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Intégrales doubles en coordonnées polaires (exercices)


Termes et concepts

1. Lors de l'évaluation de (displaystyle intint_R f(x,y),dA) en utilisant des coordonnées polaires, (f(x,y)) est remplacé par _______ et (dA) est remplacé par _______.

Réponse:
(f(x,y)) est remplacé par (f(rcos heta, rsin heta)) et (dA) est remplacé par (r,dr,d heta).

2. Pourquoi s'intéresserait-on à évaluer une intégrale double avec des coordonnées polaires ?

Définition des régions polaires

Dans les exercices 3 à 6, exprimez la région (R) en coordonnées polaires.

3) (R) est la région du disque de rayon 2 centrée à l'origine qui se trouve dans le premier quadrant.

Réponse:
(R = ig{(r, heta),|,0 leq r leq 2, space 0 leq heta leq frac{pi}{2}ig} )

4) (R) est la région du disque de rayon 3 centrée à l'origine.

5) (R) est la région entre les cercles de rayon 4 et de rayon 5 centrés à l'origine qui se trouve dans le deuxième quadrant.

Réponse:
(R = ig{(r, heta),|,4 leq r leq 5, space frac{pi}{2} leq heta leq piig} )

6) (R) est la région délimitée par l'axe (y) et (x = sqrt{1 - y^2}).

7) (R) est la région délimitée par l'axe (x) et (y = sqrt{2 - x^2}).

Réponse:
(R = ig{(r, heta),|,0 leq r leq sqrt{2}, space 0 leq heta leq piig})

8) (R = grand{(x,y),|,x^2 + y^2 leq 4xgrand})

9) (R = grand{(x,y),|,x^2 + y^2 leq 4ygrand})

Réponse:
(R = ig{(r, heta),|,0 leq r leq 4 space sin heta, space 0 leq heta leq piig})

Dans les exercices 10 - 15, le graphique de la région polaire rectangulaire (D) est donné. Exprimez (D) en coordonnées polaires.

10)

11)

Réponse:
(D = ig{(r, heta),|, 3 leq r leq 5, space frac{pi}{4} leq heta leq frac{pi} {2}grand})

12)

13)

Réponse:
(D = ig{(r, heta),|,3 leq r leq 5, space frac{3pi}{4} leq heta leq frac{5 pi}{4}grand})

14) Dans le graphe suivant, la région (D) est située en dessous de (y = x) et est bornée par (x = 1, space x = 5), et (y = 0) .

15) Dans le graphe suivant, la région (D) est délimitée par (y = x) et (y = x^2).

Réponse:
(D = ig{(r, heta),|,0 leq r leq an heta space sec heta, space 0 leq heta leq frac{pi }{4}grand})

Évaluation des intégrales doubles polaires

Dans les exercices 16 à 25, évaluez l'intégrale double (displaystyle iint_R f(x,y) ,dA) sur la région polaire rectangulaire (R).

16) (f(x,y) = x^2 + y^2), (R = ig{(r, heta),|,3 leq r leq 5, space 0 leq heta leq 2piig})

17) (f(x,y) = x + y), (R = ig{(r, heta),|,3 leq r leq 5, space 0 leq thêta leq 2piig})

Réponse:
(0)

18) (f(x,y) = x^2 + xy, space R = ig{(r, heta ),|,1 leq r leq 2, space pi leq heta leq 2piig})

19) (f(x,y) = x^4 + y^4, space R = ig{(r, heta),|,1 leq r leq 2, space frac {3pi}{2} leq heta leq 2piig})

Réponse:
(frac{63pi}{16})

20) (f(x,y) = sqrt[3]{x^2 + y^2}), où (R = ig{(r, heta),|,0 leq r leq 1, space frac{pi}{2} leq heta leq piig}).

21) (f(x,y) = x^4 + 2x^2y^2 + y^4), où (R = ig{(r, heta),|,3 leq r leq 4, space frac{pi}{3} leq heta leq frac{2pi}{3}ig}).

Réponse:
(frac{3367pi}{18})

22) (f(x,y) = sin (arctan frac{y}{x})), où (R = ig{(r, heta),|,1 leq r leq 2, space frac{pi}{6} leq heta leq frac{pi}{3}ig})

23) (f(x,y) = arctan left(frac{y}{x} ight)), où (R = ig{(r, heta),|, 2 leq r leq 3, space frac{pi}{4} leq heta leq frac{pi}{3}ig})

Réponse:
(frac{35pi^2}{576})

24) (displaystyle iint_R e^{x^2+y^2} left[1 + 2 space arctan left(frac{y}{x} ight) ight] ,dA, space R = ig{(r, heta),|,1 leq r leq 2, space frac{pi}{6} leq heta frac{pi}{3 }grand})

25) (displaystyle iint_R left(e^{x^2+y^2} + x^4 + 2x^2y^2 + y^4 ight) arctan left(frac{y}{ x} ight) ,dA, space R = ig{(r, heta ),|,1 leq r leq 2, space frac{pi}{4} leq theta leq frac{pi}{3}ig})

Réponse:
(frac{7}{576}pi^2 (21 - e + e^4))

Conversion d'intégrales doubles en forme polaire

Dans les exercices 26 à 29, les intégrales ont été converties en coordonnées polaires. Vérifiez que les identités sont vraies et choisissez la manière la plus simple d'évaluer les intégrales, en coordonnées rectangulaires ou polaires.

26) (displaystyle int_1^2 int_0^x (x^2 + y^2),dy space dx = int_0^{frac{pi}{4}} int_{sec theta}^{2 space sec heta}r^3 ,dr space d heta)

27) (displaystyle int_2^3 int_0^x frac{x}{sqrt{x^2 + y^2}},dy space dx = int_0^{pi/4} int_0 ^{ an heta space sec heta} ,r space cos heta space dr space d heta)

Réponse:
(frac{5}{4} ln (3 + 2sqrt{2}))

28) (displaystyle int_0^1 int_{x^2}^x frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}},dy space dx = int_0^{pi /4} displaystyle int_0^{ an heta space sec heta} space dr space d heta)

29) (displaystyle int_0^1 int_{x^2}^x frac{y}{sqrt{x^2 + y^2}},dy space dx = int_0^{pi /4} displaystyle int_0^{ an heta space sec heta} ,r space sin heta space dr space d heta)

Réponse:
(frac{1}{6}(2 - sqrt{2}))

Dans les exercices 30 à 37, dessinez la région d'intégration, (R), en identifiant toutes les limites d'intégration, convertissez les intégrales en coordonnées polaires et évaluez-les.

30) (displaystyle int_0^3 int_0^{sqrt{9-y^2}},dx space dy)

31) (displaystyle int_0^2 int_{-sqrt{4-y^2}}^{sqrt{4-y^2}},dx space dy)

Réponse:
(displaystyle int_0^{pi} int_0^2 r^5 ,dr space d heta quad = quad frac{32pi}{3})

32) (displaystyle int_0^1 int_0^{sqrt{1-x^2}} (x + y) space dy space dx)

33) (displaystyle int_0^4 int_{-sqrt{16-x^2}}^{sqrt{16-x^2}} sin (x^2 + y^2) space dy espace dx)

Réponse:
(displaystyle int_{-pi/2}^{pi/2} int_0^4 ,r space sin (r^2) space dr space d heta quad = quad pi space sin^2 8)

34) (displaystyle int_0^5 int_{-sqrt{25-x^2}}^{sqrt{25-x^2}}sqrt{x^2+y^2},dy ,dx)

35) (displaystyle int_{-4}^4 int_{-sqrt{16-y^2}}^{0}(2y-x),dx,dy)

Réponse:
(displaystyle int_{frac{pi}{2}}^{frac{3pi}{2}} int_0^{4} ig( 2rsin heta - rcos heta ig) ,r,dr space d heta quad = quad frac{128}{3})

36) (displaystyle int_0^2 int_{y}^{sqrt{8-y^2}}(x+y),dx,dy)

37) (displaystyle int_{-2}^{-1} int_{0}^{sqrt{4-x^2}}(x+5),dy,dx+int_{-1 }^1int_{sqrt{1-x^2}}^{sqrt{4-x^2}}(x+5),dy,dx+int_1^2int_0^{sqrt{ 4-x^2}}(x+5),dy,dx)

Réponse:
(displaystyle int_{0}^{pi} int_1^{2} ig( rcos heta + 5ig) ,r,dr space d heta quad = quad frac{15pi}{2})

38) Évaluer l'intégrale (displaystyle iint_D r ,dA) où (D) est la région délimitée par l'axe polaire et la moitié supérieure de la cardioïde (r = 1 + cos heta) .

39) Trouvez l'aire de la région (D) délimitée par l'axe polaire et la moitié supérieure de la cardioïde (r = 1 + cos heta).

Réponse:
(frac{3pi}{4})

40) Évaluer l'intégrale (displaystyle iint_D r ,dA,) où (D) est la région délimitée par la partie de la rose à quatre feuilles (r = sin 2 heta) située dans le premier quadrant (voir la figure suivante).

41) Trouvez l'aire totale de la région délimitée par la rose à quatre feuilles (r = sin 2 heta) (voir la figure de l'exercice précédent).

Réponse:
(frac{pi}{2})

42) Trouver l'aire de la région (D) qui est la région délimitée par (y = sqrt{4 - x^2}), (x = sqrt{3}), (x = 2), et (y = 0).

43) Trouvez l'aire de la région (D), qui est la région à l'intérieur du disque (x^2 + y^2 leq 4) et à droite de la ligne (x = 1).

Réponse:
(frac{1}{3}(4pi - 3sqrt{3}))

44) Déterminer la valeur moyenne de la fonction (f(x,y) = x^2 + y^2) sur la région (D) délimitée par la courbe polaire (r = cos 2 heta ), où (-frac{pi}{4} leq heta leq frac{pi}{4}) (voir le graphique suivant).

45) Déterminer la valeur moyenne de la fonction (f(x,y) = sqrt{x^2 + y^2}) sur la région (D) délimitée par la courbe polaire (r = 3 sin 2 heta), où (0 leq heta leq frac{pi}{2}) (voir le graphique suivant).

Réponse:
(frac{16}{3pi})

46) Trouver le volume du solide situé dans le premier octant et borné par le paraboloïde (z = 1 - 4x^2 - 4y^2) et les plans (x = 0, space y = 0), et (z = 0).

47) Trouver le volume du solide délimité par le paraboloïde (z = 2 - 9x^2 - 9y^2) et le plan (z = 1).

Réponse:
(frac{pi}{18})

48)

  1. Trouver le volume du solide (S_1) délimité par le cylindre (x^2 + y^2 = 1) et les plans (z = 0) et (z = 1).
  2. Trouver le volume du solide (S_2) à l'extérieur du double cône (z^2 = x^2 + y^2) à l'intérieur du cylindre (x^2 + y^2 = 1), et au-dessus du plan (z = 0).
  3. Trouver le volume du solide à l'intérieur du cône (z^2 = x^2 + y^2) et au-dessous du plan (z = 1) en soustrayant les volumes des solides (S_1) et ( S_2).

49)

  1. Trouvez le volume du solide (S_1) à l'intérieur de la sphère unité (x^2 + y^2 + z^2 = 1) et au-dessus du plan (z = 0).
  2. Trouvez le volume du solide (S_2) à l'intérieur du double cône ((z - 1)^2 = x^2 + y^2) et au-dessus du plan (z = 0).
  3. Trouver le volume du solide à l'extérieur du double cône ((z - 1)^2 = x^2 + y^2) et à l'intérieur de la sphère (x^2 + y^2 + z^2 = 1) .
Réponse:
une. (frac{2pi}{3}); b. (frac{pi}{2}); c. (frac{pi}{6})

Dans les Exercices 50-51, des intégrales doubles spéciales sont présentées qui sont particulièrement bien adaptées à l'évaluation en coordonnées polaires.

50) La surface d'un cône circulaire droit de hauteur (h) et de rayon de base (a) peut être décrite par l'équation (f(x,y)=hhsqrt{frac{x^2} {a^2}+frac{y^2}{a^2}}), où la pointe du cône se trouve à ((0,0,h)) et la base circulaire se trouve dans le ( xy)-plan, centré à l'origine.
Confirmez que le volume d'un cône circulaire droit de hauteur (h) et de rayon de base (a) est (V=frac{1}{3}pi a^2h) en évaluant (displaystyle intint_R f(x,y),dA) en coordonnées polaires.

51) Considérez (displaystyle intint_R e^{-(x^2+y^2)},dA.)
(a) Pourquoi cette intégrale est-elle difficile à évaluer en coordonnées rectangulaires, quelle que soit la région (R) ?
(b) Soit (R) la région délimitée par le cercle de rayon (a) centré à l'origine. Évaluer l'intégrale double à l'aide des coordonnées polaires.
(c) Prenez la limite de votre réponse de (b), comme (aà infty). Qu'est-ce que cela implique pour le volume sous la surface de (e^{-(x^2+y^2)}) sur l'ensemble du plan (xy) ?

Pour les deux exercices suivants, considérons un anneau sphérique, qui est une sphère avec un trou cylindrique coupé de sorte que l'axe du cylindre passe par le centre de la sphère (voir la figure suivante).

52) Si la sphère a un rayon 4 et le cylindre a un rayon 2, trouvez le volume de l'anneau sphérique.

53) Un trou cylindrique de diamètre 6 cm est percé à travers une sphère de rayon 5 cm de telle sorte que l'axe du cylindre passe par le centre de la sphère. Trouvez le volume de l'anneau sphérique résultant.

Réponse:
(frac{256pi}{3} space ext{cm}^3)

54) Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le double cône (z^2 = 4x^2 + 4y^2), à l'intérieur du cylindre (x^2 + y^2 = x), et au-dessus du plan (z = 0).

55) Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le paraboloïde (z = x^2 + y^2), à l'intérieur du cylindre (x^2 + y^2 = 1) et au-dessus du plan (z = 0).

Réponse:
(frac{3pi}{32})

56) Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le plan (x + y + z = 10) et au-dessus du disque (x^2 + y^2 = 4x).

57) Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le plan (2x + y + 2z = 8) et au-dessus du disque unité (x^2 + y^2 = 1).

Réponse:
(4pi)

58) Une fonction radiale (f) est une fonction dont la valeur en chaque point ne dépend que de la distance entre ce point et l'origine du système de coordonnées ; c'est-à-dire (f (x,y) = g(r)), où (r = sqrt{x^2 + y^2}). Montrer que si (f) est une fonction radiale continue, alors

[iint_D f(x,y)dA = ( heta_2 - heta_1) [G(R_2) - G(R_1)], space où space G'(r) = rg(r)] et ((x,y) in D = {(r, heta)|R_1 leq r leq R_2, space 0 leq heta leq 2pi}), avec (0 leq R_1 < R_2) et (0 leq heta_1 < heta_2 leq 2pi).

59) Utilisez les informations de l'exercice précédent pour calculer l'intégrale (displaystyle iint_D (x^2 + y^2)^3 dA,) où (D) est le disque unité.

Réponse:
(frac{pi}{4})

60) Soit (f(x,y) = frac{F'(r)}{r}) une fonction radiale continue définie sur la région annulaire (D = {(r, heta)|R_1 leq r leq R_2, space 0 leq heta 2pi}), où (r = sqrt{x^2 + y^2}), (0 < R_1 < R_2), et (F) est une fonction différentiable.

Montrer que (displaystyle iint_D f(x,y),dA = 2pi [F(R_2) - F(R_1)].)

61) Appliquer l'exercice précédent pour calculer l'intégrale (displaystyle iint_D frac{e^{sqrt{x^2+y^2}}}{sqrt{x^2 + y^2}} , dx space dy) où (D) est la région annulaire entre les cercles de rayons 1 et 2 situés dans le troisième quadrant.

Réponse:
(frac{1}{2} pi e(e - 1))

62) Soit (f) une fonction continue qui peut être exprimée en coordonnées polaires en fonction de ( heta) uniquement ; c'est-à-dire (f(x,y) = h( heta)), où ((x,y) in D = {(r, heta)|R_1 leq r leq R_2, space heta_1 leq heta leq heta_2}), avec (0 leq R_1 < R_2) et (0 leq heta_1 < heta_2 leq 2pi).

Montrer que (displaystyle iint_D f(x,y) ,dA = frac{1}{2} (R_2^2 - R_1^2) [H( heta_2) - H( heta_1)]) , où (H) est une primitive de (h).

63) Appliquer l'exercice précédent pour calculer l'intégrale (displaystyle iint_D frac{y^2}{x^2},dA,) où (D = ig{(r, heta) ,|, 1 leq r leq 2, space frac{pi}{6} leq heta leq frac{pi}{3}ig}.)

Réponse:
(sqrt{3} - frac{pi}{4})

64) Soit (f) une fonction continue qui peut être exprimée en coordonnées polaires en fonction de ( heta) uniquement ; c'est (f(x,y) = g(r)h( heta)), où ((x,y) in ig{(r, heta ),|,R_1 leq r leq R_2, space heta_1 leq heta leq heta_2ig}) avec (0 leq R_1 < R_2) et (0 leq heta_1 < heta_2 leq 2 pi). Montrer que [iint_D f(x,y),dA = [G(R_2) - G(R_1)] space [H( heta_2) - H( heta_1)],] où (G ) et (H) sont des primitives de (g) et (h), respectivement.

65) Évaluer (displaystyle iint_D arctan left(frac{y}{x} ight) sqrt{x^2 + y^2},dA,) où (D = ig {(r, heta),|, 2 leq r leq 3, space frac{pi}{4} leq heta leq frac{pi}{3}ig} ).

Réponse:
(frac{133pi^3}{864})

66) Une calotte sphérique est la région d'une sphère qui se trouve au-dessus ou au-dessous d'un plan donné.

une. Montrer que le volume de la calotte sphérique dans la figure ci-dessous est (frac{1}{6} pi h (3a^2 + h^2)).

b. Un segment sphérique est le solide défini en coupant une sphère avec deux plans parallèles. Si la distance entre les plans est (h) montrer que le volume du segment sphérique dans la figure ci-dessous est (frac{1}{6}pi h (3a^2 + 3b^2 + h^2 )).

67) En statistique, la densité jointe pour deux événements indépendants, normalement distribués avec une moyenne (mu = 0) et une distribution standard (sigma) est définie par (p(x,y) = frac {1}{2pisigma^2} e^{-frac{x^2+y^2}{2sigma^2}}). Considérons ((X,Y)), les coordonnées cartésiennes d'une balle en position de repos après qu'elle a été lâchée d'une position sur le z-axe vers le plan (xy). Supposons que les coordonnées de la balle soient indépendamment distribuées normalement avec une moyenne (mu = 0) et un écart type de (sigma) (en pieds). La probabilité que la balle ne s'arrête pas à plus de (a) pieds de l'origine est donnée par [P[X^2 + Y^2 leq a^2] = iint_D p(x,y) dy espace dx,] où (D) est le disque de rayon (a) centré à l'origine. Montrer que [P[X^2 + Y^2 leq a^2] = 1 - e^{-a^2/2sigma^2}.]

68) L'intégrale double impropre [int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^2+y^2/2},dy , dx] peut être défini comme la valeur limite des intégrales doubles (displaystyle iint_D e^{-x^2+y^2/2},dA) sur les disques (D_a) de rayons (a) centré à l'origine, comme (a) augmente sans borne ; C'est,

[int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^2+y^2/2}dy space dx = lim_{a rightarrowinfty} iint_{D_a} e^{-x^2+y^2/2},dA.]

Utilisez les coordonnées polaires pour montrer que (displaystyle int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^2+y^2/2}, dy , dx = 2pi.)

69) Montrez que (displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^2/2},dx = sqrt{2pi}) en utilisant la relation

[ int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^2+y^2/2},dy ,dx = left( int_{-infty}^{infty} e^{-x^2/2}dx ight) left( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2/2 }dy ight).]

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.

  • Les problèmes 1, 2, 34 - 37 et 50 - 51 proviennent de Apex Calculus, Chapitre 13.3
  • Edité par Paul Seeburger (Monroe Community College)

Exercice 2 DOUBLE INTÉGRATION DANS LES COORDINATIONS POLAIRES. V1-y² dædy V2/2 V2/2 intergal " dydx + Considérez (i) Utilisez les coordonnées polaires pour combiner les intégrales en une seule intégrale double. (ii) Évaluer l'intégrale. (En supposant que -T <0<1)

Utilisez des coordonnées polaires pour combiner les intégrales en une double intégrale.

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Exercice 2 DOUBLE INTÉGRATION DANS LES COORDINATIONS POLAIRES. V1-y² dædy V2/2 V2/2 intergal " dydx + Considérez (i) Utilisez les coordonnées polaires pour combiner les intégrales en une seule intégrale double. (ii) Évaluer l'intégrale. (En supposant que -T <0<1)


5.3 Intégrales doubles en coordonnées polaires

Les intégrales doubles sont parfois beaucoup plus faciles à évaluer si nous changeons les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Cependant, avant de décrire comment effectuer ce changement, nous devons établir le concept d'une intégrale double dans une région polaire rectangulaire.

Régions d'intégration polaires rectangulaires

En utilisant la même idée pour tous les sous-rectangles et en additionnant les volumes des boîtes rectangulaires, nous obtenons une double somme de Riemann comme

Comme nous l'avons vu précédemment, nous obtenons une meilleure approximation du volume polaire du solide au-dessus de la région R R lorsque nous laissons m m et n n devenir plus grands. Par conséquent, nous définissons le volume polaire comme la limite de la double somme de Riemann,

Cela devient l'expression de l'intégrale double.

Définition

Encore une fois, tout comme dans les intégrales doubles sur les régions rectangulaires, la double intégrale sur une région polaire rectangulaire peut être exprimée comme une intégrale itérée en coordonnées polaires. D'où,

Notez que toutes les propriétés répertoriées dans Intégrales doubles sur régions rectangulaires pour l'intégrale double en coordonnées rectangulaires s'appliquent également à l'intégrale double en coordonnées polaires, nous pouvons donc les utiliser sans hésitation.

Exemple 5.24

Esquisse d'une région polaire rectangulaire

Solution

Maintenant que nous avons esquissé une région polaire rectangulaire, montrons comment évaluer une intégrale double sur cette région en utilisant des coordonnées polaires.

Exemple 5.25

Évaluation d'une intégrale double sur une région polaire rectangulaire

Solution

Tout d'abord, nous esquissons une figure similaire à la figure 5.30 mais avec un rayon extérieur 2 . 2 . D'après la figure, nous pouvons voir que nous avons

Exemple 5.26

Évaluation d'une intégrale double par conversion à partir de coordonnées rectangulaires

Solution

En utilisant la conversion x = r cos θ , y = r sin θ , x = r cos θ , y = r sin θ , et d A = r d r d θ , d A = r d r d θ , nous avons

Exemple 5.27

Évaluation d'une intégrale double par conversion à partir de coordonnées rectangulaires

Solution

Par conséquent, en utilisant la conversion x = r cos θ , y = r sin θ , x = r cos θ , y = r sin θ , et d A = r d r d θ , d A = r d r d θ , nous avons

Régions polaires générales d'intégration

Pour évaluer l'intégrale double d'une fonction continue par des intégrales itérées sur les régions polaires générales, nous considérons deux types de régions, analogues aux types I et II comme discuté pour les coordonnées rectangulaires dans les intégrales doubles sur les régions générales. Il est plus courant d'écrire les équations polaires sous la forme r = f ( ) r = f ( ) que = f ( r ) , θ = f ( r ) , nous décrivons donc une région polaire générale comme R = < ( r , ) | ≤ θ ≤ β , h 1 ( ) r ≤ h 2 ( ) > R = < ( r , ) | α ≤ θ ≤ β , h 1 ( θ ) ≤ r ≤ h 2 ( θ ) >(voir la figure suivante).

Intégrales doubles sur les régions polaires générales

Exemple 5.28

Évaluation d'une intégrale double sur une région polaire générale

Solution

Zones et volumes polaires

Nous illustrons cette idée avec quelques exemples.

Exemple 5.29

Trouver un volume à l'aide d'une double intégrale

Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le paraboloïde z = 1 − x 2 − y 2 z = 1 − x 2 − y 2 et au-dessus du cercle unité sur le plan x y x y (voir la figure suivante).

Solution

Par la méthode de la double intégration, on voit que le volume est l'intégrale itérée de la forme ∬ R ( 1 − x 2 − y 2 ) d A ∬ R ( 1 − x 2 − y 2 ) d A où R = < ( r , ) | 0 r 1 , 0 θ ≤ 2 π >. R = < ( r , ) | 0 r 1 , 0 θ ≤ 2 π >.

Cette intégration a déjà été montrée dans l'exemple 5.26, donc le volume est π 2 π 2 unités cubes.

Exemple 5.30

Recherche d'un volume à l'aide de la double intégration

Trouver le volume du solide qui se trouve sous le paraboloïde z = 4 − x 2 − y 2 z = 4 − x 2 − y 2 et au-dessus du disque ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 sur le plan xyxy. Voir le paraboloïde de la figure 5.35 coupant le cylindre ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 au-dessus du plan x y x y.

Solution

Donc le volume du solide borné en haut par le paraboloïde z = 4 − x 2 − y 2 z = 4 − x 2 − y 2 et en bas par r = 2 cos θ r = 2 cos θ est

Remarquez dans l'exemple suivant que l'intégration n'est pas toujours facile avec des coordonnées polaires. La complexité de l'intégration dépend de la fonction et aussi de la région sur laquelle nous devons effectuer l'intégration. Si la région a une expression plus naturelle en coordonnées polaires ou si f f a une primitive plus simple en coordonnées polaires, alors le changement de coordonnées polaires est approprié sinon, utilisez des coordonnées rectangulaires.

Exemple 5.31

Trouver un volume à l'aide d'une double intégrale

Solution

Examinez d'abord la région sur laquelle nous devons établir la double intégrale et le paraboloïde qui l'accompagne.

Comme vous pouvez le voir, cette intégrale est très compliquée. Ainsi, nous pouvons plutôt évaluer cette double intégrale en coordonnées rectangulaires comme

Pour répondre à la question de savoir comment les formules des volumes de différents solides standard tels qu'une sphère, un cône ou un cylindre sont trouvées, nous voulons démontrer un exemple et trouver le volume d'un cône arbitraire.

Exemple 5.32

Trouver un volume à l'aide d'une double intégrale

Utilisez les coordonnées polaires pour trouver le volume à l'intérieur du cône z = 2 − x 2 + y 2 z = 2 − x 2 + y 2 et au-dessus du plan x y . x y -plan .

Solution

On trouve l'équation du cercle en fixant z = 0 : z = 0 :

∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 ( 2 − r ) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 ( 2 − r ) rdrd θ = 2 4 3 = 8 3 unités cubes.

Une analyse

Notez que si nous devions trouver le volume d'un cône arbitraire de rayon a a unités et de hauteur h h unités, alors l'équation du cône serait z = h − h a x 2 + y 2 . z = h − h a x 2 + y 2 .

Nous pouvons toujours utiliser la figure 5.37 et définir l'intégrale comme θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a ( h − h a r ) r d r d θ . ∫ θ = 0 = 2 π ∫ r = 0 r = a ( h − h a r ) r d r d θ .

En évaluant l'intégrale, nous obtenons 1 3 π a 2 h . 1 3 une 2 h .

Utilisez les coordonnées polaires pour trouver une intégrale itérée pour trouver le volume du solide entouré par les paraboloïdes z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 et z = 16 − x 2 − y 2 . z = 16 − x 2 − y 2 .

Comme pour les coordonnées rectangulaires, nous pouvons également utiliser des coordonnées polaires pour trouver des zones de certaines régions à l'aide d'une double intégrale. Comme précédemment, nous devons comprendre la région dont nous voulons calculer la superficie. L'esquisse d'un graphique et l'identification de la région peuvent être utiles pour réaliser les limites de l'intégration. Généralement, la formule de surface en double intégration ressemblera à

Exemple 5.33

Recherche d'une zone à l'aide d'une intégrale double en coordonnées polaires

Évaluer l'aire délimitée par la courbe r = cos 4 θ . r = cos 4 .

Solution

Exemple 5.34

Trouver la zone entre deux courbes polaires

Trouvez l'aire délimitée par le cercle r = 3 cos θ r = 3 cos θ et la cardioïde r = 1 + cos θ . r = 1 + cos .

Solution

Tout d'abord, esquissez les graphiques de la région (Figure 5.39).

Nous pouvons à partir de la symétrie du graphe dont nous avons besoin pour trouver les points d'intersection. Mettre les deux équations à égalité donne

En évaluant chaque pièce séparément, nous constatons que la zone est

Trouvez l'aire enfermée à l'intérieur de la cardioïde r = 3 − 3 sin r = 3 − 3 sin θ et à l'extérieur de la cardioïde r = 1 + sin θ . r = 1 + sin .

Exemple 5.35

Évaluation d'une double intégrale incorrecte en coordonnées polaires

Évaluer l'intégrale ∬ R 2 e −10 ( x 2 + y 2 ) d x d y . R 2 e −10 ( x 2 + y 2 ) d x d y .

Solution

C'est une intégrale impropre car nous intégrons sur une région non bornée R 2 . R 2 . En coordonnées polaires, le plan entier R 2 R 2 peut être vu comme 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 r ≤ ∞ . 0 ≤ r ≤ ∞ .

En utilisant les changements de variables des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, nous avons

Évaluer l'intégrale ∬ R 2 e −4 ( x 2 + y 2 ) d x d y . R 2 e -4 ( x 2 + y 2 ) d x d y .

Section 5.3 Exercices

Dans les exercices suivants, exprimez la région D D en coordonnées polaires.

Dans les exercices suivants, le graphique de la région polaire rectangulaire D D est donné. Exprimez D D en coordonnées polaires.

Dans le graphique suivant, la région D D est délimitée par y = x y = x et y = x 2 . y = x 2 .

Dans les exercices suivants, évaluez l'intégrale double ∬ R f ( x , y ) d A ∬ R f ( x , y ) d A sur la région polaire rectangulaire D . RÉ .

D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = < ( r , ) | 1 ≤ r ≤ 2 , 4 ≤ θ ≤ π 3 > ∬ D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D =

Dans les exercices suivants, les intégrales ont été converties en coordonnées polaires. Vérifiez que les identités sont vraies et choisissez la manière la plus simple d'évaluer les intégrales, en coordonnées rectangulaires ou polaires.

∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s 2 s θ r 3 drd θ ∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s θ 2 sec θ r 3 drd θ

∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 s θ r cos θ drd θ ∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 sec r cos θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 bronzage θ sec θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ

Dans les exercices suivants, convertissez les intégrales en coordonnées polaires et évaluez-les.

∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x

∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x ∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x

Trouvez l'aire totale de la région délimitée par la rose à quatre feuilles r = sin 2 r = sin 2 θ (voir la figure de l'exercice précédent).

Trouver le volume du solide situé dans le premier octant et borné par le paraboloïde z = 1 − 4 x 2 − 4 y 2 z = 1 − 4 x 2 − 4 y 2 et les plans x = 0 , y = 0 , x = 0 , y = 0 et z = 0 . z = 0 .

Trouver le volume du solide délimité par le paraboloïde z = 2 − 9 x 2 − 9 y 2 z = 2 − 9 x 2 − 9 y 2 et le plan z = 1 . z = 1 .

Pour les deux exercices suivants, considérons un anneau sphérique, qui est une sphère avec un trou cylindrique coupé de sorte que l'axe du cylindre passe par le centre de la sphère (voir la figure suivante).

Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le double cône z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 , z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 , à l'intérieur du cylindre x 2 + y 2 = x , x 2 + y 2 = x , et au dessus du plan z = 0 . z = 0 .

Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le paraboloïde z = x 2 + y 2 , z = x 2 + y 2 , à l'intérieur du cylindre x 2 + y 2 = x , x 2 + y 2 = x , et au-dessus du plan z = 0 . z = 0 .

Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le plan x + y + z = 10 x + y + z = 10 et au-dessus du disque x 2 + y 2 = 4 x . x 2 + y 2 = 4 x .

Trouvez le volume du solide qui se trouve sous le plan 2 x + y + 2 z = 8 2 x + y + 2 z = 8 et au-dessus du disque unité x 2 + y 2 = 1 . x 2 + y 2 = 1 .

Utilisez les informations de l'exercice précédent pour calculer l'intégrale ∬ D ( x 2 + y 2 ) 3 d A , ∬ D ( x 2 + y 2 ) 3 d A , où D D est le disque unité.

Appliquez l'exercice précédent pour calculer l'intégrale ∬ D y 2 x 2 d A , ∬ D y 2 x 2 d A , où D = < ( r , ) | 1 r 2 , 6 θ ≤ π 3 >. D = < ( r , ) | 1 r 2 , 6 θ ≤ π 3 >.

Une calotte sphérique est la région d'une sphère qui se trouve au-dessus ou au-dessous d'un plan donné.

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    • Auteurs : Gilbert Strang, Edwin « Jed » Herman
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Calculus Volume 3
    • Date de parution : 30 mars 2016
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-3-double-integrals-in-polar-coordinates

    © 21 décembre 2020 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    1 réponse 1

    Il n'y a pas beaucoup de différence entre faire une intégration de zone en coordonnées polaires en tant qu'intégrale double et la façon dont vous l'avez peut-être rencontrée plus tôt dans le calcul à une variable. Il est tout de même important d'avoir une idée de ce à quoi ressemblent les régions (ici, vous avez un limacon et une "cacahuète").

    Votre portion radiale est correcte, mais vous devez vraiment regarder les angles où les courbes se coupent : vous devrez résoudre $ 2 + sin heta = 2 + cos (2 heta)$ pour obtenir le plage d'intégration angulaire. Il y a deux zones à couvrir, mais vous pouvez utiliser la symétrie ici et simplement intégrer sur l'une d'entre elles.

    La courbe rouge est le limacon $2 + sin heta$ , la courbe bleue, $2 + cos(2 heta)$ .

    D'ailleurs, dans l'intégrale que vous avez écrite, ce n'est pas qu'il y a non intégrande, mais plutôt que l'intégrande est "1". Vous faites une intégrale de surface où tous les patchs infinitésimaux sont également "pondérés" à 1 , donc le résultat est simplement l'aire de la région. Les intégrales de surface avec une "fonction de pondération" $f(r, heta)$ ou $g(x,y)$ apparaissent dans diverses applications.


    2 réponses 2

    Vous devriez avoir deux intégrales distinctes, car il y a un changement dans les limites d'intégration, mesurées à partir de l'origine. Vous pouvez également appliquer une symétrie autour de l'axe $ x-$ et écrire

    $ A = 2 left[ int_0^ int_0^ <2> r dr d heta + int_^ int_0^ <6 cos heta> r dr d heta ight] . $

    Le "bras radial" s'étend jusqu'au cercle $ r = 2 $ jusqu'à l'angle $ heta = arccos(frac<1><3>) , $ puis l'autre cercle jusqu'à $ heta = frac <2> . $ Voici un graphique de la situation :

    Le fait est que pour la région "entre" ces deux cercles, votre "rayon" à partir de l'origine n'est délimité nulle part par un cercle en tant que "cercle extérieur" et l'autre en tant que "cercle intérieur", vous ne changez que d'un cercle au second.

    ÉDITER: J'ai regardé à nouveau votre énoncé de problème, puis à nouveau mon graphique, et j'ai réalisé que l'énoncé est ambigu. J'ai interprété cela comme "la zone à l'intérieur tous les deux $ r = 6 cos heta ext r = 2 $ " [que j'ai rempli de bleu] . L'intégrale que vous avez écrite pouvait be applied to "the area inside $ r = 6 cos heta , $ but outside $ r = 2 $ " [which I've now filled in orange]. In that case, your approach is correct, except that $ r = 6 cos heta $ is the "outer curve" and $ r = 2 $ , the "inner curve", so you should have written

    Was this in fact the area you meant to cover? (Sorry if I misunderstood the intended problem.) You have the boundaries swapped in the integral, which certainly explains the négatif result.


    Math 215 Examples

    UNE polar rectangle is a region in the (xy)-plane defined by the inequalities (a le r le b) and (alphale hetaleeta) in polar coordinates. For example, the unit disk can be concisely described as the polar rectangle (0le rle 1), (0le hetale 2pi).

    The area of a polar rectangle is (frac<1><2>(eta-alpha)(b^2-a^2)), as this is the difference in area between the sectors of a radius (b) and a radius (a) circle for (alphale hetaleeta).

    In particular, if we have a polar rectangle of radial "width" (Delta r) and angular "width" (Delta heta) centered around ((r, heta)), then (eta-alpha=Delta heta) and (frac<1><2>(b^2-a^2)=frac<1><2>(b+a)(b-a) = rDelta r), so the area of this polar rectangle is (r Delta rDelta heta).

    Integrating in Polar Coordinates

    Recall that, to estimate (iintlimits_R f(x,y),dA) over an ordinary rectangle (R), we formed the Riemann sum [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(x_i,y_j)Delta A = sum_^msum_^n f(x_i,y_i)Delta xDelta y] where each ((x_i,y_j)) is a sample point in the (ij)th subrectangle. Taking the limit as the number of subrectangles goes to infinity is, in fact, our definition of (iintlimits_R f(x,y),dA).

    What if instead we want to integrate (f(x,y)) over a polar rectangle (R)? We can write (f(x,y)) in polar coordinates as (f(rcos heta, rsin heta)) by using the relations (x=rcos heta), (y=rsin heta). Now if we subdivide (R) into polar subrectangles, we have [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j)Delta A] where each ((r_i, heta_j)) is a sample point in the (ij)th polar subrectangle.

    For example, a Riemann sum over a polar rectangle with (4) radial subdivisions and (3) angular subdivisions might look graphically like

    If we pick the sample points in the Riemann sum to be the centers of the polar subrectangles, then as just discussed, we can write (Delta A = r_iDelta rDelta heta), and our Riemann sum becomes [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j) r_iDelta rDelta heta] (notice the (r_i) arising from (Delta A) on the right hand side!).

    Taking the limit as (m) and (n) go to infinity turns the right hand side into an iterated integral:

    Illustrated Example

    Worked Solution

    The region (R) is the polar rectangle (0le rle 1), (pi/2le hetalepi). Using (x=rcos heta) and (y=rsin heta), we write the integrand in polar coordinates as [egin x^2-3x+y^2 &= (rcos heta)^2-3rcos heta+(rsin heta)^2 &= r^2(cos^2 heta+sin^2 heta)-3rcos heta &= r^2 - 3rcos heta. finir]

    Remembering to include the extra factor of (r) when converting to polar coordinates, the desired integral is [egin iintlimits_R (x^2-3x+y^2), dA &= int_^piint_0^1 (r^2-3rcos heta),r,dr,d heta &= int_^piint_0^1 (r^3-3r^2cos heta),dr,d heta &= int_^pileft(left(frac<1><4>r^4-r^3cos heta ight)Bigg|_0^1 ight), d heta &= int_^pileft(frac<1><4>-cos heta ight),d heta &= left(frac<1><4> heta-sin heta ight)Bigg|_^pi &= left(frac<4>+0 ight)-left(frac<8>-1 ight) &= frac<8>+1. finir]

    Visualizing the Example

    The following animation shows the polar Riemann sums approximating this double integral as the number of subdivisions increases.

    Notice that the polar rectangles closer to the origin are much narrower looking than the ones further out, so if we had two boxes in a polar Riemann sum with the same height, the one closer to the origin would contribute less to the result than the one further out. This is not true in the ordinary, non-polar Riemann sums we've looked at in these sums, all the subrectangles have the same area (Delta A = Delta x Delta y), so two boxes with the same height have the same volume and hence always contribute the same amount to the Riemann sum. However, in polar Riemann sums, the area of a polar subrectangle is (Delta A = rDelta rDelta heta), which depends also on (r), the distance from the origin. Thus polar subrectangles closer to the origin (with small (r)) contribute less to the result than polar subrectangles further from the origin (with bigger (r)). We see this graphically in the narrow rectangles near the origin, and symbolically in the extra factor of (r) that shows up when writing the double integral as an iterated integral in polar coordinates.

    Further Questions

    1. Work this example again using the other order of integrals, integrating first with respect to ( heta) then (r).
    2. How would our answer change if our region of integration were instead the sector of the unit disk in the first quadrant? What about the third quadrant? Fourth quadrant? Try to answer these questions without redoing the whole calculation instead, think about which parts of the calculation would change, and how.
    3. Based on your answers to Question 2, what would we get if we integrated (x^2-3x+y^2) over the entire unit disk?
    4. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the angular range as (alphale hetaleeta), with (0le eta-alphale 2pi). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (eta-alpha > 2pi)?
    5. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the radial range as (0le ale rle b). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (a < 0)?

    Using the Mathematica Demo

    All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 15_4DoubleIntegralsInPolarCoordinates.nb.

    This notebook generates images and animations like those on this page of polar Riemann sums for any integrand (f(r, heta)) and any polar rectangle.

    As an exercise, use the notebook to provide clear graphical answers to Questions 2 and 3 above.

    Then, can you come up with an integrand (f(r, heta)) and bounds so that the notebook produces Riemann sums approximating the area of the unit circle, or the volume of the unit sphere? What about a cone of radius 1 and height 1?


    Double Integrals in Polar Coordinates (Exercises)

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral


    Double Integrals in Polar Coordinates

    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.
    How to transform and evaluate double integrals from Cartesian co-ordinates to polar co-ordinates?



    Double Integral Using Polar Coordinates - Part 1 of 3
    This video shows how to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.

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    Example 1

    Evaluate the double integral $iint_R x + 2y : dA$ where $R$ is the region of area between the semicircles above the $x$ -axis of $x^2 + y^2 = 1$ and $x^2 + y^2 = 4$ .

    We note that $f(x, y) = x + 2y$ and so $f(r cos heta, r sin heta) = r cos heta + 2r sin heta$ . Using the formula above, we can convert our double integral into the following iterated integrals:


    Multivariable Calculus

    Objectives

    After completing this section you should.

    Be able to change coordinates of a double integral between Cartesian and polar coordinates

    We now want to explore how to perform (u)-substitution in high dimensions. Let's start with a review from first semester calculus.

    Review 11.3.1

    Consider the integral (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx ext<.>)

    Let (u=-3x ext<.>) Solve for (x) and then compute (dx ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<3>^<-12>e^u left(-frac<1><3> ight)du ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<-12>^<3>e^u left|-frac<1><3> ight| du ext<.>)

    If the (u)-values are between (-3) and (2 ext<,>) what would the (x)-values be between? How does the length of the (u) interval ([-3,2]) relate to the length of the corresponding (x) interval?

    In the exercise above, we used a change of coordinates (u=-3x ext<,>) or (x=-1/3 u ext<.>) By taking derivatives, we found that (dx=-frac<1><3>du ext<.>) The negative means that the orientation of the interval was reversed. The fraction (frac13) tells us that lengths (dx) using (x) coordinates will be (1/3)rd as long as lengths (du) using (u) coordinates. When we write (dx = fracdu ext<,>) the number (frac) is called the Jacobian of (x) with respect to (u ext<.>) The Jacobian tells us how lengths are altered when we change coordinate systems. We now generalize this to polar coordinates. Before we're done with this section, we'll generalize the Jacobian to any change of coordinates.

    Exercise 11.3.2

    Consider the polar change of coordinates (x=rcos heta) and (y=rsin heta ext<,>) which we could just write as

    If you need a reminder of how to compute determinants, refer to Section 2.3.1

    Compute the derivative (Dvec T(r, heta) ext<.>) You should have a 2 by 2 matrix.

    We need a single number from this matrix that tells us something about area. Determinants are connected to area.

    Compute the determinant of (Dvec T(r, heta)) and simplify.

    The determinant you found above is called the Jacobian of the polar coordinate transformation. Let's summarize these results in a theorem.

    Theorem 11.3.1

    If we use the polar coordinate transformation (x=rcos heta, y=rsin heta ext<,>) then we can switch from ((x,y)) coordinates to ((r, heta)) coordinates if we use

    Ask me in class to give you an informal picture approach that explains why (dxdy=rdrd heta ext<.>)

    The number (|r|) is called the Jacobian of (x) and (y) with respect to (r) and ( heta ext<.>) If we require all bounds for (r) to be nonnegative, we can ignore the absolute value. If (R_) is a region in the (xy) plane that corresponds to the region (R_) in the (r heta) plane (where (rgeq 0)), then we can write

    commencer iint_<>> f(x,y) dxdy = iint_<>> f(rcos heta,rsin heta) r drd heta. finir

    Subsection 11.3.1 Practice Changing Coordinates

    We need some practice using this idea. We'll start by describing regions using inequalities on (r) and ( heta ext<.>)

    Exercise 11.3.3

    For each region (R) below, draw the region in the (xy)-plane. Then give a set of inequalities of the form (aleq rleq b, alpha(r)leq heta leq eta(r)) or (alphalt hetalt eta, a( heta)leq rleq b( heta) ext<.>) For example, if the region is the inside of the circle (x^2+y^2=9 ext<,>) then we could write (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (0leq rleq 3 ext<.>)

    The region (R) is the quarter circle in the first quadrant inside the circle (x^2+y^2=25 ext<.>)

    The region (R) is below (y=sqrt<9-x^2> ext<,>) above (y=x ext<,>) and to the right of (x=0 ext<.>)

    The region (R) is the triangular region below (y=sqrt 3 x ext<,>) above the (x)-axis, and to the left of (x=1 ext<.>)

    Exercise 11.3.4

    Consider the opening exercise for this unit. We want to find the volume under (f(x,y)=9-x^2-y^2) where (xgeq0) and (zgeq 0 ext<.>) We obtained the integral formula

    Write bounds for the region (R) by giving bounds for (r) and ( heta ext<.>)

    Rewrite the double integral as an iterated integral using the bounds for (r) and ( heta ext<.>) Don't forget the Jacobian (as (dxdy=rdrd heta)).

    Compute the integral in the previous part by hand. [Suggestion: you'll want to simplify (9-x^2-y^2) to (9-r^2) before integrating.]

    Exercise 11.3.5

    Find the centroid of a semicircular disc of radius (a) ((ygeq 0)). Actually compute any integrals.

    Exercise 11.3.6

    try switching coordinate systems to polar coordinates. This will require you to first draw the region of integration, and then then obtain bounds for the region in polar coordinates.

    We're now ready to define the Jacobian of any transformation.

    Subsection 11.3.2 Computational Practice

    These are provided to help you achieve better skills in basic computational answers.


    Voir la vidéo: Intégrale double: Changement de variables Coordonnées polaires (Décembre 2021).