre que le résultat.
  4. Les nombres rationnels sont fermés sous la soustraction, l'addition et la multiplication.

Comment identifier le nombre rationnel entre deux nombres rationnels ?

Le nombre d'entiers entre deux entiers est limité (fini). La même chose se produira-t-elle également dans le cas des nombres rationnels ? Nous verrons cela ci-dessous.

Il les a convertis en nombres rationnels avec les mêmes dénominateurs.
Donc, (frac<< – 3>> <5>= frac<< – 9>><<15>>) et (frac<< – 1>> <3 >= frac<< – 5>><<15>>)

Nous avons (frac<< – 9>><<15>>

(p)(q)(frac

)

Rationnel
(1)(2)(frac<1><2>)Oui
( – 3)(4)(frac<< – 3>><4>)Oui
(.3)(1)(frac<3><<10>>)Oui
( – 0.7)(1)(frac<< – 7>><<10>>)Oui
(0.141414 ldots .)(1)(frac<<14>><<99>>)Oui

Question 7 : (3.14) est-il un nombre rationnel ?
Réponse: Oui, le nombre (3.14 = frac<<314>><<100>>) est un nombre rationnel.

Question 8 : Est-ce que (frac<1><3>) est un nombre rationnel ou irrationnel ?
Réponse: (frac<1><3>) est un nombre rationnel.

EntiersNombres pairsNombres entiers
Nombres composésNombres réelsNombres naturels
Co nombres premiersNombres impairsNombres premiers

Vous avez maintenant des informations détaillées sur les nombres rationnels. Lorsque vous vous préparez aux examens, assurez-vous de bien comprendre tous les concepts, sujets et chapitres à temps. Embibe fournit Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 8, chapitre 1 et Livres NCERT pour les mathématiques de la classe 8, qui fourniront tous deux une compréhension et une pratique suffisantes pour les nombres rationnels. Vous pouvez également prendre Test fictif de mathématiques de la classe 8 pour améliorer votre score en mathématiques.

Nous espérons que cet article détaillé sur les nombres rationnels vous aidera. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à demander dans la section commentaire ci-dessous. Nous vous répondrons au plus tôt.


Forme la plus simple

Parfois, nous avons un nombre rationnel comme celui-ci :

Mais ce n'est pas aussi simple que cela puisse être !

Nous pouvons diviser le haut et le bas par 5 pour obtenir :

&diviser 5
1015 = 23
&diviser 5

Maintenant, c'est sous la "forme la plus simple", c'est ce que la plupart des gens veulent !


5.2.5 : Soustraction de nombres rationnels - Mathématiques

Cette nouvelle version est une grande amélioration par rapport à l'ancienne.
M. Tom Carol, NY

Ce programme a jeté les bases de la solution étape par étape la plus réussie pour l'enseignement de l'algèbre que j'aie jamais vue ou eu le plaisir de mettre en œuvre en classe. Comme je l'ai mentionné lors de notre précédente conversation téléphonique, lors de la présentation des résultats réels des tests de compréhension mathématique standardisés de nos étudiants, en utilisant les données des périodes précédant et juste après la mise en œuvre de votre logiciel, la différence comparative est vraiment évidente.
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J'ai commencé avec ce genre de programmes car je suis dans un cours en ligne et il y a des moments où "je n'en ai aucune idée". Je trouve votre programme plus facile à suivre. JE VOUS REMERCIE!
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J'ai décidé de scolariser mes enfants à la maison à un jeune âge. Une fois qu'ils étaient plus âgés, j'ai rapidement réalisé que je n'étais pas capable de créer des plans de cours de mathématiques efficaces avant d'avoir les connaissances nécessaires pour le faire. Algebrator m'a non seulement permis d'enseigner l'algèbre à mes enfants, mais il a également rafraîchi mes connaissances. Merci d'avoir créé un programme merveilleux!
Margret Dixx, Alabama


Addition et soustraction de nombres rationnels



Exemples, solutions, vidéos, feuilles de travail, histoires et chansons pour aider les élèves de 6e année à apprendre à additionner et à soustraire des nombres rationnels.

Comment additionner et soustraire des nombres rationnels ?

Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des nombres rationnels qui ont le même dénominateur, nous ajoutons ou soustrayons uniquement les numérateurs. Les dénominateurs restent les mêmes.
Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des nombres rationnels avec des dénominateurs différents, nous devons changer les nombres rationnels en nombres rationnels équivalents qui ont les mêmes dénominateurs, avant de trouver la somme ou la différence.

Addition et soustraction de nombres rationnels

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Système de numérotation

&emsp&emsp W= <0,1,2,3,4. >
On peut visualiser les nombres entiers en établissant une correspondance entre ces nombres et certains points d'un rayon ou d'une demi-ligne comme suit : Choisissez deux points O et A , avec A à droite de O . Avec O comme point de départ, tracez la demi-ligne de O à A . En utilisant la distance de O à A comme distance unitaire, nous marquons maintenant des points successifs, distants d'une unité, sur la demi-ligne, comme le montre la figure 1. Nous

&samp&samp
&samp&sampFIGURE 1.

&emsp&emsplet le nombre 0 correspond au point O , on laisse 1 correspond à A , 2 correspond à B , et ainsi de suite, comme le montre la figure 2. Dans cette correspondance un nombre est la coordonnée de son point correspondant.

&samp&samp

&emsp&emspNous connaissons les opérations d'addition et de multiplication de nombres entiers. La propriété selon laquelle la somme de deux nombres entiers est à nouveau un nombre entier est appelée loi de fermeture pour l'addition. De même, puisque le produit de deux nombres entiers est à nouveau un nombre entier, la loi de fermeture de la multiplication est valable pour W . Les lois de base des calculs dans W sont les suivantes : pour m, n et p entiers,

&samp&sampA.1 m + (n + p) = (m + n) + p (loi d'addition associative)
&samp&sampA.2 m + n = n + m (loi d'addition commutative)

&samp&sampA.3 n+ 0 = n (Identité additive)

&samp&sampM.1 m * (n * p) = (m * n) *p (loi associative de multiplication)
&samp&sampM.2 m*n=n*m (loi commutative de multiplication)

&samp&sampM.3 1*n=n (identité multiplicative)

&samp&sampD.1 n * (m+ p) = (n * m) + (n * p) (loi distributive de gauche)

&samp&sampD.2 (m+ p) * n = (m * n) + (p * n) (droit distributif)

&emsp&emspDeux autres opérations sur W sont la soustraction et la division. La soustraction est définie en termes d'addition de la manière suivante. Si m et n sont des nombres entiers, alors m-n est le nombre entier x tel que
&emsp&emsp n+x=m
&emsp&emspif un tel nombre entier x existe. La division est définie en termes de multiplication. Si m et n sont des nombres entiers et n!=0 , alors m &diviser n est le nombre entier x tel que

&emsp&emspif un tel nombre entier x existe.

&emsp&emspRemarquez que la division par 0 n'est pas définie. Car si m!=0 , alors il n'y a pas de nombre entier x tel que 0*x=m et si m = 0 , alors tout nombre entier x satisfait 0*x=0 . Nous remarquons également que la soustraction n'est pas une opération fermée sur W . Par exemple, 1-2 n'est pas un nombre entier. La division n'est pas fermée non plus, puisque, par exemple, 3÷4 n'est pas un nombre entier. Comme nous le savons, pour faire de la soustraction une opération fermée, nous devons étendre les nombres entiers aux nombres entiers, et pour faire de la division une opération fermée, nous devons étendre les nombres entiers aux nombres rationnels. Ces systèmes de numérotation seront examinés dans les sections 1.2 et 1.3.

&emsp&emspLes nombres naturels ont des propriétés multiplicatives intéressantes que nous allons maintenant considérer. Si a,b et c sont des nombres naturels et c = a * b , alors a et b sont dits facteurs ou diviseurs de c , et c est dit multiple de a et de b . Notons que 1 est un facteur de tout entier naturel c puisque c = 1 * c . Nous appelons 1 un facteur trivial de c et c un multiple trivial de lui-même. Un nombre naturel c autre que 1 est premier si les seuls diviseurs de c sont 1 et c . Par exemple 3 est un nombre premier puisque ses seuls facteurs sont 1 et 3 , tandis que 4 n'est pas premier puisque 4 = 2 * 2 . Un nombre naturel est dit pair s'il a un facteur 2 et il est dit impair s'il n'est pas pair. Les nombres 2, 4, 6, . , sont tous pairs tandis que 1, 3, 5, . , sont étranges. Il s'ensuit qu'un nombre naturel a est pair si et seulement si a = 2b , où b est un nombre naturel, et a est impair si et seulement si a = 2b-1 , où b est un nombre naturel.

&emsp&emspPar essai, il est facile de voir que les six premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 . Puisque chaque multiple non trivial d'un nombre naturel donné est non premier, le processus suivant, dû au mathématicien grec Eratosthène (275-194 av. J.-C.), peut être utilisé pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre naturel donné.

Exemple 1.&samp&sampTrouvez tous les nombres premiers inférieurs à 50 .

&emsp&emspÉcrivez d'abord tous les nombres naturels de 1 à 50 à la suite.

&emsp

&emsp&emspPuisque 1 n'est pas un nombre premier, nous le rayons. Puisque 2 est premier et que tout multiple non trivial de 2 n'est pas premier, nous gardons 2 et rayons ensuite un nombre sur deux. Conservez ensuite le prochain chiffre non barré, c'est-à-dire 3 , et rayez ensuite tous les trois chiffres. Conservez ensuite le prochain chiffre non barré, c'est-à-dire 5 , et rayez ensuite tous les cinq chiffres. Poursuivant ce processus, les nombres non croisés à la fin sont des nombres premiers.

&emsp&emspLe nombre de nombres premiers est connu pour être infini en fait, le célèbre mathématicien grec Euclide (vers 300 av. J.-C.) a publié une preuve qu'il n'y a pas de plus grand nombre premier.

&emsp&emspChaque nombre naturel supérieur à 1 peut être exprimé comme un produit de facteurs premiers d'une et d'une seule manière, en dehors de l'ordre dans lequel les facteurs sont écrits. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de factorisation unique. Par exemple, la factorisation unique de 56, 60, 90 et 113 est :

&emsp&emspLe problème de trouver les facteurs premiers d'un nombre naturel donné est difficile. Si vous n'êtes pas convaincu, essayez de prendre en compte votre numéro de sécurité sociale en nombres premiers. Nous trouverons les règles suivantes utiles :

&samp&sampF.1 Si le dernier chiffre d'un nombre naturel est pair, alors il a un facteur 2 .
&samp&sampF.2 Si le dernier chiffre d'un nombre naturel est 0 ou 5 , alors il a un facteur
de 5 .
&samp&sampF.3 Si la somme des chiffres d'un nombre naturel est divisible par 3 , alors
il a 3 comme facteur.&emsp

&emsp&emspPar exemple, 192, 768 et 24 ont 2 comme facteur, 250, 145 et 760 ont 5 comme facteur, tandis que 123, 504 et 273 ont tous 3 comme facteur. Ceux-ci peuvent tous être vérifiés par le lecteur.

&samp&sampF.4 Lorsque nous essayons de trouver des facteurs d'un nombre naturel a , si b*b est supérieur à a , alors a n'a pas de facteurs supérieurs à b s'il n'en a pas moins que b .

&emsp&emspRule F.4 est utile pour déterminer si un nombre est un nombre premier ou non. Par exemple, pour déterminer si 113 est premier, les seuls nombres que nous devons essayer sont les nombres premiers inférieurs à 11 puisque 11 * 11 = 121 , ce qui est plus grand que 113 .

&emsp&emspDans le calcul de la factorisation première de 258, nous trouvons d'abord les 2 &rsquos qui sont des facteurs par division successive par 2 , puis les 3 qui sont des facteurs, et ainsi de suite. Les règles F.1 à F.4 nous aideront dans le calcul, en particulier F.4 qui nous permet de réduire le nombre de nombres premiers que nous devons essayer comme diviseurs.

Exemple 1.&rempl&Écrivez 258 comme un produit de nombres premiers.

&emsp&emsp&emsp&emsp

&emsp&emspNous voyons que 43 n'est pas divisible par 2, 3, 5 ou 7 . D'après la règle F.4, puisque - 7*7= 49 , il n'y a pas de plus grands diviseurs et donc 43 est premier. En conséquence

Exemple 2.&p&&pbÉcrire 113 comme un produit de nombres premiers

&emsp&emspNous voyons d'abord que 113 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 ou 11 , où 11* 11 = 121 . D'après la règle F.4, il s'ensuit que 113 est premier. Ainsi

&emsp&emspSi a_1,a_2. a_n , sont des nombres naturels, puis le plus petit commun multiple de a_1,a_2. a_n , est le plus petit nombre naturel qui est un multiple de chaque a_i . Nous désignons ce nombre par L.C.M. (a_1,a_2. a_n) . Pour calculer le L.C.M. d'une collection finie de nombres naturels, nous formons le produit des nombres premiers obtenus en prenant chaque facteur premier qui apparaît dans l'un des nombres le nombre maximum de fois où il apparaît dans l'un des nombres.

Exemple 3.&p&&pbRetrouvez L.C.M. (6,8,12) .

Exemple 4.&rempl&Retrouvez L.C.M. (40,48,56,24) .

1.2&emsp&emspLes entiers

&emsp&emspDans la section 1.1, nous avons vu que certaines différences, m-n , ne sont pas des nombres entiers. Afin d'obtenir une collection de nombres dans laquelle la soustraction est fermée, nous étendons d'abord notre droite numérique à gauche de zéro et délimitons des points séparés d'une unité en commençant par le point dont la coordonnée est 0 . Ensuite, pour distinguer les coordonnées des points de gauche de celles de droite, nous attachons des signes négatifs à ceux de gauche. Voir la figure 3. La collection de nombres résultante, notée Z ,

&samp&samp

&samp&sampest appelé les entiers. Ainsi

&emsp&emspLa coordonnée de chaque point à droite de zéro est appelée (ainsi qu'un nombre naturel) un entier positif, et la coordonnée de chaque point à gauche de zéro est appelée un entier négatif. Zéro n'est ni positif ni négatif. Ainsi Z est composé des entiers positifs, des entiers négatifs et de zéro.

&emsp&emspL'ensemble des nombres entiers est fermé sous les opérations d'addition, de multiplication et aussi de soustraction. Cependant, Z n'est pas fermé par division, puisque 3+4 n'est pas un entier. Le système Z satisfait toutes les lois auxquelles W satisfait, c'est-à-dire A.1 à D.2, avec :

&samp&sampA.4&s&&s&ePour chaque entier m il existe un unique entier, noté -m , tel que

&emsp&emspL'entier -m est appelé l'inverse additif de m , ou le négatif de m . Notez que -m est un nombre négatif si m est positif, mais -m est un nombre positif si m est négatif. Par exemple si m = -3 , son inverse additif, -m , est -(-3) . Pourtant,

&emsp&emspthus 3 est l'inverse additif de -3 , par conséquent,
&emsp&emsp -(-3)=3
&emsp&emspLes règles de calcul importantes suivantes dans Z découlent des règles de base A.1 à D.2, y compris A.4. Pour m et n entiers,

&emsp&emspLa règle C.1 est dérivée comme suit. Depuis

&emsp&emsp m est l'inverse additif de -m . Ainsi

&emsp&emspNous ne mettons pas l'accent sur les preuves, nous laissons donc les dérivations de C.2 à C.9 au lecteur intéressé.

Exemple 1.&rempl&Calculez chacun des éléments suivants (a) 7+(-3) (b) -4+(-9) .

Exemple 2.&p&&pbCalculez chacun des éléments suivants : (a) 4-(-2) (b) -12-(-10) .

Exemple 3.&p&&pbCalculez chacun des éléments suivants : (a) -(5-9) (b) (-1)[7+(-12) ] (c) (-7)(-2) (d) 3(-5)

&emsp&emspDans nos deux derniers exemples, nous considérons des calculs plus compliqués.

Exemple 4.&rempl&Calculez chacun des éléments suivants : (a) 2+(3-8) (b) -4-[7+(-3) ] (c) (-8+12)-[-3-(-2) ] ( d) -2-

&emsp&emspNotez que pour ces calculs numériques, nous commençons par l'ensemble de parenthèses le plus interne.

Voyons comment notre solveur de système numérique résout ce problème et des problèmes similaires. Cliquez sur le bouton "Résoudre les similarités" pour voir plus d'exemples.

Exemple 5.&emsp&emspCalculez chacun des éléments suivants (a) (-5+9)(3-12) (b) 2-3(1-5) (c) [-6+7(4-5)]-2[-4+ (6-1) ] (d) -3-2[7-5(-2-3(1-5)) ]

&emsp&emspUnique factorization holds in Z as well as in N . For example

&emsp&emspConsequently, we also have the notion of least common multiple in Z . To find the least common multiple of a set of integers we ignore the signs and compute the L.C.M. of the resulting natural numbers.

Example 5.&emsp&emspCompute L.C.M. (-12,14,-15) .

1.3&emsp&emspRational Numbers

&emsp&emspIn order to obtain a collection of numbers that will be closed under division, we enlarge our system to the collection of rational numbers. This collection is

&emsp&emspThe integer b has to be different from zero since division by zero is not defined. Note that the integers are rational numbers since the integer n is equal to the rational number n/1 . The rational numbers can be assigned as coordinates of certain points on the number line. For example, 2/3 corresponds to the point obtained by dividing the segment from the point whose coordinate is 0 to the point whose coordinate is 1 into three equal segments and then taking the second

&emsp&emsp

point of the subdivision. In the case of -(7/5) , we write

&emsp&emspand then divide the segment from -1 to -2 into five equal parts. The number -(7/5) corresponds to the second subdivision point counting from -1 . From now on we will refer to the point whose coordinate is a , simply as the point a .

&emsp&emsp

&emsp&emspWe know that the rational numbers 1/2, 2/4, 3/6, . , all represent the same rational number. Therefore, for the first time we have encountered a system where equality is not to be taken for granted. In fact the law of equality for rational numbers is: If a/b and c/d are rational numbers, then

&emsp&emspThis definition allows us tn derive the fundamental cancellation law for rational numbers. If a, b , and c are integers, b!=0 , and c!=0 , then

&emsp&emspThis follows easily since ac(b)=a(bc) because of associativity and commutativity of multiplication for integers. This is called the cancellation law because in practice we write

&emsp&emsp

&emsp&emspA rational number a/b is said to be in simplest form if a and b have no nontrivial factors in common, To simplify a/b we factor the integers a and b into prime factors and then use the cancellation law.

Example 1. &emsp&emspWrite 60/72 in simplest form.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

&emsp&emspIf a/b and c/d are rational numbers, then multiplication is defined by the equation

&emsp&emspThe definition of division for rational numbers is the same as it is for natural numbers. If a/b and c/d are rational numbers and c!=0 , then (a)/(b) ÷ c/d is the rational number x/y such that

&emsp&emspThus division is performed by the equation

&emsp&emspIn other words, to divide by c/d , we simply invert this divisor, obtaining d/c , and multiply. Par exemple,

&emsp&emsp=&emsp&emsp

&emsp&emspAddition of rational numbers is performed according to the equation

&emsp&emspIn the case of addition of rational numbers with different denominators, the cancellation law is used to express the numbers as equivalent rational numbers with the same denominator.

&emsp&emspHere a common denominator is 2*3 , simply the product of the denominators. The product of the denominators may always be used as a common denominator. However, the least common denominator (L..C.D), which is clearly the L.C.M. of the denominators, is easier to use. For example if we add 1/12 and 1/18 , then L.C.M (12, 18)=36 is easier to use than 12*18=216 .

&emsp&emspThe definition for subtraction of rational numbers is the same as it is for natural numbers, namely, (a/b)-(c/d) is the rational number x/y such that

&emsp&emspHence, subtraction is performed by the equation

&emsp&emspAs in the case of addition, if the rational numbers have different denominators, we find the L.C.D. and use the cancellation law to express them as equivalent rational numbers with the same denominator.

Example 3.&emsp&emspFind 3/18-5/24 .

Let&rsquos see how our Number System solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

&emsp&emspIt is clear from the preceding definitions of addition, subtraction, multiplication, and division, that the set of rational numbers Q is closed under these operations. Furthermore, the set Q together with addition, subtraction, multiplication, and division, satisfies all of the laws that Z satisfies, namely, A.1-A.4, M.1-M.3, D.1 et D.2, as well as,

&emsp&emspM.4&emsp&emspFor each rational number r!=0 , there is a unique rational number, denoted by 1/r , such that

&emsp&emspThe rational number 1/r is called the multiplicative inverse of r , or the reciprocal of r .
The number system Q also satisfies the laws of computation that Z satisfies, C.1 through C.9, and in addition:

&emsp&emspThe laws C.10 et C.11 follow easily from the definition of equality for example,

Example 4.&emsp&emspCompute (a) 2/3(3/5+7/-2) (b) (-3/4-6/-2)÷(7/5)

Example 5. Compute (2/3-4+(-3)/2)/(1/3-5(2/7))

1.4&emsp&emspReal Numbers

&emsp&emspWe have seen in the preceding sections how the natural numbers, the integers, and finally the rational numbers can be identified with points on a line and, conversely, certain points on the line can be identified with rational numbers. However, as we will soon see, there are points on the number line that as yet have no numbers assigned
to them.
&emsp&emspDuring the 6th century B.C., Pythagoras, a famous Greek

&emsp&emspmathematician, discovered the following formula for right triangles. If a,b , and c are the lengths of the sides of a right triangle with c being the longest side, then

&emsp&emsp

&emsp&emspIf we consider the right triangle where a and b are of length 1 , then

&emsp&emspthat is, the length of the longest side is the number c such that c^2 = 2 . We denote this number by the symbol root(2) , which we call the square root of 2 . This length corresponds to a point on the number line, however there is no rational number whose square is 2 . For, if (p/q)^2 = 2 , where p and q have no common factor, then

&emsp&emsp p^2=2q^2 &emsp&emsp(definition of equality in Q )

&emsp&emspThis equation tells us that p^2 is even and, therefore, p is even. Then for some integer r

&emsp&emspSubstituting in the first equation we have

&emsp&emspThus q^2 is even, and hence q is even. We have arrived at the conclusion that 2 is a common factor of p and q , contradicting the original assumption that p and q have no common factors. Therefore root(2) cannot be expressed as a ratio of integers, that is, it is not rational.

&emsp&emspThe fact that there is no rational number whose square is 2 was probably known to Pythagoras, but it is said that it disturbed him so much that he did not make the information known for fear t.hat it would discredit mathematicians in the eyes of the general public.

&emsp&emspThe above discussion shows that the collection of rational numbers is not closed under the operation of taking square roots. From the point of view of geometry this means that there are geometric figures whose sides cannot be measured exactly using only the collection of rational numbers. Also, on our number line this means that there are points that do not correspond to rational numbers. To fill in these gaps we must consider a larger collection of numbers, namely, the real numbers. There is a correspondence between the collection of real numbers and all the points on the number line, which we now refer to as the real number line. For example, root(2) corresponds to the point on the line obtained by taking the right triangle of sides 1, 1 , and root(2) and placing it on the line as shown in Figure 5.

&emsp&emspGiven a point on the real number line, we may approximate the real number to which it corresponds by measuring the distance from the origin to the point. If we use a metric ruler our approximation will be a decimal accurate to a certain number of places. This decimal approximation is a rational number.

&emsp&emspA completely logical treatment of real numbers was unknown until about 1870 when G. Cantor and R. Dedekind, two German mathematicians, gave a complete logical description and development.
The real numbers that are not rational are called irrational numbers. Irrational numbers are by no means scarce. Let root(n,a) denote the real number x such that x^n=a , n being a positive integer. If a is a positive integer that is not the nth power of an integer, then root(n,a) is irrational.

&emsp&emsp

&emsp&emspFor example, root(3),root(5), root(3,2),root(3,4),root(5,2),root(5,3). , are all irrational numbers. Other irrational numbers may be found by applying the following two properties.

&emsp&emspProperty 1. If a rational number R is added to an irrational number
then the sum S is again irrational.

&emsp&emspSince S = R+ , it follows that = S-R . Furthermore, if S were rational, then = S-R would be rational, since the rational numbers are closed under subtraction. Mais is irrational, hence S must also be irrational. Using property , we see that the real numbers 3+root(2), 1+ root(3) , and 1/2+ root(3,5) , are irrational numbers.

&emsp&emspProperty 2. If a rational number R is multiplied by an irrational number , then the product P is an irrational number.

&emsp&emspThis property follows from the fact that the rationals are closed under division, and we leave the proof as an exercise for the interested reader. From Property 2 , the real numbers 2root(2),5root(3) , and root(5,3/2) are irrational numbers.

&emsp&emspThere are many other irrational numbers that cannot be obtained by taking roots of rational numbers. For example PI , which is defined as the circumference of a circle divided by its diameter, is such an irrational number. From the above properties, the numbers 2PI,PI/3 , and 1/2+ PI are also irrational numbers.

&emsp&emspThe collection of real numbers will be denoted by R . The relationships between the number systems N, W, Z, Q , and R are illustrated in Figure 6 below. Addition, subtraction, multiplication, and division

&emsp&emsp

&emsp&emsp(except by 0 ) can all be defined on R so that these operations are consistent with the operations on the set Q of rational numbers. Further more, the operations in R satisfy all of the basic laws of arithmetic that we had for Q , namely, A.1-A.4, M.1-M.4, D.1, D.2, as well as C.1&mdashC.11.

&emsp&emspThe real numbers can be divided into three non-overlapping sets: the negative real numbers, zero, and the positive real numbers. A real number x is positive if it is to the right of 0 on the real number line, and negative if it is to the left of 0 . We use the notation x > 0 if x is positive and x < 0 if x is negative. Inequalities will be studied in detail in Chapter 9.

&emsp&emspAn operation on real numbers which can be described in terms of positive and negative real numbers is that of computing the absolute value of a number. The absolute value of a is denoted by |a| and is defined by

&emsp&emsp

&emsp&emsp&emsp&emspNote that for each real number a, a,|-a|=|a| = |a| is never negative.
&emsp&emspDistance between two points on the line can be expressed by means of absolute values. In fact, if a and b are points on the real number line, then the distance between a and b , denoted by d(a, b) , is given by


Problem 1

Write a sentence to answer each question:

1) How much warmer is 82 than 40?

2) How much warmer is 82 than -40?

Problem 2

3) What is the difference in height between 30 m up a cliff and 87 m up a cliff?

4) What is the distance between these positions?

5) What is the difference in height between an albatross flying at 100 m above the surface of the ocean and a shark swimming 30 m below the surface?

6) What is the distance between them if the shark is right below the albatross?

Problem 3

7) A company produces screens of different sizes. Based on the table, could there be a relationship between the number of pixels and the area of the screen?

I need more information to tell.

8) If so, write an equation representing the relationship. If not, explain your reasoning.

Problem 4
Problem 5

A family goes to a restaurant. When the bill comes, this is printed at the bottom of it:


Adding and Subtracting Rational Numbers Worksheets

Adding and Subtracting Rational Numbers worksheets are one of the most fundamental concepts from a mathematics point of view. A rational number is a number in which the denominator and numerator are both integers (except, the denominator can't be zero). Firstly, before adding or subtracting two or more rational numbers, they should have a common denominator. This can be done by multiplying both numerator and denominator by a common factor. One can then proceed with the operations.


7.5 Rational Number Arithmetic

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