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8.3 : La dérivée - Mathématiques


Rappelons que lorsque nous avons eu une fonction (f colon {mathbb{R}} o {mathbb{R}}), nous avons défini la dérivée à (x) comme [lim_{h o 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h} .] Autrement dit, il y avait un nombre (a) (la dérivée de (f) à (x )) tel que [lim_{h o 0} leftlvert {frac{f(x+h)-f(x)}{h} - a} ight vert = lim_{h à 0} gauchelvert {frac{f(x+h)-f(x) - ah}{h}} ight vert = lim_{h o 0} frac{gauchelvert { f(x+h)-f(x) - ah} ight vert}{leftlvert {h} ight vert} = 0.]Multiplier par (a) est une application linéaire en un dimension. Nous utilisons cette définition pour étendre la différenciation à plus de variables. Soit (U subset {mathbb{R}}^n) un sous-ensemble ouvert et (f colon U o {mathbb{R}}^m ). On dit que (f) est dérivable en (x in U) s'il existe un (A in L({mathbb{R}}^n,{mathbb{R}}^m) ) tel que [lim_{substack{h o 0hin {mathbb{R}}^n}} frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Ah} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} = 0 .] On définit (Df(x) := A), ou (f'(x) := A), et on dit que (A) est la dérivée de (f) en (x). Lorsque (f) est dérivable du tout (x in U), on dit simplement que (f) est dérivable. Pour une fonction différentiable, la dérivée de (f) est une fonction de ( U) à (L({mathbb{R}}^n,{mathbb{R}}^m)). Comparons au cas unidimensionnel, où la dérivée est une fonction de (U) à ({mathbb{R}}), mais nous voulons vraiment penser à ({mathbb{R}}) ici comme (L({mathbb{R}}^1,{mathbb{R}}^1)).Les normes ci-dessus doivent être dans les bons espaces bien sûr. Nous ne le dirons pas explicitement à partir de maintenant. Nous avons encore quelque peu triché et dit que (A) est la dérivée. Nous n'avons pas encore montré qu'il n'y en a qu'un, faisons-le maintenant. Soit (U subset {mathbb{R}}^n) un sous-ensemble ouvert et (f colon U o {mathbb {R}}^m). Supposons (x in U) et qu'il existe (A,B in L({mathbb{R}}^n,{mathbb{R}}^m)) tel que [lim_{ h o 0} frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Ah} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} = 0 qquad text{et} qquad lim_{h o 0} frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Bh} ight Vert}{leftlVert {h} right Vert} = 0 .] Alors (A=B).[egin{split} frac{leftlVert {(AB)h} ight Vert}{leftlVert {h } ight Vert} & = frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Ah - (f(x+h)-f(x) - Bh)} ight Vert }{leftlVert {h} ight Vert} & leq frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Ah} ight Vert}{left lVert {h} ight Vert} + frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Bh} ight Vert}{gauchelVert {h} ight Vert} . end{split}]Donc (frac{leftlVert {(AB)h} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} o 0) as (h à 0). C'est-à-dire, étant donné (epsilon > 0), alors pour tout (h) dans une (delta)-ball autour de l'origine [epsilon > frac{leftlVert {(AB) h} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} = leftlVert {(AB)frac{h}{leftlVert {h} ight Vert}} ight Vert .] Pour tout (x) avec (leftlVert {x} ight Vert=1) soit (h = ( icefrac{delta}{2}) , x ), puis (leftlVert {h} ight Vert < delta) et (frac{h}{leftlVert {h} ight Vert} = x) et ainsi ( leftlVert {AB} ight Vert leq epsilon). Donc (A = B).Si (f(x) = Ax) pour une application linéaire (A), alors (f'(x) = A). Cela se voit facilement : [frac{leftlVert {f(x+h)-f(x) - Ah} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} = frac {leftlVert {A(x+h)-Ax - Ah} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} = frac{0}{leftlVert {h} right Vert} = 0 .]Soit (U subset {mathbb{R}}^n) ouvert et (f colon U o {mathbb{R}}^m) différentiable à (x_0). Alors (f) est continu en (x_0). Une autre façon d'écrire la différentiabilité est d'écrire [r(h) := f(x_0+h)-f(x_0) - f'(x_0) h .] Comme (frac{leftlVert {r(h)} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert}) doit aller à zéro comme (h o 0 ), alors (r(h)) lui-même doit aller à zéro. L'application (h mapsto f'(x_0) h) est une application linéaire entre des espaces de dimension finie. C'est-à-dire que (f) est continu en (x_0). Soit (U subset {mathbb{R}}^n) ouvert et (f colon U o {mathbb{ R}}^m) être dérivable en (x_0 in U). Alors [F(x) = gigl(f(x)igr)] est dérivable en (x_0) et [F'(x_0) = g'igl(f(x_0)igr) f'(x_0) .]Sans les points, cela s'écrit parfois (F' = {(f circ g)}' = g' f'). Autrement dit, si (A := f'(x_0)) et (B := g'igl(f(x_0)igr)), alors (F'(x_0) = BA). Soit (A := f'(x_0)) et (B := g'igl(f(x_0)igr)). Soit [r(h) := f(x_0+h)-f(x_0) - A h = k - Ah.] Alors [egin{split} frac{leftlVert {F(x_0+ h)-F(x_0) - BAh} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} & = frac{leftlVert {gigl(f(x_0+h)igr )-gigl(f(x_0)igr) - BAh} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} & = frac{leftlVert {g(y_0+ k)-g(y_0) - Bigl(kr(h)igr)} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert} %& = %frac %{ orm {g(y_0+k)-g(y_0) - Bigl(kr(h)igr)}} %{ orm{k}} %frac %{ orm{f(x_0+h)-f (x_0)}} %{ orm{h}} % & leq frac {leftlVert {g(y_0+k)-g(y_0) - Bk} ight Vert} {left lVert {h} ight Vert} + leftlVert {B} ight Vert frac {leftlVert {r(h)} ight Vert} {leftlVert {h} ight rVert} & = frac {gauchelVert {g(y_0+k)-g(y_0) - Bk} droit Vert} {gauchelVert {k} ight Vert} frac { leftlVert {f(x_0+h)-f(x_0)} ight Vert} {leftlVert {h} ight Vert} + leftlVert {B} ight Vert frac { leftlVert {r(h)} ight Vert} {leftlVert {h} ight Vert} . Par conséquent, (frac{leftlVert {F(x_0+h)-F(x_0) - BAh} ight Vert}{leftlVert {h} ight Vert}) passe à zéro, et (F'(x_0) = BA), qui est ce qui a été revendiqué. Dérivées partielles Il existe une autre façon de généraliser la dérivée à partir d'une dimension. Nous pouvons maintenir constantes toutes les variables sauf une et prendre la dérivée régulière. Soit (f colon U o {mathbb{R}}) une fonction sur un ouvert (U subset {mathbb{R} }^n). Parfois, nous écrivons (D_j f) à la place. Pour un mappage (f colon U o {mathbb{R}}^m) nous écrivons (f = (f^1,f^2,ldots ,f^m)), où (f^k) sont des fonctions à valeur réelle. Ensuite, nous définissons (frac{partial f^k}{partial x^j}) (ou l'écrivons comme (D_j f^k)). Les dérivées partielles sont plus faciles à calculer avec toute la machinerie du calcul , et ils fournissent un moyen de calculer la dérivée totale d'une fonction. Soit (U subset {mathbb{R}}^n) ouvert et (f colon U o {mathbb{R} }^m) être dérivable en (x_0 in U). Alors toutes les dérivées partielles en (x_0) existent et en termes de base standard de ({mathbb{R}}^n) et ({mathbb{R}}^m), ( f'(x_0)) est représenté par la matrice [egin{bmatrix} frac{partial f^1}{partial x^1}(x_0) & frac{partial f^1}{ partiel x^2}(x_0) & ldots & frac{partial f^1}{partial x^n}(x_0) frac{partial f^2}{partial x^1}( x_0) & frac{partial f^2}{partial x^2}(x_0) & ldots & frac{partial f^2}{partial x^n}(x_0) vdots & vdots & ddots & vdots frac{partial f^m}{partial x^1}(x_0) & frac{partial f^m}{partial x^2}(x_0) & ldots & frac{partial f^m}{partial x^n}(x_0) end{bmatrix} .]En d'autres termes [f'(x_0) , e_j = sum_{k=1 }^m frac{partial f^k}{partial x^j}(x_0) ,e_k .] Si (h = sum_{j=1}^nc^j e_j), alors [f'(x_0) , h = sum_{j=1}^n sum_{k=1}^mc^j frac{partial f^k}{partial x^j}(x_0) ,e_k .] Notez à nouveau le modèle haut-bas avec les indices additionnés. C'est exprès. Corrigez un (j) et notez que [egin{split} leftlVert {frac{f(x_0+h e_j)-f(x_0)}{h} - f'( x_0) e_j} ight Vert & = leftlVert {frac{f(x_0+h e_j)-f(x_0) - f'(x_0) h e_j}{h}} ight Vert & = frac{leftlVert {f(x_0+h e_j)-f(x_0) - f'(x_0) h e_j} ight Vert}{leftlVert {h e_j} ight Vert} . end{split}] Comme (h) tend vers 0, le membre de droite tend vers zéro par différentiabilité de (f), et donc [lim_{h o 0} frac{f( x_0+h e_j)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) e_j .] Notez que (f) est à valeur vectorielle. Donc pour tout (k) la dérivée partielle [frac{partial f^k}{partial x^j} (x_0) = lim_{h o 0} frac{f^k(x_0+ h e_j)-f^k(x_0)}{h}] existe et est égal à la (k)ème composante de (f'(x_0) e_j), et nous avons terminé.Une des conséquences du théorème est que si (f) est dérivable sur (U), alors (f' colon U o L({mathbb{R}}^n,{mathbb{R}}^ m)) est une fonction continue si et seulement si tous les (frac{partial f^k}{partial x^j}) sont des fonctions continues.Dérivées de gradient et directionnellesLet (U subset {mathbb {R}}^n) être ouvert et (f colon U o {mathbb{R}}) est une fonction différentiable. On définit le gradient comme [ abla f (x) := sum_{j=1}^n frac{partial f}{partial x^j} (x), e_j .] Ici la partie supérieure -les indices inférieurs ne correspondent pas vraiment. Supposons que (gamma colon (a,b) subset {mathbb{R}} o {mathbb{R}}^n) soit une fonction différentiable et l'image (gammaigl((a,b)igr) sous-ensemble U). Soit [g(t) := figl(gamma(t)igr) .] La fonction (g) est dérivable et la dérivée est [g'(t) = sum_{j= 1}^n frac{partial f}{partial x^j} igl(gamma(t)igr) frac{dgamma^j}{dt} (t) = sum_{j= 1}^n frac{partial f}{partial x^j} frac{dgamma^j}{dt} .] Par commodité, nous omettons parfois les points où nous évaluons comme à droite côté main ci-dessus. Remarquez [g'(t) = ( abla f) igl(gamma(t)igr) cdot gamma'(t) = abla f cdot gamma' ,] où le point est le produit scalaire scalaire standard. Nous utilisons cette idée pour définir des dérivés dans une direction spécifique. Puis définissons [gamma(t) := x + tu .] Il est facile de calculer que (gamma'(t) = u) pour tout (t). On calcule aussi directement [frac{d}{dt}Big|_{t=0} igl[ f(x+tu) igr] = lim_{h o 0} frac{f(x +hu)-f(x)}{h} .] On obtient la dérivée directionnelle, notée [D_u f (x) := frac{d}{dt}Big|_{t=0} bigl[ f(x+tu) igr] ,] qui peut être calculé par l'une des méthodes ci-dessus. Supposons (( abla f)(x) eq 0). Le gradient pointe dans la direction dans laquelle la fonction croît le plus rapidement, c'est-à-dire dans la direction dans laquelle (D_u f(x)) est maximal. Borner la dérivée Démontrons un « théorème de la valeur moyenne » pour les fonctions à valeurs vectorielles. Si (varphi colon [a,b] o {mathbb{R}}^n) est dérivable sur ((a,b)) et continue sur ([a,b]), alors il existe un (t) tel que [leftlVert {varphi(b)-varphi(a)} ight Vert leq (ba) leftlVert {varphi'(t) } ight Vert .]Par théorème de la valeur moyenne sur la fonction (igl(varphi(b)-varphi(a) igr) cdot varphi(t)) (le point est le point scalaire produit encore) on obtient qu'il existe un (t) tel que [igl(varphi(b)-varphi(a) igr) cdot varphi(b) - igl(varphi(b) -varphi(a) igr) cdot varphi(a) = leftlVert {varphi(b)-varphi(a)} ight Vert^2 = igl(varphi(b)- varphi(a) igr) cdot varphi'(t)] où l'on traite (varphi') comme un simple vecteur colonne de nombres par abus de notation. Notez que dans ce cas, il n'est pas difficile de voir que (leftlVert {varphi'(t)} ight Vert_{L({mathbb{R}},{mathbb{R}}^ n)} = leftlVert {varphi'(t)} ight Vert_

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^n) un ouvert convexe, (f colon U o {mathbb{R}}^m) une fonction différentiable, et un (M) tel que [leftlVert {f '(x)} ight Vert leq M] pour tout (x in U). Alors (f) est Lipschitz de constante (M), c'est-à-dire [leftlVert {f(x)-f(y)} ight Vert leq M leftlVert {xy} right Vert] pour tout (x,y in U).Corrigez (x) et (y) dans (U) et notez que ((1-t)x+ty dans U) pour tout (t in [0,1]) par convexité. Suivant [frac{d}{dt} Bigl[figl((1-t)x+tyigr)Bigr] = f'igl((1-t)x+tyigr) ( yx) .] Par le théorème de la valeur moyenne ci-dessus on obtient [leftlVert {f(x)-f(y)} ight Vert leq leftlVert {frac{d}{dt} Bigl [ figl((1-t)x+tyigr) Bigr] } ight Vert leq leftlVert {f'igl((1-t)x+tyigr)} ight Vert leftlVert {yx} ight Vert leq M leftlVert {yx} ight Vert . qedhere]Si (U) n'est pas convexe la proposition n'est pas vraie. Pour voir ce fait, prenons l'ensemble [U = { (x,y) : 0.9 < x^2+y^2 < 1.1 } setminus { (x,0) : x < 0 } . ] Soit (f(x,y)) l'angle que fait la droite allant de l'origine à ((x,y)) avec l'axe positif (x). Vous pouvez même écrire la formule pour (f): [f(x,y) = 2 operatorname{arctan}left( frac{y}{x+sqrt{x^2+y^2}} ight) .] Pensez à un escalier en colimaçon avec de la place au milieu. Voir .La fonction est dérivable et la dérivée est bornée sur (U), ce qui n'est pas difficile à voir. En pensant à ce qui se passe près de l'endroit où l'axe (x) négatif coupe l'anneau en deux, nous voyons que la conclusion ne peut pas tenir.Résolvons l'équation différentielle (f' = 0).Si (U subset {mathbb{R}}^n) est connexe et (f colon U o {mathbb{R}}^m) est dérivable et (f'(x) = 0), pour tout (x in U), alors (f) est constant. Pour tout (x in U), il existe une boule (B(x,delta) subset U). La boule (B(x,delta)) est convexe. Puisque (leftlVert {f'(y)} ight Vert leq 0) pour tout (y in B(x,delta)) puis par le théorème, (leftlVert {f(x)-f(y)} ight Vert leq 0 leftlVert {xy} ight Vert = 0), donc (f(x) = f(y)) pour tout (y in B(x,delta)).Cela signifie que (f^{-1}(c)) est ouvert pour tout (c in {mathbb{R}}^m ). Supposons que (f^{-1}(c)) ne soit pas vide. Les deux ensembles [U' = f^{-1}(c), qquad U'' = f^{-1}({mathbb{R}}^msetminus{c}) = bigcup_{substack{a in {mathbb{R}}^ma eq c}} f^{-1}(a)] sont ouverts disjoints, et plus loin (U = U' cup U''). Ainsi, comme (U') n'est pas vide et que (U) est connecté, nous avons (U'' = emptyset). Donc (f(x) = c) pour tout (x in U).Fonctions continûment dérivablesOn dit (f colon U subset {mathbb{R}}^n o {mathbb{R }}^m) est continûment dérivable, ou (C^1(U)) si (f) est dérivable et (f' colon U o L({mathbb{R}}^n ,{mathbb{R}}^m)) est continu. Soit (U subset {mathbb{R}}^n) ouvert et (f colon U o {mathbb{R} }^m). La fonction (f) est continûment dérivable si et seulement si toutes les dérivées partielles existent et sont continues. Sans continuité le théorème ne tient pas. Ce n'est pas parce que les dérivées partielles existent que (f) est dérivable, en fait, (f) peut même ne pas être continu. Voir les exercices FIXME. Nous avons vu que si (f) est dérivable, alors les dérivées partielles existent. De plus, les dérivées partielles sont les entrées de la matrice de (f'(x)). Donc si (f' colon U o L({mathbb{R}}^n,{mathbb{R}}^m)) est continu, alors les entrées sont continues, donc les dérivées partielles sont continues .Pour prouver la direction opposée, supposons que les dérivées partielles existent et soient continues. Si nous pouvons montrer que (f'(x)) existe nous avons terminé, car les entrées de la matrice (f'(x)) sont alors les dérivées partielles et si les entrées sont des fonctions continues, la matrice valorisée la fonction (f') est continue. Faisons l'induction sur la dimension. Notons d'abord que la conclusion est vraie lorsque (n=1). Dans ce cas, la dérivée est juste la dérivée normale (exercice : vous devez vérifier que le fait que la fonction soit à valeur vectorielle n'est pas un problème). Supposons que la conclusion soit vraie pour ({mathbb{R}}^{n- 1}), c'est-à-dire que si l'on se limite aux premières variables (n-1), la conclusion est vraie. Il est facile de voir que les premières (n-1) dérivées partielles de (f) restreintes à l'ensemble où la dernière coordonnée est fixée sont les mêmes que celles de (f). Dans ce qui suit, nous considérons ({mathbb{R}}^{n-1}) comme un sous-ensemble de ({mathbb{R}}^n), c'est-à-dire l'ensemble dans ({ mathbb{R}}^n) où (x^n = 0). Soit [A = egin{bmatrix} frac{partial f^1}{partial x^1}(x) & ldots & frac{partial f^1}{partial x^n}( x) vdots & ddots & vdots frac{partial f^m}{partial x^1}(x) & ldots & frac{partial f^m}{partial x ^n}(x) end{bmatrix} , qquad A_1 = egin{bmatrix} frac{partial f^1}{partial x^1}(x) & ldots & frac{partial f ^1}{partial x^{n-1}}(x) vdots & ddots & vdots frac{partial f^m}{partial x^1}(x) & ldots & frac{partial f^m}{partial x^{n-1}}(x) end{bmatrix} , qquad v = %frac{partial f}{partial x^n} (x) = egin{bmatrix} frac{partial f^1}{partial x^n}(x) vdots frac{partial f^m}{partial x^n} (x) end{bmatrix} .] Soit (epsilon > 0) donné. Soit (delta > 0) tel que pour tout (k in {mathbb{R}}^{n-1}) avec (leftlVert {k} ight Vert < delta) nous avons [frac{leftlVert {f(x+k) - f(x) - A_1k} ight Vert}{leftlVert {k} ight Vert} < epsilon .] Par continuité des dérivées partielles, supposons que (delta) soit suffisamment petit pour que [leftlvert {frac{partial f^j}{partial x^n}(x+h) - frac{partial f^j}{partial x^n}(x)} ight vert < epsilon ,] pour tout (j) et tout (h) avec (left lVert {h} ight Vert < delta).Soit (h = h_1 + t e_n) un vecteur dans ({mathbb{R}}^n) où (h_1 in { mathbb{R}}^{n-1}) tel que (leftlVert {h} ight Vert < delta). Puis (leftlVert {h_1} ight Vert leq leftlVert {h} ight Vert < delta). Notez que (Ah = A_1h_1 + tv). [egin{split} leftlVert {f(x+h) - f(x) - Ah} ight Vert & = leftlVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x +h_1) - tv + f(x+h_1) - f(x) - A_1h_1} ight Vert & leq leftlVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} ight Vert + leftlVert {f(x+h_1) - f(x) - A_1h_1} ight Vert & leq leftlVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} ight Vert + epsilon leftlVert {h_1} ight Vert . end{split}] Comme toutes les dérivées partielles existent alors d'après le théorème de la valeur moyenne pour chaque (j) il y a un certain ( heta_j in [0,t]) (ou ([t,0 ]) si (t < 0)), tel que [f^j(x+h_1 + t e_n) - f^j(x+h_1) = t frac{partial f^j}{ partiel x^n}(x+h_1+ heta_j e_n).] Notez que si (leftlVert {h} ight Vert < delta) alors (leftlVert {h_1+ heta_j e_n} ight Vert leq leftlVert {h} ight Vert < delta). Donc pour finir l'estimation [egin{split} leftlVert {f(x+h) - f(x) - Ah} ight Vert & leq leftlVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} ight Vert + epsilon leftlVert {h_1} ight Vert & leq sqrt{sum_{j=1}^m {left (tfrac{partial f^j}{partial x^n}(x+h_1+ heta_j e_n) - t frac{partial f^j}{partial x^n}(x) ight) }^2} + epsilon leftlVert {h_1} ight Vert & leq sqrt{m}, epsilon leftlvert {t} ight vert + epsilon leftlVert {h_1} ight Vert & leq (sqrt{m}+1)epsilon leftlVert {h} ight Vert . end{split}]Le JacobianLet (U subset {mathbb{R}}^n) et (f colon U o {mathbb{R}}^n) être un mappage différentiable. Ensuite, définissez le Jacobien de (f) à (x) comme [J_f(x) := detigl( f'(x) igr) .] Parfois, cela s'écrit [frac {partial(f^1,ldots,f^n)}{partial(x^1,ldots,x^n)} .]Ce dernier élément de notation peut sembler quelque peu déroutant, mais il est utile lorsque vous devez spécifier les variables exactes et les composants de fonction utilisés. Le Jacobien (J_f) est une fonction à valeur réelle, et quand (n=1) c'est simplement la dérivée. Lorsque (f) vaut (C^1), alors (J_f) est une fonction continue. De la règle de la chaîne, il résulte que : [J_{f circ g} (x) = J_figl(g(x)igr) J_g(x) .]On peut calculer directement que le déterminant nous dit ce que arrive à la zone/volume. Supposons que nous soyons dans ({mathbb{R}}^2). Alors si (A) est une transformation linéaire, il s'ensuit par calcul direct que l'image directe du carré unité (A([0,1]^2)) a pour aire (leftlvert {det (A)} droit vert). Notez que le signe du déterminant détermine « l'orientation ». Si le déterminant est négatif, les deux côtés du carré unitaire seront inversés dans l'image. Nous affirmons sans preuve que cela s'ensuit pour des chiffres arbitraires, pas seulement pour le carré. De même, le Jacobien mesure à quel point un mappage différentiable étire les choses localement, et s'il inverse l'orientation.ExercicesLet (f colon {mathbb{R}}^ 2 o {mathbb{R}}) soit donné par (f(x,y) = sqrt{x^2+y^2}). Montrer que (f) n'est pas dérivable à l'origine.Définir une fonction (f colon {mathbb{R}}^2 o {mathbb{R}}) par [f(x,y ) := egin{cases} frac{xy}{x^2+y^2} & ext{ if $(x,y) ot= (0,0)$}, 0 & ext { si $(x,y) = (0,0)$}. end{cases}] a) Montrer que les dérivées partielles (frac{partial f}{partial x}) et (frac{partial f}{partial y}) existent en tous points (y compris l'origine).b) Montrer que (f) n'est pas continu à l'origine (et donc non dérivable).Définir une fonction (f colon {mathbb{R}}^2 o {mathbb {R}}) par [f(x,y) := egin{cases} frac{x^2y}{x^2+y^2} & ext{ if $(x,y) not= (0,0)$}, 0 & ext{ si $(x,y) = (0,0)$}. end{cases}] a) Montrer que les dérivées partielles (frac{partial f}{partial x}) et (frac{partial f}{partial y}) existent en tous points .b) Montrer que (f) est continue à l'origine.c) Montrer que (f) n'est pas dérivable à l'origine.


8.3 : La dérivée - Mathématiques

Nous avons vu comment calculer certaines aires en utilisant l'intégration. Certains volumes peuvent également être calculés en évaluant une intégrale. Généralement, les volumes que l'on peut calculer de cette manière ont des sections transversales faciles à décrire.

Exemple 8.3.1 Trouvez le volume d'une pyramide à base carrée mesurant 20 mètres de haut et 20 mètres de côté à la base. Comme pour la plupart de nos applications d'intégration, nous commençons par nous demander comment nous pourrions approximer le volume. Puisque nous pouvons facilement calculer le volume d'un prisme rectangulaire (c'est-à-dire une "boîte"), nous utiliserons des boîtes pour approximer le volume de la pyramide, comme le montre la figure 8.3.1 : à gauche se trouve une croix- vue en coupe, à droite se trouve une vue 3D d'une partie de la pyramide avec certaines des cases utilisées pour approximer le volume.

Chaque boîte a un volume de la forme $ds (2x_i)(2x_i)Delta y$. Malheureusement, il y a ici deux variables heureusement, on peut écrire $x$ en termes de $y$ : $x=10-y/2$ ou $ds x_i=10-y_i/2$. Ensuite, le volume total est d'environ $sum_^ 4(10-y_i/2)^2Delta y$ et à la limite on obtient le volume comme valeur d'une intégrale : $ int_0^ <20>4(10-y/2)^2,dy= int_0^ <20>(20-y)^2,dy= left.-<(20-y)^3over3> ight|_0^<20>= -<0^3over3>- -<20^3over3>=<8000over3>. $ Comme vous le savez peut-être, le volume d'une pyramide est de $(1/3)(hbox)(hbox)=(1/3)(20)(400)$, ce qui est en accord avec notre réponse.

Exemple 8.3.2 La base d'un solide est la région entre $ds f(x)=x^2-1$ et $ds g(x)=-x^2+1$, et ses sections perpendiculaires à l'axe $x$ se trouvent des triangles équilatéraux, comme indiqué dans la figure 8.3.2. Trouver le volume du solide.

Une section transversale à une valeur $ds x_i$ sur l'axe $x$ est un triangle de base $ds 2(1-x_i^2)$ et de hauteur $ds sqrt3(1-x_i^2) $, donc l'aire de la section transversale est $ <1over2>(hbox)(hbox)= (1-x_i^2)sqrt3(1-x_i^2), $ et le volume d'une mince "dalle" est alors $(1-x_i^2)sqrt3(1-x_i^2) Delta x.$ Ainsi le volume total est $int_<-1>^1 sqrt3(1-x^2)^2,dx=<16over15>sqrt3.$

Un moyen facile d'obtenir des sections transversales « agréables » consiste à faire pivoter une figure plane autour d'une ligne. Par exemple, sur la figure 8.3.3, nous voyons une région plane sous une courbe et entre deux lignes verticales, puis le résultat de la rotation autour de celle-ci. l'axe $ds x$, et une section transversale circulaire typique.

Bien sûr une vraie "tranche" de cette figure n'aura pas de côtés droits, mais on peut approximer le volume de la tranche par un cylindre ou un disque à haut et bas circulaire et à côtés droits le volume de ce disque aura la forme $ ds pi r^2Delta x$ Tant que nous pouvons écrire $r$ en termes de $x$, nous pouvons calculer le volume par une intégrale.

Exemple 8.3.3 Trouvez le volume d'un cône circulaire droit avec un rayon de base 10 et une hauteur 20. (Un cône circulaire droit est un cône avec une base circulaire et avec la pointe du cône directement au-dessus du centre de la base.) Nous pouvons voir ce cône produit par la rotation de la droite $y=x/2$ tournée autour de l'axe $x$, comme indiqué sur la figure 8.3.4.

En un point particulier de l'axe $x$, disons $ds x_i$, le rayon du cône résultant est la $y$-coordonnée du point correspondant sur la ligne, à savoir $ds y_i=x_i/2$ . Ainsi, le volume total est d'environ $sum_^ pi (x_i/2)^2,dx$ et le volume exact est $ int_0^ <20>pi ,dx=<20^3over3>=<2000piover3>. $ Notez que nous pouvons à la place faire le calcul avec une hauteur et un rayon génériques : $ int_0^ pix^2,dx ==, $ nous donnant la formule usuelle du volume d'un cône.

Exemple 8.3.4 Trouvez le volume de l'objet généré lorsque la zone entre $ds y=x^2$ et $y=x$ est tournée autour de l'axe $x$. Ce solide a un "trou" au milieu, nous pouvons calculer le volume en soustrayant le volume du trou du volume délimité par la surface extérieure du solide. Dans la figure 8.3.5, nous montrons la région qui est tournée, le résultat solide avec la moitié avant coupée, le cône qui forme la surface extérieure, le trou en forme de corne et une section transversale perpendiculaire à l'axe $x$.

Nous avons déjà calculé le volume d'un cône dans ce cas c'est $pi/3$. À une valeur particulière de $x$, disons $ds x_i$, la section transversale de la corne est un cercle de rayon $ds x_i^2$, donc le volume de la corne est $int_0^1 pi (x^2)^2,dx=int_0^1 pi x^4,dx=pi<1over 5>,$ donc le volume souhaité est $pi/3-pi/5= 2pi/15$.

Comme pour l'aire entre les courbes, il existe une autre approche qui calcule le volume souhaité "tout à la fois" en rapprochant le volume du solide réel. Nous pouvons approximer le volume d'une tranche du solide avec un volume en forme de rondelle, comme indiqué sur la figure 8.3.5.

Le volume d'une telle rondelle est l'aire de la face multipliée par l'épaisseur. L'épaisseur, comme d'habitude, est de $Delta x$, tandis que l'aire du visage est l'aire du cercle extérieur moins l'aire du cercle intérieur, disons $ds pi R^2-pi r^2$ . Dans le présent exemple, à un $ds x_i$ particulier, le rayon $R$ est $ds x_i$ et $r$ est $ds x_i^2$. Par conséquent, le volume entier est $ int_0^1 pi x^2-pi x^4,dx= left.pileft(- ight) ight|_0^1= pileft(<1over3>-<1over5> ight)=<2piover15>. $ Bien sûr, ce que nous avons fait ici est exactement le même calcul que précédemment, sauf que nous avons en fait recalculé le volume du cône externe.

Supposons que la région entre $f(x)=x+1$ et $ds g(x)=(x-1)^2$ tourne autour de l'axe $y$, voir figure 8.3.6. Il est possible, mais peu pratique, de calculer le volume du solide résultant par la méthode que nous avons utilisée jusqu'à présent. Le problème est qu'il existe deux « types » de rectangles typiques : ceux qui vont de la droite à la parabole et ceux qui touchent la parabole aux deux extrémités. Pour calculer le volume en utilisant cette approche, nous devons diviser le problème en deux parties et calculer deux intégrales : $ piint_0^1 (1+sqrt)^2-(1-sqrt)^2,dy+ piint_1^4 (1+sqrt)^2-(y-1)^2,dy=<8over3>pi + <65over6>pi =<27over2>pi. $ Si à la place nous considérons un rectangle vertical typique, nous obtenons une fine "coquille" au lieu d'une fine "rondelle". Si nous additionnons le volume de ces coques minces, nous obtiendrons une approximation du volume réel. Quel est le volume d'une telle coquille ? Considérez le shell à $ds x_i$. Imaginez que nous coupions la coque verticalement à un endroit et que nous la "déroulions" en une feuille mince et plate. Cette feuille sera presque un prisme rectangulaire de $Delta x$ d'épaisseur, $ds f(x_i)-g( x_i)$ de haut et $ds 2pi x_i$ de large (c'est-à-dire la circonférence de la coque avant qu'elle ne soit déroulée). Le volume sera alors approximativement le volume d'un prisme rectangulaire avec ces dimensions : $ds 2 pi x_i(f(x_i)-g(x_i))Delta x$. Si nous les additionnons et prenons la limite comme d'habitude, nous obtenons l'intégrale $ int_0^3 2pi x(f(x)-g (x)),dx= int_0^3 2pi x(x+1-(x-1)^2),dx=<27over2>pi. $ Non seulement cela accomplit la tâche avec une seule intégrale, l'intégrale est un peu plus facile que celles du calcul précédent. Les choses ne sont pas toujours aussi nettes, mais il arrive souvent que l'une des deux méthodes soit plus simple que l'autre, il vaut donc la peine de considérer les deux avant de commencer faire des calculs.

Exemple 8.3.5 Supposons que l'aire sous $ds y=-x^2+1$ entre $x=0$ et $x=1$ tourne autour de l'axe $x$. Trouvez le volume par les deux méthodes.

Méthode du disque : $ds int_0^1 pi(1-x^2)^2,dx=<8over15>pi$.

Méthode Shell : $ds int_0^1 2pi y sqrt<1-y>,dy=<8over15>pi$.


La définition de la différenciation

Maintenant, nous avons choisi un intervalle arbitraire pour être Delta-x. Comment la taille de Delta-x affecte-t-elle notre estimation de la pente de la ligne tangente ? Plus Delta-x est petit, plus cette approximation est précise. Il y a une merveilleuse animation de cela par Douglas Arnold. Regardez-le ici. Vous pouvez voir sur la gauche de l'animation comment Delta-x diminue, provoquant l'approche de la ligne sécante de la tangente, où elle zoome sur la droite. Une autre animation de ceci (également de Douglas Arnold) est ici.

Ce que nous voulons faire, c'est diminuer la taille de Delta-x autant que possible. Pour ce faire, nous prenons la limite lorsque Delta-x s'approche de zéro. Dans la limite, en supposant que la limite existe, nous trouverons la pente exacte de la ligne tangente à la courbe au point donné. Cette valeur est la dérivée

Il existe quelques versions différentes, mais équivalentes, de cette définition. Dans des considérations plus générales, h est souvent utilisé à la place de Delta-x. Ou Delta-y est utilisé à la place de

Cela conduit à trois manières couramment utilisées d'exprimer la définition de la dérivée :


8.3 : La dérivée - Mathématiques

Est-ce que les choses se compliquent dans les dimensions supérieures? Pas vraiment.

La chose importante à réaliser à propos d'une dérivée partielle, c'est qu'il s'agit, par sa définition, d'une dérivée ordinaire, même si certaines dépendances sont ignorées, et qu'elle est calculée exactement comme les dérivées ordinaires sont calculées. Il n'y a pas de nouvelles astuces et aucune n'est nécessaire.

Certains problèmes surviennent lorsqu'une quantité dépend de certaines variables, qui à leur tour dépendent d'autres.

Supposons, par exemple, que nous nous intéressons à la température T d'un petit corps qui se déplace dans l'espace ordinaire avec la propriété qu'en se déplaçant, sa température assume celle de son environnement. Cette température varie dans le temps et aussi dans l'espace.
La température du corps va alors changer à cause du changement de T avec le temps, mais aussi à cause de son mouvement.

Ici, T dans l'espace est fonction de la position (x, y, z) et du temps t : T = T(x, y, z, t) (nous utilisons la même lettre pour décrire à la fois le temps et la température afin de maximiser la confusion dans quoi autrement serait un récit chauve et peu convaincant).

Supposons maintenant en outre que le corps en question a une trajectoire à travers l'espace décrite par les équations x = x(t), y = y(t), z = z(t). (Vous pouvez abréger ceci comme r = r(t) avec r = (x, y, z).)
Nous posons la question, quelle est la dérivée par rapport au temps de la température subie par ce corps ?

Nous écrivons dT en termes de différentiels

En les rassemblant, nous obtenons

It is not a bad idea to realize whenever you encounter a formula that looks like this that it undoubtedly arises from an analogous situation, when a function depends on time and also upon spatial variables that themselves depend on time.

This kind of thing is sort of a generalized chain rule and is sometimes referred to as such.

Please notice that the way to handle any and all problems of this kind is to consider differentials, include in their relations to one another all possible dependencies, and relate them all to the differential of the independent variable, here t. You can then divide the differentials to find the derivative.

There is a complication that arises when there are several variables that are interrelated. Then there can be different partial derivatives, depending on which other variables are kept constant and you may have a choice as to fix which coordinate when you very a particular one of them. To keep things straight you must introduce a notation that has a place where you can describe which variable(s) are to be kept fixed.


Derivative (mathematics)

The derivative of y with respect to x is defined as the change in y over the change in x, as the distance between x 0 > and x 1 > becomes infinitely small (infinitesimal). In mathematical terms, [2] [3]

That is, as the distance between the two x points (h) becomes closer to zero, the slope of the line between them comes closer to resembling a tangent line.

Linear functions Edit

Power functions Edit

Power functions, in general, follow the rule that d d x x a = a x a − 1 >x^=ax^> . [2] That is, if we give une the number 6, then d d x x 6 = 6 x 5 >x^<6>=6x^<5>>

In addition, roots can be changed to use fractional exponents, where their derivative can be found:

Exponential functions Edit

Example 1 Edit

Example 2 Edit

Logarithmic functions Edit

The derivative of logarithms is the reciprocal: [2]

The logarithm of 5 is a constant, so its derivative is 0. The derivative of ln ⁡ ( x ) is 1 x >> . Alors,

For derivatives of logarithms not in base e, such as d d x ( log 10 ⁡ ( x ) ) >(log _<10>(x))> , this can be reduced to:

Trigonometric functions Edit

The cosine function is the derivative of the sine function, while the derivative of cosine is negative sine (provided that x is measured in radians): [2]

Derivatives can be broken up into smaller parts where they are manageable (as they have only one of the above function characteristics). For example, d d x ( 3 x 6 + x 2 − 6 ) >(3x^<6>+x^<2>-6)> can be broken up as:

A function's derivative can be used to search for the maxima and minima of the function, by searching for places where its slope is zero.

Derivatives are used in Newton's method, which helps one find the zeros (roots) of a function..One can also use derivatives to determine the concavity of a function, and whether the function is increasing or decreasing.


8.3 More Rules

The rules for differentiation discussed so far allow us to find formulae for derivatives of most functions you will encounter.

However there actually are other rules for differentiating that we will eventually discuss. We have not done so here because defining the functions to be differentiated involves concepts we have not yet discussed.

In particular, functions whose derivatives we have not yet considered are: infinite sums, and also areas between a function's graph and the x-axis between two given (x) values. Such latter things are called definite integrals. If the given x values are both finite and the function is bounded from above and below, it is called a proper integral.

The rules are quite simple when they work, so the only interesting thing about them is determining when they work.

For an infinite sum you can apply the sum rule and just sum the derivatives of all the terms to get the derivative of the sum, unless the sum becomes infinite in some way.

The same is true for differentiating a proper integral of a function with respect to a parameter that appears in that function . You can just differentiate the function with respect to that parameter and find the integral of the result, if it makes sense, and there were no infinities lurking in the problem.

You can also differentiate an integral with respect to a variable that is one of the endpoints of the area defining it. The answer then, for the upper endpoint, is the integrand, which is the function defining the integral, itself, evaluated there, as we shall see soon. (By the way, this statement is one direction of the Fundamental Theorem of Calculus and it is very easy to prove as we shall soon see. Here is the statement:

Exercise 8.5 Plot ( an x) and ( ext,x) using the applet that takes inverses.

I am getting tired of this stuff.

Well, we really are done with what is traditionally taught about how to differentiate functions. The multiple occurrence rule, the chain rule and the inverse rule tell us how to differentiate anything we can construct, starting from the three functions (x), (exp x), and (sin x), whose derivatives we know. It is easy to make mistakes when you find derivatives, so it is wise to have a way to check your answers.

An easy way is to compare them to the results of differentiating numerically, which we next describe.


8.3: The Derivative - Mathematics

The concept of Derivative is at the core of Calculus and modern mathematics. The definition of the derivative can be approached in two different ways. One is geometrical (as a slope of a curve) and the other one is physical (as a rate of change). Historically there was (and maybe still is) a fight between mathematicians which of the two illustrates the concept of the derivative best and which one is more useful. We will not dwell on this and will introduce both concepts. Our emphasis will be on the use of the derivative as a tool.

If we now assume that A and B are very close to each other, we get close to what is called the instantaneous velocity . Of course, if A and B are close to each other, then the time it takes to travel from A to B will also be small. Indeed, assume that at time t = a , we are at A. If the time elapsed to get to B is , then we will be at B at time . If is the distance from A to B, then the average velocity is

The instantaneous velocity (at A) will be found when get smaller and smaller. Here we naturally run into the concept of limit. Indeed, we have

If f ( t ) describes the position at time t , then . In this case, we have

Exemple. Consider a parabolic motion given by the function f ( t ) = t 2 . The instantaneous velocity at t = a is given by

we conclude that the instantaneous velocity at t = a is 2 a .

This concept of velocity may be extended to find the rate of change of any variable with respect to any other variable. For example, the volume of a gas depends on the temperature of the gas. So in this case, the variables are V (for volume) as a function of T (the temperature). In general, if we have y = f ( x ), then the average rate of change of y with respect to x from x = a to , where , is

As before, the instantaneous rate of change of y with respect to x at x = a , is

Notation. Now we get to the hardest part. Since we can not keep on writing "Instantaneous Velocity" while doing computations, we need to come up with a suitable notation for it. If we write dx for small, then we can use the notation

This is the notation introduced by Leibniz. (Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716) and Isaac Newton (1642-1727) are considered the inventors of Calculus.)

Fix a point on the graph, say ( x 0 , f ( x 0 )). If the graph as a geometric figure is "nice" (i.e. smooth) around this point, it is natural to ask whether one can find the equation of the straight line "touching" the graph at that point. Such a straight line is called the tangent line at the point in question. The concept of tangent may be viewed in a more general framework.

(Note that the tangent line may not exist. We will discuss this case later on.) One way to find the tangent line is to consider points ( x , f ( x )) on the graph, where x is very close to x 0 . Then draw the straight-line joining both points (see the picture below):

As you can see, when x get closer and closer to x 0 , the lines get closer and closer to the tangent line. Since all these lines pass through the point ( x 0 , f ( x 0 )), their equations will be determined by finding their slope: The slope of the line passing through the points ( x 0 , f ( x 0 )) and ( x , f ( x )) (where ) is given by

The tangent itself will have a slope m , which is very close to m ( x ) when x itself is very close to x 0 . This is the concept of limit once again!

So the equation of the tangent line is

Notation. Writing "m" for the slope of the tangent line does not carry enough information we want to keep track of the function f ( x ) and the point x 0 in our notation. The common notation used is

In this case, the equation of the tangent line becomes

One last remark: Sometimes it is more convenient to compute limits when the variable approaches 0. One way to do that is to make a translation along the x-axis. Indeed, if we set h = x - x 0 , we get


Rules for Finding Derivatives


To put it mildly, this calculation would be unpleasant. We would like to find ways to compute derivatives without explicitly using the definition of the derivative as the limit of a difference quotient. A useful preliminary result is the following:

Derivative of a Constant
lf c is any real number and if f(x) = c for all x, then f ' (x) = 0 for all x . That is, the derivative of a constant function is the zero function.

It is easy to see this geometrically. Referring to Figure 1, we see that the graph of the constant function f(x) = c is a horizontal line. Since a horizontal line has slope 0, and the line is its own tangent, it follows that the slope of the tangent line is zero everywhere.
We next give a rule for differentiating f(x) = x n where n is any real number. Some of the following results have already been verified in the previous section, and the
others can be verified by using the definition of the derivative.


This pattern suggests the following general formula for powers of n where n is a positive integer.

In fact, the power rule is valid for any real number n and thus can be used to differentiate a variety of non-polynomial functions. The following example illustrates some applications of the power rule.

Exemple 1

Differentiate each of the following functions:


(a) Since f(x) = 5, f is a constant function hence f '(x) = 0.

(b) With n = 15 in the power rule, f '(x) = 15x 14

(c) Note that f(x) = x 1/2 . Hence, with n = 1/2 in the power rule,


(d) Since f(x) = x -1 , it follows from the power rule that f '(x) = -x -2 = -1/x 2

The rule for differentiating constant functions and the power rule are explicit differentiation rules. The following rules tell us how to find derivatives of combinations of functions in terms of the derivatives of their constituent parts. In each case, we assume that f '(x) and g'(x) exist and A and B are constants.

The four rules listed above, together with the rule on differentiating constant functions and the power rule, provide us with techniques for differentiating any function that is expressible as a power or root of a quotient of polynomial functions. The next series of examples illustrates this. The linearity rule and the product rule will be justified at the end of the section a proof of the extended power rule appears in the section on the chain rule.

Solution Using the linearity rule, we see that


f'(x) = a(x3)' + b(x2)' + c(x)' + (d)' = 3ax^2 + 2bx + c

Example 3 can be generalized as follows:

A polynomial of degree n has a derivative everywhere, and the derivative is a polynomial of degree (n - 1).

First we use the product rule, since f(x) is given as the product of x 2 and x 2 - x + 1:


Derivative Calculator

An online derivative calculator that differentiates a given function with respect to a given variable by using analytical differentiation. A useful mathematical differentiation calculator to simplify the functions.

An online derivative calculator that differentiates a given function with respect to a given variable by using analytical differentiation. A useful mathematical differentiation calculator to simplify the functions.

Derivative is the important tool in calculus to find an infinitesimal rate of change of a function with respect to its one of the independent variable. The process of calculating a derivative is called differentiation. Follow the rules mentioned in the above derivative calculator and understand the concept for deriving the given function to differentiate. Make use of this free online derivative calculator to differentiate a function. You can use this derivative calculator to convert functions from one form to another.

Exemple:

What is the derivative of x 4 ?

Derivative

Here, n = 4
d/dx x( n ) = nx n-1
= d/dx (x 4 ) = 4x 4-1
= 4x 3


8.3: The Derivative - Mathematics

Do things get more complicated in higher dimensions ? Not really.

The important thing to realize about a partial derivative, is that it is by its definition, an ordinary derivative, albeit one in which certain dependences are ignored, and it is computed exactly as ordinary derivatives are computed. There are no new tricks and none are needed.

There are some issues that arise when some quantity depends on some variables, which in turn depend on others.

Suppose, for example that we are interested in the temperature T of a tiny body that is moving through ordinary space with the property that as it moves, its temperature assumes that of its surroundings. This temperature varies in time and also in space.
The temperature of the body will then change because of the change in T with time, but also because of its motion.

Here T in space is a function of position ( x , y , z ) and time t : T = T ( x , y , z , t ) (we use the same letter to describe both time and temperature to maximize confusion in what otherwise would be a bald and unconvincing narrative).

Now suppose further that the body in question has a trajectory through space described by equations x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) . (You might want to abbreviate this as r &LongRightArrow = r &LongRightArrow ( t ) with r &LongRightArrow = ( x , y , z ) .)
We raise the question, what is the derivative with respect to time of the temperature experienced by that body?

We write d T out in terms of differentials

Putting these together we get

It is not a bad idea to realize whenever you encounter a formula that looks like this that it undoubtedly arises from an analogous situation, when a function depends on time and also upon spatial variables that themselves depend on time.

This kind of thing is sort of a generalized chain rule and is sometimes referred to as such.

Please notice that the way to handle any and all problems of this kind is to consider differentials, include in their relations to one another all possible dependencies, and relate them all to the differential of the independent variable, here t . You can then divide the differentials to find the derivative.

There is a complication that arises when there are several variables that are interrelated. Then there can be different partial derivatives, depending on which other variables are kept constant and you may have a choice as to fix which coordinate when you very a particular one of them. To keep things straight you must introduce a notation that has a place where you can describe which variable(s) are to be kept fixed.


Voir la vidéo: Déterminer léquation dune droite (Décembre 2021).