Des articles

Exercices pour la Section 12.4 - Mathématiques


Détermination de la longueur de l'arc

Aux questions 1 à 6, trouvez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle donné.

1) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+(2t^2+1),hat{mathbf{j}}, quad 1≤t ≤3)

Répondre:
(8sqrt{5}) unités

2) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+14t ,hat{mathbf{j}},quad 0≤t≤7). Cette partie du graphique est montrée ici :

3) (vecs r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩, quad −1≤t≤0)

Répondre:
(frac{1}{54}(37^{3/2}−1)) unités

4) (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩,quad 0≤t≤π). Cette partie du graphique est montrée ici :

5) (vecs r(t)=⟨e^{−t cos t},e^{−t sin t}⟩) sur l'intervalle ([0,frac{π}{2} ]). Voici la portion du graphique sur l'intervalle indiqué :

6)

7) Trouver la longueur d'un tour de l'hélice donnée par (vecs r(t)= frac{1}{2} cos t ,hat{mathbf{i}}+frac{1} {2} sin t ,hat{mathbf{j}}+sqrt{frac{3}{4}}t ,hat{mathbf{k}}).

Répondre:
Longueur (=2π) unités

8) Trouver la longueur d'arc de la fonction à valeur vectorielle (vecs r(t)=−t ,hat{mathbf{i}}+4t ,hat{mathbf{j}}+3t ,hat{mathbf{k}}) sur ([0,1]).

9) Une particule se déplace dans un cercle avec l'équation du mouvement (vecs r(t)=3 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{ j}} +0 ,hat{mathbf{k}}). Trouvez la distance parcourue autour du cercle par la particule.

Répondre:
(6π) unités

10) Mettre en place une intégrale pour trouver la circonférence de l'ellipse avec l'équation (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+2 sin t ,hat{ mathbf{j}}+0,hat{mathbf{k}}).

11) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨sqrt{2}t,e^t,e^{−t}⟩) sur l'intervalle (0≤t≤1) . Le graphique est montré ici :

Répondre:
(left(e−frac{1}{e} ight)) unités

12) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩) pour (t∈[−10,10]).

Vecteurs tangents unitaires et vecteurs normaux unitaires

13) La fonction de position d'une particule est (vecs r(t)=a cos( ωt) ,hat{mathbf{i}}+b sin (ωt) ,hat{mathbf{ j}}). Trouvez le vecteur tangent unitaire et le vecteur normal unitaire à (t=0).

Solution:
(vecs r'(t) = -aω sin( t) ,hat{mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}})
( | vecs r'(t) | = sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^2(ωt)} )
(vecs T(t) = dfrac{vecs r'(t)}{| vecs r'(t) | } = dfrac{-aω sin( t) ,hat{ mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^ 2(ωt)}})
(vecs T(0)= ​​dfrac{bω ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(bω)^2}} = dfrac{bω ,hat{mathbf{j }}}{|bω|})
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; T(0)= ​​-hat{mathbf{ j}})
Répondre:
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; vecs T(0)= ​​-hat{ mathbf{j}})
Si (a > 0, ; vecs N(0)= -hat{mathbf{i}},) et si ( a < 0, ; vecs N(0)= hat{ mathbf{i}})

14) Soit (vecs r(t)=a cos (ωt) ,hat{mathbf{i}} +b sin (ωt) ,hat{mathbf{j}}), trouver le vecteur binormal (vecs B(0)).

15) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)).

Répondre:
(egin{align*} vecs T(t) &=⟨frac{2}{sqrt{6}},, frac{cos t− sin t}{sqrt{6}} , , frac{cos t+ sin t}{sqrt{6}}⟩ [4pt]
&= ⟨frac{sqrt{6}}{3},, frac{sqrt{6}}{6} (cos t− sin t), , frac{sqrt{6} }{6} (cos t+ sin t)⟩ end{align*})

16) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) évalué à (t=0), (vecs T(0)).

17) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur normal unitaire (vecs N(t)).

Répondre:
(vecs N(t)=⟨0,, -frac{sqrt{2}}{2} (sin t + cos t), , frac{sqrt{2}}{2 } (cos t- sin t)⟩)

18) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) évalué à (t=0), (vecs N(0)).

Répondre:
(vecs N(0)=⟨0, ;-frac{sqrt{2}}{2},;frac{sqrt{2}}{2}⟩)

19) Étant donné (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k }}), trouvez le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)). Le graphique est montré ici :

Répondre:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>)

20) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) et le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) en (t=0) pour la courbe plane (vecs r(t )=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩). Le graphique est montré ici :

21) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=3t ,hat{mathbf{i}}+5t^2 ,hat{mathbf {j}}+2t ,hat{mathbf{k}}).

Répondre:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{100t^2+13}}(3 ,hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j} }+2 ,hat{mathbf{k}}))

22) Trouver le vecteur normal principal à la courbe (vecs r(t)=⟨6 cos t,6 sin t⟩) au point déterminé par (t=frac{π}{3} ).

23) Trouver (vecs T(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t) ,hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ) ,hat{mathbf{j}}).

Répondre:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{9t^4+76t^2+16}}([3t^2−4],hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j}}))

24) Trouver (vecs N(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t),hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ),hat{mathbf{j}}).

25) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=⟨2 sin t,, 5t,, 2 cos t⟩).

Répondre:
(vecs T(t)=⟨frac{2sqrt{29}}{29}cos t,, frac{5sqrt{29}}{29},,−frac{2 sqrt{29}}{29}sin t⟩)

26) Trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) pour (vecs r(t)=⟨2sin t,,5t,,2cos t⟩).

Répondre:
(vecs N(t)=⟨−sin t,0,−cos t⟩)

Paramétrage de la longueur d'arc

27) Trouver la fonction de longueur d'arc (vecs s(t)) pour le segment de droite donné par (vecs r(t)=⟨3−3t,, 4t⟩). Ensuite, écrivez le paramétrage de la longueur d'arc de (r) avec (s) comme paramètre.

Répondre:
Fonction de longueur d'arc : (s(t)=5t); Le paramétrage de la longueur d'arc de (vecs r(t)): (vecs r(s)=(3−frac{3s}{5}),hat{mathbf{i}}+ frac{4s}{5},hat{mathbf{j}})

28) Paramétrer l'hélice (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+ sin t ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{ mathbf{k}}) en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), de (t=0).

29) Paramétrer la courbe en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), au point où (t=0) pour (vecs r(t)=e^t sin t ,hat{ mathbf{i}} + e^t cos t ,hat{mathbf{j}})

Répondre:
(vecs r(s)=(1+frac{s}{sqrt{2}}) sin ( ln (1+ frac{s}{sqrt{2}})), chapeau{mathbf{i}} +(1+ frac{s}{sqrt{2}}) cos [ ln (1+frac{s}{sqrt{2}})], chapeau{mathbf{j}})

Courbure et cercle osculateur

30) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+4 sin t ,hat{mathbf{j}}) à (t=π/3). (Noter: Le graphique est une ellipse.)

31) Trouvez la coordonnée (x) à laquelle la courbure de la courbe (y=1/x) est une valeur maximale.

Répondre:
La valeur maximale de la courbure se produit à (x=1).

32) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+5 sin t ,hat{mathbf{j}}) . La courbure dépend-elle du paramètre (t) ?

33) Trouver la courbure (κ) pour la courbe (y=x−frac{1}{4}x^2) au point (x=2).

Répondre:
(frac{1}{2})

34) Trouvez la courbure (κ) pour la courbe (y=frac{1}{3}x^3) au point (x=1).

35) Trouver la courbure (κ) de la courbe (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+6t^2 ,hat{mathbf{j}}+ 4t ,hat{mathbf{k}}). Le graphique est montré ici :

Répondre:
(κ≈dfrac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}})

36) Trouver la courbure de (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩).

37) Trouver la courbure de (vecs r(t)=sqrt{2}t ,hat{mathbf{i}}+e^t ,hat{mathbf{j}}+e^ {−t} ,hat{mathbf{k}}) au point (P(0,1,1)).

Répondre:
(frac{1}{2sqrt{2}})

38) A quel point la courbe (y=e^x) a-t-elle une courbure maximale ?

39) Qu'arrive-t-il à la courbure en tant que (x→∞) pour la courbe (y=e^x) ?

Répondre:
La courbure approche de zéro.

40) Trouvez le point de courbure maximale sur la courbe (y=ln x).

41) Trouver les équations du plan normal et du plan osculateur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin (3t),t,2 cos (3t)⟩) au point ((0 ,π,−2)).

Répondre:
(y=6x+π) et (x+6y=6π)

42) Trouver les équations des cercles osculateurs de l'ellipse (4y^2+9x^2=36) aux points ((2,0)) et ((0,3)).

43) Trouver l'équation du plan osculateur au point (t=π/4) sur la courbe (vecs r(t)=cos (2t) ,hat{mathbf{i}}+ sin (2t) ,hat{mathbf{j}}+t,hat{mathbf{k}}).

Répondre:
(x+2z=frac{π}{2})

44) Trouver le rayon de courbure de (6y=x^3) au point ((2,frac{4}{3}).)

45) Trouver la courbure en chaque point ((x,y)) sur l'hyperbole (vecs r(t)=⟨a cosh( t),b sinh (t)⟩).

Répondre:
(dfrac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}})

46) Calculer la courbure de l'hélice circulaire (vecs r(t)=r sin (t) ,hat{mathbf{i}}+r cos (t) ,hat{mathbf{ j}}+t ,hat{mathbf{k}}).

47) Trouvez le rayon de courbure de (y= ln (x+1)) au point ((2,ln 3)).

Répondre:
(frac{10sqrt{10}}{3})

48) Trouvez le rayon de courbure de l'hyperbole (xy=1) au point ((1,1)).

Une particule se déplace le long de la courbe plane (C) décrite par (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}} ). Utilisez ce paramétrage pour répondre aux questions 49 à 51.

49) Trouvez la longueur de la courbe sur l'intervalle ([0,2]).

Répondre:
(frac{1}{4}ig[ 4sqrt{17} + lnleft(4+sqrt{17} ight)ig] ext{ units }approx 4.64678 ext{ units })

50) Trouvez la courbure de la courbe plane à (t=0,1,2).

51) Décrivez la courbure comme t augmente de (t=0) à (t=2).

Répondre:
La courbure est décroissante sur cet intervalle.

La surface d'une grande tasse est formée en faisant tourner le graphe de la fonction (y=0.25x^{1.6}) de (x=0) à (x=5) autour du (y) -axe (mesuré en centimètres).

52) [T] Utilisez la technologie pour tracer la surface.

53) Trouver la courbure (κ) de la courbe génératrice en fonction de (x).

Répondre:
(κ=dfrac{30}{x^{2/5}gauche(25+4x^{6/5}droit)^{3/2}})

Notez qu'initialement votre réponse peut être :
(dfrac{6}{25x^{2/5}gauche(1+frac{4}{25}x^{6/5}droit)^{3/2}})

Nous pouvons le simplifier comme suit :
( egin{align*} dfrac{6}{25x^{2/5}left(1+frac{4}{25}x^{6/5} ight)^{3/2} } &= dfrac{6}{25x^{2/5}grand[frac{1}{25}gauche(25+4x^{6/5}droit)grand]^{3/2 }}[4pt]
&= dfrac{6}{25x^{2/5}left(frac{1}{25} ight)^{3/2}ig[25+4x^{6/5}ig] ^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{6}{frac{25}{125}x^{2/5}ig[25+4x^{6/5}ig]^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{30}{x^{2/5}left(25+4x^{6/5} ight)^{3/2}}end{align*} )

54) [T] Utilisez la technologie pour représenter graphiquement la fonction de courbure.


RD Sharma Classe 12 Solutions PDF à télécharger gratuitement en ligne

Le livre RD Sharma Class 12 contient un grand nombre d'exemples résolus bien notés. De nouveaux exemples et problèmes illustratifs ont été ajoutés aux exercices de chaque chapitre. Dans chaque chapitre, tous les concepts et définitions ont été discutés en détail de manière lucide et ont également été expliqués avec des exemples illustratifs appropriés.

Vous pouvez également télécharger des solutions NCERT de mathématiques pour la classe 12 pour vous aider à réviser le programme complet et à marquer plus de points à vos examens.

Points clés des solutions RD Sharma Classe 12

  • Des réponses complètes et personnalisées pour chaque question dans RD Sharma Mathematics
  • Explication détaillée pour chaque question

Par chapitre, RD Sharma Solutions Classe 12 Mathématiques

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 1 – Relations

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 2 – Fonctions

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 3 – Opérations binaires

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 4 – Fonctions trigonométriques inverses

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 5 – Algèbre des matrices

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 6 – Déterminants

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 7 – Adjoint et inverse d'une matrice

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de classe 12 Chapitre 8 – Solution d'équations linéaires simultanées

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 9 – Continuité

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 10 – Différenciation

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 11 – Différenciation

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de classe 12 Chapitre 12 – Dérivés d'ordre supérieur

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 13 – Dérivée en tant que mesureur de taux

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 14 – Différentiels, erreurs et approximations

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 15 – Théorèmes de la valeur moyenne

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 16 – Tangentes et normales

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 17 – Fonctions croissantes et décroissantes

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 18 – Maxima et Minima

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 19 – Intégraux indéfinis

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 20 – Intégraux définis

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 21 – Zones des régions délimitées

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 22 – Équations différentielles

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 23 – Algèbre des vecteurs

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 24 – Produit scalaire ou scalaire

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 25 – Produit vectoriel ou croisé

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 26 – Triple produit scalaire

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 27 – Cosinus de direction et rapports de direction

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 28 – Ligne droite dans l'espace

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 29 – L'avion

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 30 – Programmation linéaire

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 31 – Probabilité

RD Sharma Solutions for Class 12 Maths Chapter 32 – Moyenne et variance d'une variable aléatoire

Solutions RD Sharma pour les mathématiques de la classe 12 Chapitre 33 – Distribution binomiale

Vous pouvez également télécharger le PDF gratuit de Solutions RD Sharma Classe 12 ou enregistrez les images de la solution et imprimez-la pour la garder à portée de main pour votre préparation à l'examen.

Solutions RD Sharma Classe 12 Télécharger le PDF Chapitre 1 à 33

Mathématiques pour la classe XII Volume – I et Volume – II

Ce manuel est basé sur le dernier programme prescrit par le CBSE. Le texte a été divisé en deux volumes. Le volume – I se compose de 1 – 19 et le volume – II se compose de 20 -33. Exemples illustratifs et des exercices donnés à la fin de chaque section/sous-section de chaque chapitre ont été classés par ordre croissant de niveau de difficulté et ont été classés en deux niveaux, à savoir Niveau – 1 et Niveau – 2. A la fin de chaque chapitre un exercice consistant à Questions à choix multiples (QCM), Résumé pour une révision rapide des concepts et des formules ont été donnés.

Caractéristiques uniques du manuel de mathématiques RD Sharma Class 12

  • Théorie détaillée avec illustrations
  • Approche algorithmique
  • Grand nombre d'exemples et d'exercices illustratifs notés
  • Bref résumé composé de concepts et de formules.

A propos de l'auteur

Dr R.D. Sharma travaille actuellement en tant que chef du département (sciences et sciences humaines) au département de la formation et de l'enseignement technique du gouvernement de Delhi. Un doctorat en mathématiques, il est double médaillé d'or, se classant premier dans l'ordre du mérite à la fois au B.Sc (Hons.) et à la M.Sc. Examens de l'Université du Rajasthan, Jaipur.

Il a suivi une formation rigoureuse de l'IIT de Kharagpur en méthodes mathématiques orientées informatique et a une longue expérience dans l'enseignement aux étudiants de troisième cycle et en ingénierie.

Plus de ressources pour les solutions NCERT de classe 12 :

FAQ sur les solutions RD Sharma Classe 12

1. Puis-je télécharger facilement les solutions RD Sharm pour la classe 12 ?

Oui, un seul clic suffit pour télécharger le PDF des solutions RD Sharma Class 12 depuis notre site Web @ learnCBSE.in

2. Quelle est la meilleure ressource pour obtenir de meilleures notes aux examens du jury ?

Il existe de nombreuses ressources d'examen disponibles sur le marché et en ligne, mais la préparation avec RD Sharma Book Solutions vous aidera au maximum et à obtenir de meilleures notes en classe 12 et aux examens concurrentiels.

3. Où puis-je bénéficier des solutions RD Sharma par chapitre pour la classe 12 ?

Il est conseillé aux aspirants de consulter notre site Web LearnCBSE.in pour obtenir gratuitement tous les chapitres RD Sharma Class 12 Solutions.

4. La résolution des solutions RD Sharma Class 12 est-elle suffisante pour la préparation aux examens du conseil?

Oui, résoudre les meilleurs livres comme RD Sharma Solutions for Class 12 est le package complet pour votre préparation à l'examen. Alors, téléchargez-les gratuitement à partir de cette page et entraînez-vous davantage pour votre conseil de classe 12 et vos examens concurrentiels.


Caractéristiques

Personnalisez l'apprentissage avec MyMathLab

MyMathLab est un programme de devoirs, de didacticiels et d'évaluation en ligne conçu pour travailler avec ce texte afin d'impliquer les étudiants et d'améliorer les résultats. Dans son environnement structuré, les étudiants mettent en pratique ce qu'ils apprennent, testent leur compréhension et utilisent des ressources médiatiques pour les aider à absorber le matériel de cours et à comprendre les concepts difficiles. NOUVEAU! Le cours MyMathLab de cette édition fournit des outils supplémentaires pour aider à la compréhension et à la préparation.

  • NOUVEAU! UNE nouveau programme vidéo guide les étudiants à travers les concepts de chaque section du texte dans un format de présentation frais et moderne.
  • NOUVEAU! Vidéos conceptuelles interactives nécessitent la contribution et l'interaction des élèves lorsqu'ils parcourent un concept. Les réponses incorrectes sont suivies d'une explication vidéo de la solution, abordant l'idée fausse qui a pu conduire à cette erreur particulière.
    • Correspondant exercices assignables permettre aux instructeurs de vérifier la compréhension des élèves.
    • Questions d'alphabétisation quantitatives prédéfinies sont disponibles pour affectation.
    • Dans le Édition de l'instructeur annotée, des annotations spéciales de Learning Catalytics suggèrent les questions LC à utiliser pour cette partie de la leçon, avec une balise correspondante pour rechercher cette question.
    • NOUVEAU! Un Cours de révision intégrée MyMathLab L'option fournit un cours complet d'arts libéraux avec une révision intégrée de certains sujets de développement au niveau du chapitre.
      • Les devoirs sur les sujets préalables sont pré-assignés dans ce cours – les étudiants commencent par un quiz de vérification des compétences sur les sujets préalables nécessaires pour ce chapitre.
      • Les étudiants qui prouvent la maîtrise peuvent passer au Enquête sur les mathématiques contenu, tandis que les étudiants qui ont besoin d'une révision supplémentaire peuvent corriger en utilisant des ressources telles que les vidéos de développement et les feuilles de travail de révision intégrée.
      • Cette solution de cours peut être utilisée dans un modèle de cours co-requis, ou simplement pour aider les étudiants sous-préparés à maîtriser les compétences et les concepts préalables.
      • NOUVEAU! Modules Compétences pour la réussite sont intégrés au cursus MyMathLab pour aider les étudiants à réussir leurs cursus collégiaux et à se préparer à leurs futurs métiers.
      • NOUVEAU! Flashcards sont disponibles dans un format moderne et prêt pour les appareils mobiles, afin que les étudiants puissent étudier et renforcer leur vocabulaire en déplacement.
      • NOUVEAU! Projets de groupe ont été déplacés du texte vers le cours MyMathLab et offrent aux étudiants la possibilité de collaborer.
      • Voir la pertinence du matériel motive les élèves à apprendre.
        • Les auteurs soulignent Pourquoi c'est important lors de la présentation de concepts mathématiques pour aider les élèves à faire le lien entre leur vie et les mathématiques qu'ils apprennent. Des notes « Pourquoi c'est important » apparaissent dans toutes les applications d'ouverture de chapitres et de sections, ainsi que dans les fonctionnalités « Mathématiques aujourd'hui ».
        • Mathématiques récréatives les encadrés montrent à quel point les mathématiques peuvent être divertissantes. De plus, des exercices de mathématiques récréatives sont disponibles dans les ensembles d'exercices afin qu'ils puissent être assignés comme devoirs.
        • Les mathématiques aujourd'hui les encadrés discutent des utilisations actuelles et réelles du concept mathématique dans le chapitre. Chaque case se termine par Pourquoi c'est important.
        • Ouvertures de chapitres et de sections intégrer des applications comme moyen de motiver les étudiants. Par exemple, l'ouverture du chapitre 3 (Logique) montre à quel point la logique est devenue importante dans les appareils électroniques tels que les téléphones portables et les appareils photo numériques.
          • NOUVEAU! De nombreux ouvreurs de chapitres et de sections contiennent des informations et des applications nouvelles, intéressantes et motivantes qui illustrent la nature réelle du matériel.
          • Résolution de problème commence au chapitre 1, où les élèves sont initiés aux techniques de résolution de problèmes et à la pensée critique. Les exercices de résolution de problèmes aident à développer ces compétences tout au long du texte.
          • Aptitudes à la pensée critique sont développés tout au long du livre, y compris les sections sur le raisonnement inductif, l'estimation et l'analyse dimensionnelle. Les problèmes de défi apparaissent également dans les ensembles d'exercices pour tester la capacité d'un élève à penser de manière critique.
          • Conseils opportuns sont des boîtes faciles à identifier qui aident les étudiants à comprendre les concepts ou à relier le matériel à d'autres sections du livre.
          • Résumés de chapitres, organisés sous forme de graphique, offrent une expérience intuitive d'étude et d'examen. Pour chaque concept, définition ou idée présenté, les élèves sont dirigés vers l'endroit exact dans le texte où l'élément est discuté.
          • Procédures sont encadrés et séparés du texte pour une identification facile et une référence future.
          • Ensembles d'exercices commencez par des exercices d'échauffement à remplir. Les exercices comprennent également la mise en pratique des compétences, la résolution de problèmes, les problèmes/activités de groupe, les mathématiques récréatives et les activités de recherche.
            • NOUVEAU! Améliorations basées sur les données: les auteurs ont analysé les données d'utilisation et de performance du cours MyMathLab de l'édition précédente pour améliorer la qualité et la quantité des exercices qui comptent le plus pour les instructeurs et les étudiants.

            Nouveau dans cette édition

            Personnalisez l'apprentissage avec MyMathLab

            MyMathLab est un programme de devoirs, de didacticiels et d'évaluation en ligne conçu pour travailler avec ce texte afin d'impliquer les étudiants et d'améliorer les résultats. Dans son environnement structuré, les étudiants mettent en pratique ce qu'ils apprennent, testent leur compréhension et utilisent des ressources médiatiques pour les aider à absorber le matériel de cours et à comprendre les concepts difficiles. NOUVEAU! Le cours MyMathLab de cette édition fournit des outils supplémentaires pour aider à la compréhension et à la préparation.


            1.1 Définitions des statistiques, probabilités et termes clés

            La science des statistiques traite de la collecte, de l'analyse, de l'interprétation et de la présentation des données. Nous voyons et utilisons des données dans notre vie quotidienne.

            Exercice collaboratif

            Dans votre classe, essayez cet exercice. Demandez aux élèves d'écrire le temps moyen (en heures, à la demi-heure près) pendant lequel ils dorment par nuit. Votre instructeur enregistrera les données. Créez ensuite un graphique simple (appelé tracé de points) des données. Un tracé de points se compose d'une droite numérique et de points (ou points) placés au-dessus de la droite numérique. Par exemple, considérons les données suivantes :

            5 5.5 6 6 6 6.5 6.5 6.5 6.5 7 7 8 8 9

            Le dot plot pour ces données serait le suivant :

            Votre dot plot ressemble-t-il ou est-il différent de l'exemple ? Pourquoi? Si vous faisiez le même exemple dans une classe d'anglais avec le même nombre d'élèves, pensez-vous que les résultats seraient les mêmes ? Pourquoi ou pourquoi pas?

            Où vos données semblent-elles se regrouper ? Comment pourriez-vous interpréter le clustering ?

            Les questions ci-dessus vous demandent d'analyser et d'interpréter vos données. Avec cet exemple, vous avez commencé votre étude des statistiques.

            Dans ce cours, vous apprendrez à organiser et à résumer des données. L'organisation et la synthèse des données s'appellent des statistiques descriptives. Il existe deux manières de résumer les données en graphique et en utilisant des nombres (par exemple, trouver une moyenne). Après avoir étudié les probabilités et les distributions de probabilité, vous utiliserez des méthodes formelles pour tirer des conclusions à partir de « bonnes » données. Les méthodes formelles sont appelées statistiques inférentielles. L'inférence statistique utilise la probabilité pour déterminer dans quelle mesure nous pouvons être sûrs que nos conclusions sont correctes.

            Une interprétation efficace des données (inférence) repose sur de bonnes procédures de production de données et un examen réfléchi des données. Vous rencontrerez ce qui semblera être trop de formules mathématiques pour interpréter les données. Le but des statistiques n'est pas d'effectuer de nombreux calculs à l'aide des formules, mais d'acquérir une compréhension de vos données. Les calculs peuvent être effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur. La compréhension doit venir de vous. Si vous pouvez bien comprendre les bases des statistiques, vous pouvez être plus confiant dans les décisions que vous prenez dans la vie.

            Probabilité

            La probabilité est un outil mathématique utilisé pour étudier le hasard. Il traite de la probabilité (la probabilité) qu'un événement se produise. Par exemple, si vous lancez un équitable pièce quatre fois, les résultats peuvent ne pas être deux faces et deux faces. Cependant, si vous lancez la même pièce 4 000 fois, le résultat sera proche de la moitié face et la moitié face. La probabilité théorique attendue de face dans n'importe quel lancer est de 1 2 1 2 ou 0,5. Même si les résultats de quelques répétitions sont incertains, il existe un modèle régulier de résultats lorsqu'il y a de nombreuses répétitions. Après avoir lu sur le statisticien anglais Karl Pearson qui a lancé une pièce 24 000 fois avec un résultat de 12 012 têtes, l'un des auteurs a lancé une pièce 2 000 fois. Les résultats étaient de 996 têtes. La fraction 996 2000 996 2000 est égale à 0,498 ce qui est très proche de 0,5, la probabilité attendue.

            La théorie des probabilités a commencé avec l'étude des jeux de hasard comme le poker. Les prédictions prennent la forme de probabilités. Pour prédire la probabilité d'un tremblement de terre, de pluie, ou si vous obtiendrez un A dans ce cours, nous utilisons des probabilités. Les médecins utilisent la probabilité pour déterminer la probabilité qu'une vaccination provoque la maladie que la vaccination est censée prévenir. Un courtier en valeurs mobilières utilise la probabilité pour déterminer le taux de rendement des investissements d'un client. Vous pouvez utiliser la probabilité pour décider d'acheter ou non un billet de loterie. Dans votre étude des statistiques, vous utiliserez la puissance des mathématiques grâce à des calculs de probabilité pour analyser et interpréter vos données.

            Mots clés

            En statistique, on veut généralement étudier une population. Vous pouvez considérer une population comme un ensemble de personnes, de choses ou d'objets à l'étude. Pour étudier la population, nous sélectionnons un échantillon . L'idée de l'échantillonnage est de sélectionner une partie (ou un sous-ensemble) de la population plus large et d'étudier cette partie (l'échantillon) pour obtenir des informations sur la population. Les données sont le résultat d'un échantillonnage à partir d'une population.

            Parce qu'il faut beaucoup de temps et d'argent pour examiner une population entière, l'échantillonnage est une technique très pratique. Si vous souhaitez calculer la moyenne pondérée cumulative globale de votre école, il serait logique de sélectionner un échantillon d'élèves qui fréquentent l'école. Les données recueillies à partir de l'échantillon seraient les moyennes cumulatives des élèves. Lors des élections présidentielles, des échantillons de sondage d'opinion de 1 000 à 2 000 personnes sont prélevés. Le sondage d'opinion est censé représenter les opinions de la population dans tout le pays. Les fabricants de boissons gazeuses en conserve prélèvent des échantillons pour déterminer si une canette de 16 onces contient 16 onces de boisson gazeuse.

            À partir des données de l'échantillon, nous pouvons calculer une statistique. Une statistique est un nombre qui représente une propriété de l'échantillon. Par exemple, si nous considérons qu'une classe de mathématiques est un échantillon de la population de toutes les classes de mathématiques, alors le nombre moyen de points gagnés par les élèves de cette classe de mathématiques à la fin du trimestre est un exemple de statistique. La statistique est une estimation d'un paramètre de population. Un paramètre est une caractéristique numérique de l'ensemble de la population qui peut être estimée par une statistique. Puisque nous avons considéré toutes les classes de mathématiques comme étant la population, le nombre moyen de points gagnés par élève sur toutes les classes de mathématiques est un exemple de paramètre.

            L'une des principales préoccupations dans le domaine des statistiques est la précision avec laquelle une statistique estime un paramètre. La précision dépend vraiment de la façon dont l'échantillon représente la population. L'échantillon doit contenir les caractéristiques de la population afin d'être un échantillon représentatif. Nous nous intéressons à la fois à la statistique d'échantillon et au paramètre de population dans les statistiques inférentielles. Dans un chapitre ultérieur, nous utiliserons la statistique de l'échantillon pour tester la validité du paramètre de population établi.

            Une variable , généralement notée par des lettres majuscules telles que X et Oui, est une caractéristique ou une mesure qui peut être déterminée pour chaque membre d'une population. Les variables peuvent être numérique ou alors catégorique. Les variables numériques prennent des valeurs avec des unités égales telles que le poids en livres et le temps en heures. Les variables catégorielles placent la personne ou la chose dans une catégorie. Si nous laissons X égal au nombre de points gagnés par un étudiant en mathématiques à la fin d'un trimestre, puis X est une variable numérique. Si nous laissons Oui être l'affiliation d'une personne à un parti, alors quelques exemples de Oui comprennent républicain, démocrate et indépendant. Oui est une variable catégorielle. On pourrait faire des calculs avec les valeurs de X (calculer le nombre moyen de points gagnés, par exemple), mais cela n'a aucun sens de faire des maths avec des valeurs de Oui (calculer une affiliation moyenne à un parti n'a aucun sens).

            Les données sont les valeurs réelles de la variable. Il peut s'agir de chiffres ou de mots. Données est une valeur unique.

            Deux mots qui reviennent souvent dans les statistiques sont moyenne et proportion. Si vous deviez passer trois examens dans vos cours de mathématiques et obtenir des scores de 86, 75 et 92, vous calculeriez votre score moyen en ajoutant les trois scores d'examen et en divisant par trois (votre score moyen serait de 84,3 à une décimale) . Si, dans votre classe de mathématiques, il y a 40 étudiants et 22 sont des hommes et 18 sont des femmes, alors la proportion d'étudiants hommes est de 22 40 22 40 et la proportion d'étudiantes est de 18 40 18 40 . La moyenne et la proportion sont discutées plus en détail dans les chapitres suivants.

            Les mots « moyen » et « moyen » sont souvent utilisés de manière interchangeable. La substitution d'un mot à l'autre est une pratique courante. Le terme technique est "moyenne arithmétique" et "moyenne" est techniquement un emplacement central. Cependant, dans la pratique parmi les non-statisticiens, "moyenne" est communément acceptée pour "moyenne arithmétique".

            Exemple 1.1

            Déterminez à quoi se réfèrent les termes clés dans l'étude suivante. Nous voulons connaître le montant moyen (moyen) dépensé par les étudiants de première année au Collège ABC pour les fournitures scolaires qui ne comprennent pas les livres. Nous avons interrogé au hasard 100 étudiants de première année au collège. Trois de ces étudiants ont dépensé respectivement 150 $, 200 $ et 225 $.

            Solution 1

            le population sont tous les étudiants de première année qui fréquentent le Collège ABC ce trimestre.

            le goûter pourrait être tous les étudiants inscrits à une section d'un cours de statistique débutant au Collège ABC (bien que cet échantillon puisse ne pas représenter l'ensemble de la population).

            le paramètre est le montant moyen (moyen) dépensé (hors livres) par les étudiants de première année à l'ABC College ce trimestre.

            le statistique est le montant moyen (moyen) dépensé (hors livres) par les étudiants de première année de l'échantillon.

            le variable pourrait être la somme d'argent dépensée (hors livres) par un étudiant de première année. Laisser X = le montant d'argent dépensé (hors livres) par un étudiant de première année fréquentant le Collège ABC.

            le Les données sont les montants en dollars dépensés par les étudiants de première année. Des exemples de données sont 150 $, 200 $ et 225 $.

            Déterminez à quoi se réfèrent les termes clés dans l'étude suivante. Nous voulons connaître le montant moyen (moyen) dépensé chaque année pour les uniformes scolaires par les familles avec enfants à la Knoll Academy. Nous enquêtons au hasard sur 100 familles avec enfants à l'école. Trois des familles ont dépensé respectivement 65 $, 75 $ et 95 $.

            Exemple 1.2

            Déterminez à quoi se réfèrent les termes clés dans l'étude suivante.

            Une étude a été menée dans un collège local pour analyser la moyenne cumulative moyenne des étudiants ayant obtenu leur diplôme l'année dernière. Remplissez la lettre de la phrase qui décrit le mieux chacun des éléments ci-dessous.

            1. Population_____ 2. Statistique _____ 3. Paramètre _____ 4. Échantillon _____ 5. Variable _____ 6. Données _____

            1. tous les étudiants qui ont fréquenté le collège l'année dernière
            2. le GPA cumulatif d'un étudiant qui a obtenu son diplôme du collège l'année dernière
            3. 3.65, 2.80, 1.50, 3.90
            4. un groupe d'étudiants diplômés du collège l'année dernière, sélectionnés au hasard
            5. la moyenne cumulative moyenne des étudiants qui ont obtenu leur diplôme du collège l'année dernière
            6. tous les étudiants qui ont obtenu leur diplôme du collège l'année dernière
            7. la moyenne cumulative moyenne des étudiants de l'étude qui ont obtenu leur diplôme du collège l'année dernière

            Solution 1

            1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c

            Exemple 1.3

            Déterminez à quoi se réfèrent les termes clés dans l'étude suivante.

            As part of a study designed to test the safety of automobiles, the National Transportation Safety Board collected and reviewed data about the effects of an automobile crash on test dummies. Here is the criterion they used:

            Cars with dummies in the front seats were crashed into a wall at a speed of 35 miles per hour. We want to know the proportion of dummies in the driver’s seat that would have had head injuries, if they had been actual drivers. We start with a simple random sample of 75 cars.

            Solution 1

            le population is all cars containing dummies in the front seat.

            le sample is the 75 cars, selected by a simple random sample.

            le parameter is the proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the population.

            le statistic is proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the sample.

            le variable X = whether a dummy (if it had been a real person) who would have suffered head injuries.

            le data are either: yes, had head injury, or no, did not.

            Example 1.4

            Determine what the key terms refer to in the following study.

            An insurance company would like to determine the proportion of all medical doctors who have been involved in one or more malpractice lawsuits. The company selects 500 doctors at random from a professional directory and determines the number in the sample who have been involved in a malpractice lawsuit.

            Solution 1

            le population is all medical doctors listed in the professional directory.

            le parameter is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the population.

            le sample is the 500 doctors selected at random from the professional directory.

            le statistic is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the sample.

            le variable X = whether an individual doctor has been involved in a malpractice suit.

            le data are either: yes, was involved in one or more malpractice lawsuits, or no, was not.

            Collaborative Exercise

            Do the following exercise collaboratively with up to four people per group. Find a population, a sample, the parameter, the statistic, a variable, and data for the following study: You want to determine the average (mean) number of glasses of milk college students drink per day. Suppose yesterday, in your English class, you asked five students how many glasses of milk they drank the day before. The answers were 1, 0, 1, 3, and 4 glasses of milk.


            Exercises for Section 12.4 - Mathematics

            Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper(S3) is available.

            Revision on A1 Questions is available.

            Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper (S1 and S2) are available.

            Bridging Guideline is available.

            Supplementary Exercises for Book 3B are available.

            Supplementary Exercises for Book 3A are available.

            Question Bank Update for Book 2B are available.

            PPT for Textbook Examples for Book 1B and 2B are available.

            Question Bank Update for Book 2A are available.

            PPT for Textbook Examples for Book 2A are available.

            Amendment for Book 3A and 3B are available.
            Supplementary Exercises(Teacher&rsquos Edition) for Book 1A are available.
            PPT for Textbook Examples for Book 1A are available.

            Supplementary Exercises for Book 2B are available.

            Supplementary Exercisesfor Book 2A ch 4 - 7 are available.

            Additional Basic Topical Worksheet (S2) is uploaded.

            Question Bank Update for Book 1B Chapter 11 - 14 are available.

            Question Bank Update for Book 1B Chapter 8 - 10 are available.

            Supplementary Exercises for Book 2A ch 1 - 3 are available.

            Question Bank Update for Book 1A is available.

            The following materials are available:

            • Textbook Information (3B)
            • E-tutor (3B)
            • Textbook Supplement (3B)
            • Term Exam Paper Kits (3B)
            • Resources for TSA (3B)
            • EDB Resources (3B)
            • Useful Websites (3B)
            • Basic Topical Worksheet (S3)

            The following materials for Book 3A are available:

            • Textbook Information
            • E-tutor
            • Textbook Supplement
            • Term Exam Paper Kits
            • Resources for TSA
            • EDB Resources
            • Useful Websites

            Tout Supplementary Exercises for Book 1A and 1B are available.

            Extra Project for Book 2B is uploaded.

            Tout Teaching Schedule for Book 3A and 3B are available.

            Tout Full Solution for Book 3A and 3B are available.

            Study Guide of 1A Chapter 4 and 6 are uploaded.

            Tout Supplementary Exercises for Book 1B are available.

            Supplementary Exercises of 1B Chapter 12 is uploaded.

            All resources for Book 2B are available.

            Supplementary Exercises of 1B chapter 8, 9 10 & 11 are uploaded.

            Supplementary Exercises of 1A chapter 3, 1B chapter 8 and 1B chapter 11 are uploaded.


            Exercises for Section 12.4 - Mathematics

            Fourier Analysis: Mathematics GU4032 (Spring 2020)


            Peter Woit ([email protected])

            Monday and Wednesday 11:40-12:55
            Mathematics 520

            This course will cover the theory and applications of Fourier series and the Fourier transform.
            Topics to be covered will include the following:

            Fourier series: basic theory
            Fourier series: convergence questions
            Fourier series: applications
            The Fourier transform: basic theory
            The Fourier transform: distributions
            The Fourier transform: applications
            Applications to partial differential equations of physics
            Representation theory of Abelian groups
            Applications to number theory

            Devoirs

            There will be assignments roughly each week, due in class on Wednesday, mostly taken from the textbook.

            Assignment 1 (due Wednesday, Jan. 29):
            Chapter 1, Exercises 4 (parts b-i), 5
            Chapter 2, Exercises 2, 4, 6

            Assignment 2 (due Monday, Feb. 10)
            Chapter 2, Exercises 10,13,15,17, Problem 2a
            Chapter 3, Exercise 20

            Assignment 3 (due Monday, Feb. 17)
            Chapter 2, Exercises 18,19,20
            Chapter 3, Exercises 8,9,12

            Assignment 4 (due Monday, Feb. 24)
            Chapter 3, Problems 4,5
            Chapter 4, Exercises 11,12,13

            Assignment 5 (due Monday, March 2)
            Chapter 5, Exercises 2,6,12, Problems 1,7

            Assignment 6 (due Monday, March 30)
            Chapter 5, Exercises 15,17,18,19,23, Problem 3a

            Assignment 7 (due Monday, April 6)
            Strichartz, Chapter 1 Problem 11
            Strichartz, Chapter 2 Problem 13
            Osgood, Problems 4.3, 4.4,4.7,4.8

            Assignment 8 (due Monday, April 13)
            Osgood, Problems 4.5,4.12,4.13,4.18
            Strichartz, Chapter 4, problems 1,6

            Assignment 9 (due Monday, April 20)
            Chapter 6, Exercises 1,4,5,6

            Assignment 10 (due Monday, April 27):
            Chapter 6, Exercises 7,8,10,11
            Chapter 6, Problem 7

            Assignment 11 (due Monday, May 4):
            Chapter 7, Exercises 1,3,4,5,6,7,13

            For each class, see here for what will be covered, and for which sections of the textbook you should be reading.

            Wednesday, January 22:
            Overview of the course. Definition of Fourier series, examples.
            Reading: Chapter 1 (for motivation, the topics of this chapter will be treated in detail later in the course). Section 1 of Chapter 2

            Monday, January 27:
            Uniqueness of Fourier series. Convolution.
            Reading: Chapter 2, sections 2 and 3

            Wednesday, January 29:
            Pointwise convergence of Fourier series, Dirichlet kernel. Gibbs phenomenon.
            Reading: Sections 3.2.1, 2.4

            Monday, February 3:
            Cesaro summability, Fejer kernel. Abel summability, Poisson kernel,
            Reading: Sections 2.5

            Wednesday, February 5:
            Mean convergence of Fourier series, Parseval's equality.
            Reading: Chapter 3, section 1

            Monday, February 10:
            Harmonic functions, Dirichlet problem
            Reading: Sections 1.2.2, 2.5.4

            Wednesday, February 12:
            Heat equation and Schr dinger equation on a circle
            Reading: Section 4.4

            Monday, February 17
            Introduction to the Fourier transform
            Reading: Introduction to Chapter 5, Sections 5.1.1-5.1.3

            Wednesday, February 19
            Properties of the Fourier transform, Fourier inversion
            Reading: Sections 5.1.4-5.1.5

            Monday, February 24
            Plancherel theorem, Heat equation, Schr dinger equation
            Reading: Section 5.1.6, 5.2.1

            Wednesday, February 26
            Harmonic functions in the upper half plane, Heisenberg uncertainty, Review
            Reading: Sections 5.2.2, 5.4

            Monday, March 2
            Midterm exam

            Wednesday, March 4
            Poisson summation formula
            Reading: Section 5.3

            Monday, March 9
            Class canceled by university.

            For material covered in the classes from this point on, lecture notes are at
            Fourier Analysis Notes, Spring 2020

            Wednesday, March 11
            Theta and zeta functions
            Reading: Section 5.3

            Monday, March 23 and Wednesday, March 25
            Classes canceled by university.

            Monday, March 30
            Distributions: definitions and examples
            Reading: Strichartz, Chapter 1 and Osgood, Chapter 4.4

            Wednesday, April 1
            Distributions: differentiation
            Reading: Strichartz, Chapter 2 and Osgood, Chapter 4.6

            Monday, April 6
            Distributions: Fourier transforms
            Reading: Strichartz, Chapter 4 and Osgood, Chapter 4.5

            Wednesday, April 8
            Distributions: Convolution and solutions of differential equations
            Reading: Strichartz, Chapter 5 and Osgood, Chapter 4.7

            Monday, April 13
            Fourier transforms in higher dimensions
            Reading: Sections 6.1,6.2,6.4

            Wednesday, April 15
            More Fourier transforms in higher dimensions, applications to PDEs.
            Reading: Sections 6.1,6.2,6.4

            Monday, April 20
            Heat equation in higher dimension, wave equation in d=1
            Reading: Section 6.3

            Wednesday, April 22
            Wave equation in higher dimensions
            Reading: Section 6.3

            Monday, April 27
            Fourier analysis on Z(N)
            Reading: Section 7.1

            Wednesday, April 29
            Fourier analysis for commutative groups
            Reading: Section 7.2

            Monday, May 4
            Some number theory, Dirichlet's theorem
            Reading: Chapter 8

            Monday, May 11
            Take home exam due

            Exams

            There will be a midterm exam, and a take home final exam.

            Your final grade for the course will be a pass fail grade roughly determined 25% by assignments, 50% by the midterm, 25% by the take home final.

            Cahier de texte

            Elias Stein and Rami Shakarchi
            Fourier Analysis: An Introduction
            Princeton University Press, 2003

            For errata in this book, see here and here.

            For material covered in the classes after class moved to online only, lecture notes are at
            Fourier Analysis Notes, Spring 2020

            For distributions, you should look at

            Osgood, Lectures on the Fourier Transform and its Applications

            which is available through the Columbia library system, should be here

            I should always be available after class (after a lunch break) in my office (Math 421), so 2-3pm. Feel free to come by Math 421 at any time and I will likely have some time to talk, or make an appointment by emailing me.

            The TA for the course is Maithreya Sitaraman ([email protected])


            Other Books and Online Resources

            Besides the course textbook, some other textbooks at a similar level that you might find useful are

            Howell, Principles of Fourier Analysis
            Osgood, Lectures on the Fourier Transform and its Applications
            Kammler, A First Course in Fourier Analysis
            Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms
            Walker, The Theory of Fourier Series and Integrals
            Tolstov, Fourier Series
            Folland, Fourier Analysis and its Applications
            K rner, Fourier Analysis
            Brown and Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems
            Dym and McKean, Fourier Series and Integrals
            Vretblad, Fourier Analysis and its Applications
            Dyke, An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series
            Duistermaat and Kolk, Distributions


            Exercises 3.8

            Ex 3.8.1 Construct the correspondence between

            a) $U_<21>$ and $U_<3> imes U_<7>$b) $U_<30>$ and $U_<5> imes U_<6>$

            Ex 3.8.2 Given the following values of $a$, $b$ and the element $([y],[z])$ of $U_a imes U_b$, use the Euclidean Algorithm to find the corresponding element of $U_n$.

            a) $a=7$, $b= 11$, $([4], [9])$b) $a= 12$, $b= 17$, $([11],[2])$

            Ex 3.8.3 Compute the following:

            c) $phi ( 2^3cdot 5^2cdot 7^5cdot 11^3)$

            Ex 3.8.4 Suppose in the correspondence between $U_<175>$ and $U_<25> imes U_7$ that $[x]$ corresponds to $([13], [2])$. What does $[x]^2$ correspond to? What does $[x]^<-1>$ correspond to?

            Ex 3.8.5 The divisors of $6$ are $1$, $2$, $3$, $6$. Observe that $ phi (1)+phi (2)+phi (3)+phi (6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6. $ Perform a similar computation with $6$ replaced by $10$.

            Ex 3.8.6 Find all $a$ such that $phi (a)=6$.

            Ex 3.8.7 If $a|b$, prove $phi (a)|phi (b)$.

            Ex 3.8.8 What primes can be expressed in the form $phi (n)$ for some $n$?

            Ex 3.8.9 Prove that $displaystylephi(n)=nprod_ig(1-<1over p>ig)$ the product is over all primes $p$ that divide $n$.

            Ex 3.8.10 Prove Theorem 3.8.11.

            Ex 3.8.11 Find all $n$ such that $phi(n)$ is odd, and prove that you have found all such $n$.

            Ex 3.8.12 In the proof of theorem 3.8.7, we claimed that if $n=ab$ then $(x,n)=1$ if and only if $(x,a)=1$ and $(x,b)=1$. Prove this.


            List of Surface Area Worksheets

            Finding the surface area of 3D figures using nets worksheets assist students in visualizing the surface of solid shapes whose nets are sketched on grids. Add on to their practice in determining the SA of the nets of 3D shapes like cylinders, cones, and pyramids, and in drawing the nets of solid figures too.

            Start off with counting unit squares on an isometric paper, follow up by drawing the correct number of squares, and then find the SA of rectangular prisms by counting the squares scaled to varied units. These interesting exercises make the surface area by counting squares pdfs a compulsive print for your grade 5 and grade 6 students.

            Page through these surface area of a cube exercises to practice computing the total area occupied by the cubes with edge length offered as integers, decimals and fractions. Included here are pdfs to find the missing edge length using the SA and more.

            Surface area of rectangular prisms handouts are a sure-fire hit in every grade 6, grade 7, and grade 8 geometry curriculum. Find the SA using the height, width, and length, and extend your practice to finding the missing dimensions as well.

            Lay a strong foundation in decomposing shapes with these printable surface area of L-shaped rectangular prism worksheets. Solve for surface area of independent 3D shapes, add them, and subtract the area of the face that connects the rectangular blocks.

            Expedite practice calculating the surface area of triangular prisms with these worksheet pdfs, rendering the attributes of the triangular bases and rectangular side faces of the figure, in integers and decimals.

            The surface area of a cylinder pdfs feature solid shapes, each made up of a curved surface with two circular bases. Recall the formula for SA of a cylinder, plug in the integer, decimal, or fractional radius measures in the formula 2πrh + 2πr 2 and compute.

            A mix of rectangular prisms, triangular prisms, and cylinders is what these printable worksheets have in store for your middle and high school learners. Consider memorizing the SA formulas, apply the one relevant to the solid shape, substitute the dimensions and solve.

            Give your 6th grade, 7th grade, and 8th grade students an edge over their peers with these surface area of cones exercises. Supplying the values of the dimensions in the formula and calculating the surface area of cones is all that is expected of learners.

            Build fluency and competence with this collection of surface area of spheres and hemispheres worksheets. Get students to find the TSA of the hemispheres and CSA of the spheres by substituting the dimensions in relevant formulas.

            Handle these printable surface area of pyramid practice sheets with great dexterity. Learn the know-how of finding the surface area of pyramids applying relevant formulas and substituting the dimensions accordingly.

            How well do your 8th grade and high school students remember the SA formulas of solid shapes like cubes, cones, cylinders, spheres, hemispheres, prisms and pyramids? Check for yourself with these surface area of solid shapes revision pdfs.

            Tee up to decompose each combined shape, find the sum of the SA of individual 3D shapes, subtract the area of the common parts, and determine the SA like a pro with this set of printable surface area of composite shapes worksheets.


            Two Common Errors

            If you ask Python about a variable that has not been defined, you get an error. As you can see, we get an error message saying NameError: name 'trouble' is not defined . Sometimes you can get errors like this from simple typos: if you define a variable address=32 , then try to print(adress) , the same type of error occurs. Another error has to do with accidentally swapping the sides of an = statement. The first line is fine but the second line causes an error: Python thinks the second line 4 = x is trying to change the value of 4 , but you are only allowed to change the values of variables, and 4 is not a variable. While A = B and B = A are the same in mathematics, they are different in programming.


            A First Look at Rigorous Probability Theory

            This graduate-level probability textbook was originally published by World Scientific Publishing Co. in 2000 (subsequent printings 2003, 2005, 2006), with a second edition published in 2006 (subsequent printings 2007, 2009, 2010, 2011, 2013). It may be ordered for U.S. $33 (cheap!) directly from the publisher, or from e.g. amazon.ca or amazon.com or amazon.co.uk or indigo.ca or Kindle. (Apparently it is something of a bestseller.)

            Below are some reviews and the preface and second-edition preface and table of contents. See also the errata in PDF / postscript (or the first edition errata in PDF / postscript).

            SOME REVIEWS

            FROM Publisher's Blurb:

            FROM Math Reviews:

            This book is an introduction to probability theory using measure theory. It provides mathematically complete proofs of all the essential introductory results of probability and measure theory.

            The book is divided into fifteen sections and two appendices. The first six sections contain the essential core of measure-theoretic probability theory: sigma-algebras construction of probability measures random variables expected values inequalities and laws of large numbers and distributions of random variables. The following two sections introduce dynamic aspects of probability models: stochastic processes are introduced using gambling games as the motivating example and discrete Markov chains are discussed in some detail. The following section complements the results with measure-theoretic flavor by discussing and proving results such as the dominated convergence theorem and Fubini's theorem. Sections 10 to 14 contain a collection of further topics including weak convergence, characteristic functions (together with a proof of the central limit theorem), decomposition of probability laws, conditional probability and expectation and martingales. The final section then provides an appetizer for further topics in the subject of stochastic processes and applications. It contains material on Markov chains on general state spaces, diffusions and stochastic integrals, and the Black-Scholes formula. The appendices provide mathematical background and a guide to further reading.

            The book is certainly well placed to establish itself as a core reading in measure-theoretic probability. However, a more complete and advanced book, such as [P. Billingsley, Probability and measure, Third edition, Wiley, New York, 1995 MR 95k:60001], might be needed as a complementary source for graduate students in mathematics and statistics. Furthermore, although the text contains a variety of excellent exercises, students from economics, computer science, engineering, etc., might find the addition of more applied examples and exercises beneficial.

            I found this little book delightful reading and a worthwhile addition to the existing literature.

            Reviewed by Rüdiger Kiesel

            FROM Math Reviews (re Second Edition):

            The reader will get basic ideas on most fundamental topics in probability theory in a detailed (as far as the proofs are concerned), mathematically rigorous and very readable way. [. ] The author presents a very good selection on a mere 219 pages. [. ]

            Chapter 15 presents a nice heuristic introduction to Markov chains with general state space, continuous time Markov processes, Brownian motion, diffusions, and stochastic integrals.

            Reviewed by Dalibor Volny

            FROM amazon.com customer reviews:

            This is a marvelous primer on measure-theoretic probability. I came across it a couple of years after taking a course based on Chung's famous text ("A Course in Prob. Theory") and found it to be an excellent book for review and remediation--that is, it helped me get a better overview of the material I had already learned and it helped me learn topics such as, say, uniform integrability, that didn't sink in too well the first time around.

            According to the preface, the author prepared most of the book as supplemental class notes for the benefit of his students in a course whose main text was, if I recall correctly, Billingsley's excellent "Probability and Measure". The students were so enthusiastic about the usefulness of Professor Rosenthal's supplemental info that they insisted he publish it, despite his objection that the book wasn't original enough to warrant entry into an already crowded field. Well, the students made the right call: Rosenthal's clear and concise text will, I think, help almost any student learn measure-theoretic probability more efficiently. I'd also recommend it to folks who need a concise review of measure-theoretic probability.


            (5 stars) Best Probability book ever!
            July 10, 2006
            Reviewer: Thomas R. Fielden (Portland, OR USA)

            As a graduate student in mathematics I appreciate the rigorous and no nonsense treatment of the subject. I'm am using this text to study for my Ph.D. qualifying exam in statistics. It's explaining statistics in a language I understand.


            (5 stars) A gem.
            July 17, 2007
            Reviewer: M. Henri De Feraudy (France)

            This is my bedside book at the present time. It's compact, written with immense respect for the reader and even covers some financial applications.

            It's recalling the measure theory I learned as an undergraduate with the right style.

            So much better than some of the "Probabilty from dummies" I have put away.

            When I finish the book I hope to move on to some of the heavier books with a clear idea of where I am going.


            (5 stars) A delightful read and a great introduction.
            June 12, 2009
            Reviewer: A customer

            I took this book from the library during a course in measure-theoretic probability, and how lucky I was to come across it!

            A very well structured book, the choice of material (for an introduction) is excellent. As the title suggests, the book is rather rigorous (most results are with proofs, which helps understand the theory better), and at the same time the author does a good job at motivating the introduction of the mathematical concepts required to understand (rigorous) probability.

            The best part is that, for any mathematician, this book will also be a lot of fun to read!

            I would like to sincerely congratulate the author for making something this really good.

            FROM Willmott Forums:

            FROM amazon.com Graduate Probability Books Listmania:

            PREFACE TO THE FIRST EDITION

            This text is intended to answer that need. It provides an introduction to rigorous (i.e., mathematically precise) probability theory using measure theory. At the same time, I have tried to make it brief and to the point, and as accessible as possible. In particular, probabilistic language and perspective are used throughout, with necessary measure theory introduced only as needed.

            I have tried to strike an appropriate balance between rigorously covering the subject, and avoiding unnecessary detail. The text provides mathematically complete proofs of all of the essential introductory results of probability theory and measure theory. However, more advanced and specialised areas are ignored entirely or only briefly hinted at. For example, the text includes a complete proof of the classical Central Limit Theorem, including the necessary Continuity Theorem for characteristic functions. However, the Lindeberg Central Limit Theorem and Martingale Central Limit Theorem are only briefly sketched and are not proved. Similarly, all necessary facts from measure theory are proved before they are used. However, more abstract and advanced measure theory results are not included. Furthermore, the measure theory is almost always discussed purely in terms of probability, as opposed to being treated as a separate subject which must be mastered before probability theory can be studied.

            I hesitated to bring these notes to publication. There are many other books available which treat probability theory with measure theory, and some of them are excellent. For a partial list see Subsection B.3 on page 169. (Indeed, the book by Billingsley was the textbook from which I taught before I started writing these notes. While much has changed since then, the knowledgeable reader will still notice Billingsley's influence in the treatment of many topics herein. The Billingsley book remains one of the best sources for a complete, advanced, and technically precise treatment of probability theory with measure theory.) In terms of content, therefore, the current text adds very little indeed to what has already been written. It was only the reaction of certain students, who found the subject easier to learn from my notes than from longer, more advanced, and more all-inclusive books, that convinced me to go ahead and publish. The reader is urged to consult other books for further study and additional detail.

            There are also many books available (see Subsection B.2) which treat probability theory at the undergraduate, less rigorous level, without the use of general measure theory. Such texts provide intuitive notions of probabilities, random variables, etc., but without mathematical precision. In this text it will generally be assumed, for purposes of intuition, that the student has at least a passing familiarity with probability theory at this level. Indeed, Section 1 of the text attempts to link such intuition with the mathematical precision to come. However, mathematically speaking we will not require many results from undergraduate-level probability theory.

            Structure. The first six sections of this book could be considered to form a "core" of essential material. After learning them, the student will have a precise mathematical understanding of probabilities and sigma-algebras random variables, distributions, and expected values and inequalities and laws of large numbers. Sections 7 and 8 then diverge into the theory of gambling games and Markov chain theory. Section 9 provides a bridge to the more advanced topics of Sections 10 through 14, including weak convergence, characteristic functions, the Central Limit Theorem, Lebesgue Decomposition, conditioning, and martingales.

            The final section, Section 15, provides a wide-ranging and somewhat less rigorous introduction to the subject of general stochastic processes. It leads up to diffusions, Ito's Lemma, and finally a brief look at the famous Black-Sholes equation from mathematical finance. It is hoped that this final section will inspire readers to learn more about various aspects of stochastic processes.

            Appendix A contains basic facts from elementary mathematics. This appendix can be used for review and to gauge the book's level. In addition, the text makes frequent reference to Appendix A, especially in the earlier sections, to ease the transition to the required mathematical level for the subject. It is hoped that readers can use familiar topics from Appendix A as a springboard to less familiar topics in the text.

            Finally, Appendix B lists a variety of references, for background and for further reading.

            Exercises. The text contains a number of exercises. Those very closely related to textual material are inserted at the appropriate place. Additional exercises are found at the end of each section, in a separate subsection. I have tried to make the exercises thought provoking without being too difficult. Hints are provided where appropriate. Rather than always asking for computations or proofs, the exercises sometimes ask for explanations and/or examples, to hopefully clarify the subject matter in the student's mind.

            Conditions préalables. As a prerequisite to reading this text, the student should have a solid background in basic undergraduate-level real analysis (ne pas including measure theory). In particular, the mathematical background summarised in Appendix A should be very familiar. If it is not, then books such as those in Subsection B.1 should be studied first. It is also helpful, but not essential, to have seen some undergraduate-level probability theory at the level of the books in Subsection B.2.

            Further reading. For further reading beyond this text, the reader should examine the similar but more advanced books of Subsection B.3. To learn additional topics, the reader should consult the books on pure measure theory of Subsection B.4, and/or the advanced books on stochastic processes of Subsection B.5, and/or the books on mathematical finance of Subsection B.6. I would be content to learn only that this text has inspired students to look at more advanced treatments of the subject.

            Acknowledgements. I would like to thank several colleagues for encouraging me in this direction, in particular Mike Evans, Andrey Feuerverger, Keith Knight, Omiros Papaspiliopoulos, Jeremy Quastel, Nancy Reid, and Gareth Roberts. Most importantly, I would like to thank the many students who have studied these topics with me their questions, insights, and difficulties have been my main source of inspiration.

            Second Printing (2003). For the second printing, a number of minor errors have been corrected. Thanks to Tom Baird, Meng Du, Avery Fullerton, Longhai Li, Hadas Moshonov, Nataliya Portman, and Idan Regev for helping to find them.

            Third Printing (2005). A few more minor errors were corrected, with thanks to Samuel Hikspoors, Bin Li, Mahdi Lotfinezhad, Ben Reason, Jay Sheldon, and Zemei Yang.

            PREFACE TO THE SECOND EDITION

            • Many small additional topics have been added, and existing topics expanded. As a result, the second edition is over forty pages longer than the first.
            • Many new exercises have been added, and some of the existing exercises have been improved or "cleaned up". There are now about 275 exercises in total (as compared with 150 in the first edition), ranging in difficulty from quite easy to fairly challenging, many with hints provided.
            • Further details and explanations have been added in steps of proofs which previously caused confusion.
            • Several of the longer proofs are now broken up into a number of lemmas, to more easily keep track of the different steps involved, and to allow for the possibility of skipping the most technical bits while retaining the proof's overall structure.
            • A few proofs, which are required for mathematical completeness but which require advanced mathematics background and/or add little understanding, are now marked as "optional".
            • Various interesting, but technical and inessential, results are presented as remarks or footnotes, to add information and context without interrupting the text's flow.
            • The Extension Theorem now allows the original set function to be defined on a semialgebra rather than an algebra, thus simplifying its application and increasing understanding.
            • Many minor edits and rewrites were made throughout the book to improve the clarity, accuracy, and readability.

            Second Printing (2007). A few very minor corrections were made, with thanks to Joe Blitzstein and Emil Zeuthen.


            Voir la vidéo: Rakkaudesta luonnontieteisiin ja matematiikkaan - Tutkijat kertovat II (Décembre 2021).