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2.7 : Comprendre la pente d'une droite - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
  • Utiliser des géoplans pour modéliser la pente
  • Utilisez (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) pour trouver la pente d'une droite à partir de son graphique
  • Trouver la pente des lignes horizontales et verticales
  • Utilisez la formule de pente pour trouver la pente d'une ligne entre deux points
  • Tracer une droite à partir d'un point et de la pente
  • Résoudre les applications de pente

Noter

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Simplifiez : (frac{1 - 4}{8 - 2}).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 1.6.31
  2. Diviser : (frac{0}{4}, frac{4}{0}).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 1.10.16.
  3. Simplifiez : (frac{15}{-3}, frac{-15}{3}, frac{-15}{-3}).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 1.6.4.

Lorsque vous tracez des équations linéaires, vous remarquerez peut-être que certaines lignes s'inclinent de gauche à droite et que certaines lignes s'inclinent vers le bas. Qu'est-ce qui détermine si une ligne s'incline vers le haut ou vers le bas ou si elle est raide ou plate ?

En mathématiques, l'« inclinaison » d'une ligne s'appelle le pente de la ligne. Le concept de pente a de nombreuses applications dans le monde réel. La pente d'un toit, la pente d'une autoroute et une rampe pour fauteuil roulant sont quelques exemples où vous voyez littéralement des pentes. Et lorsque vous faites du vélo, vous sentez la pente lorsque vous montez ou descendez en côte.

Dans cette section, nous allons explorer le concept de pente.

Utiliser des géoplans pour modéliser la pente

UNE géoplan est une planche avec une grille de piquets dessus. L'utilisation d'élastiques sur un géoplan nous donne un moyen concret de modéliser des lignes sur une grille de coordonnées. En étirant un élastique entre deux piquets d'un géoplan, on peut découvrir comment trouver la pente d'une ligne.

Faire l'activité Mathématiques de manipulation « Explorer la pente » vous aidera à mieux comprendre la pente d'une ligne. (Du papier millimétré peut être utilisé à la place d'un géoplan, si nécessaire.)

Nous allons commencer par étirer un élastique entre deux chevilles, comme illustré à la figure (PageIndex{1}).

Cela ne ressemble-t-il pas à une ligne ?

Maintenant, nous étirons une partie de l'élastique vers le haut à partir de la cheville gauche et autour d'une troisième cheville pour former les côtés d'un triangle rectangle, comme le montre la figure (PageIndex{2})

Nous faisons soigneusement un angle de 90º autour du troisième piquet, de sorte que l'une des lignes nouvellement formées soit verticale et l'autre horizontale.

Pour trouver la pente de la ligne, nous mesurons la distance le long des côtés vertical et horizontal du triangle. La distance verticale est appelée la augmenter et la distance horizontale est appelée la Cours, comme le montre la figure (PageIndex{3}).

Si notre géoplan et l'élastique ressemble à celui illustré à la figure (PageIndex{4}), la hausse est de 2. L'élastique monte de 2 unités. (Chaque espace est une unité.)

La montée sur ce géoplan est de 2, car l'élastique monte de deux unités.

Quelle est la course?

L'élastique s'étend sur 3 unités. L'exécution est 3 (voir Figure (PageIndex{4})).

La pente d'une droite est le rapport entre la montée et la descente. En mathématiques, il est toujours désigné par la lettre m.

PENTE D'UNE LIGNE

le pente d'une ligne d'une ligne est (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

le augmenter mesure le changement vertical et le Cours mesure le changement horizontal entre deux points sur la ligne.

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan de la figure (PageIndex{4}) ?

[egin{aligned} m &=frac{ ext { rise }}{ ext { run }} m &=frac{2}{3} end{aligned}]

La droite a une pente (frac{2}{3}). Cela signifie que la ligne monte de 2 unités toutes les 3 unités de course.

Lorsque nous travaillons avec des géoplans, c'est une bonne idée de prendre l'habitude de partir d'un piquet à gauche et de se connecter à un piquet à droite. Si la hausse augmente, elle est positive et si elle diminue, elle est négative. La course ira de gauche à droite et sera positive.

Exercice (PageIndex{1})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan montré?

Réponse

Utilisez la définition de pente : (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Commencez par le piquet de gauche et comptez les espaces vers le haut et vers la droite pour atteindre le deuxième piquet.

[egin{array}{ll} { ext { La montée est } 3 .} &{m=frac{3}{operatorname{rnn}}} { ext { La course est 4. } } & {m=frac{3}{4}} { } & { ext { La pente est } frac{3}{4} ext { . }}end{tableau}]

Cela signifie que la ligne monte de 3 unités toutes les 4 unités de course.

Exercice (PageIndex{2})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan montré?

Réponse

(frac{4}{3})

Exercice (PageIndex{3})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan montré?

Réponse

(frac{1}{4})

Exercice (PageIndex{4})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan montré?

Réponse

Utilisez la définition de pente : (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Commencez par le piquet de gauche et comptez les unités vers le bas et vers la droite pour atteindre le deuxième piquet.

[egin{array}{ll}{ ext { La montée est }-1 .} & {m=frac{-1}{operatorname{run}}} { ext { La course est } 3 .} & {m=frac{-1}{3}} {} & {m=-frac{1}{3}} {} &{ ext { La pente est }- frac{1}{3}}end{array}]

Cela signifie que la ligne perd 1 unité pour 3 unités de course.

Exercice (PageIndex{5})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan ?

Réponse

(-frac{2}{3})

Exercice (PageIndex{6})

Quelle est la pente de la ligne sur le géoplan ?

Réponse

(-frac{4}{3})

Notez que dans l'exercice (PageIndex{1}) la pente est positive et dans l'exercice (PageIndex{4}) la pente est négative. Remarquez-vous une différence entre les deux lignes indiquées dans Chiffre(a) et Chiffre(b) ?

Nous « lisons » une ligne de gauche à droite comme nous lisons des mots en anglais. En lisant de gauche à droite, la ligne dans Chiffre(a) monte; il a pente positive. La ligne en Chiffre(b) est en baisse; il a pente négative.

PENTES POSITIVES ET NÉGATIVES

Exercice (PageIndex{7})

Utilisez un géoplan pour modéliser une ligne avec une pente (frac{1}{2}).

Réponse

Pour modéliser une ligne sur un géoplan, nous avons besoin de la montée et de la course.

(egin{array}{ll} { ext { Utilisez la formule de pente. }} &{m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext { Replace } m ext { avec } frac{1}{2} ext { . }} &{ frac{1}{2} = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext { Donc, la montée est } 1 ext { et la course est } 2 ext { . }} { ext { Commencer à un piquet en bas à gauche du géoplan. }} { text { Étirez l'élastique vers le haut } 1 ext { unit, puis à droite } 2 ext { units. }}end{array})

L'hypoténuse du triangle rectangle formé par l'élastique représente une droite dont la pente est (frac{1}{2}).

Exercice (PageIndex{8})

Modélisez la pente (m = frac{1}{3}). Faites un dessin pour montrer vos résultats.

Réponse

Exercice (PageIndex{9})

Modélisez la pente (m = frac{3}{2}). Faites un dessin pour montrer vos résultats.

Réponse

Exercice (PageIndex{10})

Utilisez un géoplan pour modéliser une ligne avec une pente (frac{-1}{4}).

Réponse

(egin{array}{ll} { ext { Utilisez la formule de pente. }} &{m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext { Replace } m ext { avec } frac{-1}{4} ext { . }} &{ frac{-1}{4} = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext { Donc, la montée est } -1 ext { et la course est } 4 ext { . }} { ext { Puisque la montée est négative, nous choisissons un piquet de départ en haut à gauche cela nous donnera de la place pour compter à rebours.}} { ext { Nous étirons l'élastique vers le bas } 1 ext { unit, puis à droite } 4 ext { units. }}end{array})

L'hypoténuse du triangle rectangle formé par l'élastique représente une droite dont la pente est (frac{-1}{4}).

Exercice (PageIndex{11})

Modélisez la pente (m = frac{-2}{3}). Faites un dessin pour montrer vos résultats.

Réponse

Exercice (PageIndex{12})

Modélisez la pente (m = frac{-1}{3}). Faites un dessin pour montrer vos résultats.

Réponse

Utilisez (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) pour trouver la pente d'une ligne à partir de son graphique

Maintenant, nous allons regarder quelques graphiques sur le plan de coordonnées xy et voir comment trouver leurs pentes. La méthode sera très similaire à ce que nous venons de modéliser sur nos géoplans.

Pour trouver la pente, il faut compter la montée et la descente. Mais par où commencer ?

On localise deux points sur la droite dont les coordonnées sont des nombres entiers. Nous commençons ensuite par le point de gauche et dessinons un triangle rectangle afin de pouvoir compter la montée et la course.

Exercice (PageIndex{13}):

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

Exercice (PageIndex{14})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(frac{2}{5})

Exercice (PageIndex{15})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(frac{3}{4})

TROUVER LA PENTE D'UNE LIGNE A PARTIR DE SON GRAPHIQUE

  1. Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
  2. En commençant par le point de gauche, dessinez un triangle rectangle, allant du premier point au deuxième point.
  3. Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
  4. Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente, (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Exercice (PageIndex{16})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse
Repérez deux points sur le graphique dont les coordonnées sont des nombres entiers.(0,5) et (3,3)
Quel point est à gauche ?(0,5)
En partant de (0,5), tracez un triangle rectangle jusqu'à (3,3).
Comptez la hausse, elle est négative.La hausse est de -2.
Compter la course.La course est de 3.
Utilisez la formule de la pente.(m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}})
Remplacez les valeurs de la montée et de la course.(m = frac{-2}{3})
Simplifier.(m = -frac{2}{3})
La pente de la droite est (-frac{2}{3}).

Donc y augmente de 3 unités alors que xx diminue de 2 unités.

Et si on utilisait les points (−3,7) et (6,1) pour trouver la pente de la droite ?

La montée serait de -6 et la course serait de 9. Alors (m = frac{-6}{9}), et cela se simplifie en (m = -frac{2}{3}). N'oubliez pas que les points que vous utilisez n'ont pas d'importance : la pente de la ligne est toujours la même.

Exercice (PageIndex{17})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(-frac{4}{3})

Exercice (PageIndex{18})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(-frac{3}{5})

Dans les deux derniers exemples, les lignes avaient oui-interceptes avec des valeurs entières, il était donc pratique d'utiliser le oui-intercepter comme l'un des points pour trouver la pente. Dans l'exemple suivant, le oui-intercept est une fraction. Au lieu d'utiliser ce point, nous chercherons deux autres points dont les coordonnées sont des nombres entiers. Cela facilitera les calculs de pente.

Exercice (PageIndex{19})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse
Repérez deux points sur le graphique dont les coordonnées sont des nombres entiers.(2,3) et (7,6)
Quel point est à gauche ?(2,3)
En partant de (2,3), tracez un triangle rectangle jusqu'à (7,6).
Comptez la montée.La hausse est de 3.
Compter la course.La course est de 5.
Utilisez la formule de la pente.(m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}})
Remplacez les valeurs de la montée et de la course.(m = frac{3}{5})
La pente de la droite est (frac{3}{5}).

Cela signifie que y augmente de 5 unités lorsque x augmente de 3 unités.

Lorsque nous avons utilisé des géoplans pour introduire le concept de pente, nous avons dit que nous commencerions toujours par le point de gauche et que nous comptions la montée et la course pour arriver au point de droite. De cette façon, la descente était toujours positive et la montée déterminait si la pente était positive ou négative.

Que se passerait-il si on commençait par le point de droite ?

Utilisons à nouveau les points (2,3) et (7,6), mais maintenant nous allons commencer à (7,6).

(egin{array}{ll} { ext {Compter la montée.}} &{ ext{La montée est de -3.}} { ext {Compter la course. Elle va de droite à gauche, so}} &{ ext {La course est −5.}} { ext{elle est négative.}} &{} { ext {Utilisez la formule de la pente.}} &{m = frac { ext{rise}}{ ext{run}}} { ext{Remplacer les valeurs de la montée et de la course.}} &{m = frac{-3}{-5}} { } &{ ext{La pente de la droite est }frac{3}{5}} end{array})
Peu importe où vous commencez, la pente de la ligne est toujours la même.

Exercice (PageIndex{20})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(frac{5}{4})

Exercice (PageIndex{21})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(frac{3}{2})

Trouver la pente des lignes horizontales et verticales

Vous souvenez-vous de la particularité des lignes horizontales et verticales ? Leurs équations n'avaient qu'une seule variable.

[egin{array}{ll}{ extbf {Ligne horizontale } y=b} & { extbf {Ligne verticale } x=a} {y ext { -les coordonnées sont les mêmes. }} & {x ext { -les coordonnées sont les mêmes. }}end{tableau}]

Alors comment trouver la pente de la ligne horizontale y=4y=4 ? Une approche serait de tracer la ligne horizontale, de trouver deux points dessus et de compter la montée et la course. Voyons ce qui se passe lorsque nous faisons cela.

(egin{array}{ll} { ext {Quelle est la montée ?}} & { ext {La montée est de 0.}} { ext {Quelle est la course ?}} & { ext {La course est 3.}} {} &{m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} {} &{m = frac{0}{3}} { ext{Quelle est la pente ?}} &{m = 0} {} &{ ext{La pente de la ligne horizontale y = 4 est 0.}} end{array})

Toutes les lignes horizontales ont une pente 0. Lorsque le oui-les coordonnées sont les mêmes, la montée est de 0.

PENTE D'UNE LIGNE HORIZONTALE

La pente d'une ligne horizontale, y=b, est 0.

Le sol de votre chambre est horizontal. Sa pente est de 0. Si vous placiez soigneusement une balle sur le sol, elle ne roulerait pas.

Maintenant, nous allons considérer une ligne verticale, la ligne.

(egin{array}{ll} { ext {Quelle est la montée ?}} & { ext {La montée est de 2.}} { ext {Quelle est la montée ?}} & { ext {La course est 0.}} {} &{m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext{Quelle est la pente ?}} &{m = frac{2}{0}} end{tableau})

Mais on ne peut pas diviser par 0. La division par 0 n'est pas définie. On dit donc que la pente de la droite verticale x=3x=3 est indéfinie.

La pente de toute ligne verticale n'est pas définie. Quand le X-les coordonnées d'une ligne sont toutes les mêmes, la course est 0.

PENTE D'UNE LIGNE VERTICALE

La pente d'une droite verticale, x=a, n'est pas définie.

Exercice (PageIndex{22})

Trouvez la pente de chaque droite :

x=8 y=−5.

Réponse

x=8
Il s'agit d'une ligne verticale.
Sa pente n'est pas définie.

y=−5
Il s'agit d'une ligne horizontale.
Il a une pente 0.

Exercice (PageIndex{23})

Trouvez la pente de la droite : x=−4.

Réponse

indéfini

Exercice (PageIndex{24})

Trouvez la pente de la droite : y=7.

Réponse

0

GUIDE RAPIDE DES PENTES DE LIGNES

N'oubliez pas que nous «lisons» une ligne de gauche à droite, tout comme nous lisons des mots écrits en anglais.

Utilisez la formule de pente pour trouver la pente d'une ligne entre deux points

Faire l'activité Mathématiques de manipulation « Pente des droites entre deux points » vous aidera à mieux comprendre comment trouver la pente d'une droite entre deux points.

Parfois, nous aurons besoin de trouver la pente d'une ligne entre deux points lorsque nous n'avons pas de graphique pour compter la montée et la course. Nous pourrions tracer les points sur du papier quadrillé, puis compter la montée et la course, mais comme nous le verrons, il existe un moyen de trouver la pente sans tracer un graphique. Avant d'y arriver, nous devons introduire quelques notations algébriques.

Nous avons vu qu'un couple ordonné (x,y) donne les coordonnées d'un point. Mais lorsque nous travaillons avec des pentes, nous utilisons deux points. Comment le même symbole (x,y) peut-il être utilisé pour représenter deux points différents ? Les mathématiciens utilisent des indices pour distinguer les points.

[egin{array}{ll}{left(x_{1}, y_{1} ight)} & { ext { read }^{'} x ext { sub } 1, y ext { sub } 1^{'}} {left(x_{2}, y_{2} ight)} & { ext { read }^{'} x ext { sub } 2, y ext { sub } 2^{'}}end{array}]

L'utilisation d'indices en mathématiques ressemble beaucoup à l'utilisation des initiales du nom de famille à l'école primaire. Peut-être vous souvenez-vous de Laura C. et Laura M. dans votre classe de troisième année ?

Nous utiliserons (left(x_{1}, y_{1} ight)) pour identifier le premier point et (left(x_{2}, y_{2} ight)) pour identifier le deuxième point.

Si nous avions plus de deux points, nous pourrions utiliser (left(x_{3}, y_{3} ight)), (left(x_{4}, y_{4} ight)) , etc.

Voyons comment la montée et la course se rapportent aux coordonnées des deux points en examinant à nouveau la pente de la ligne entre les points (2,3) et (7,6).

Puisque nous avons deux points, nous utiliserons la notation en indice, (left( egin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} {2,3}end{array} ight ) left( egin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} {7,6}end{array} ight)).

Sur le graphique, nous avons compté la montée de 3 et la montée de 5.

Notez que la hausse de 3 peut être trouvée en soustrayant le oui-coordonnées 6 et 3.

[3=6-3]

Et la suite de 5 peut être trouvée en soustrayant le X-coordonnées 7 et 2.

[5 = 7 - 2]

Nous savons (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}). Donc (m = frac{3}{5}).

On réécrit la montée et la course en mettant les coordonnées (m = frac{6-3}{7-2})

Mais 6 est y2, le oui-coordonnée du deuxième point et 3 est y1, le oui-coordonnée du premier point.

Nous pouvons donc réécrire la pente en utilisant la notation en indice. (m = frac{y2-y1}{7-2})

De plus, 7 est x2, le X-coordonnée du deuxième point et 2 est x1, le X-coordonnée du premier point.

Donc, encore une fois, nous réécrivons la pente en utilisant la notation en indice. (m = frac{y2-y1}{x2-x1})

Nous avons montré que (m = frac{y2-y1}{x2-x1}) est vraiment une autre version de (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) . Nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la pente d'une ligne lorsque nous avons deux points sur la ligne.

FORMULE PENTE

La pente de la droite entre deux points (left(x_{1}, y_{1} ight)) et (left(x_{2}, y_{2} ight)) est

[m=frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}]

C'est le formule de pente.

La pente est :

[egin{array}{c}{y ext { du deuxième point moins } y ext { du premier point }} { ext { over }} {x ext { du deuxième point moins } x ext { du premier point. }}end{tableau}]

Exercice (PageIndex{25})

Utilisez le formule de pente pour trouver la pente de la droite entre les points (1,2) et (4,5).

Réponse

(egin{array} {ll} { ext{Nous appellerons (1,2) point #1 et (4,5) point #2.}} &{left( egin{array}{c }{x_{1}, y_{1}} {1,2}end{array} ight) left( egin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} {4,5}end{array} ight)} { ext{Utilisez la formule de pente.}} &{m = frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2} -x_{1}}} { ext{Remplacer les valeurs.}} &{} { ext{y du deuxième point moins y du premier point}} &{m=frac{5- 2}{x_{2}-x_{1}}} { ext{x du deuxième point moins x du premier point}} &{m = frac{5-2}{4-1}} { ext{Simplifier le numérateur et le dénominateur.}} &{m = frac{3}{3}} { ext{Simplifier.}} &{m = 1} end{array} )

Confirmons cela en comptant la pente sur un graphique en utilisant (m = frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Peu importe le point que vous appelez le point #1 et celui que vous appelez le point #2. La pente sera la même. Essayez le calcul vous-même.

Exercice (PageIndex{26})

Utilisez la formule de pente pour trouver la pente de la droite passant par les points : (8,5) et (6,3).

Réponse

1

Exercice (PageIndex{27})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par les points : (1,5) et (5,9).

Réponse

1

Exercice (PageIndex{28})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par les points (-2,-3) et (-7,4).

Réponse

(egin{array} {ll} { ext{Nous appellerons (-2, -3) point #1 et (-7,4) point #2.}} &{left( egin{array }{c}{x_{1}, y_{1}} {-2,-3}end{array} ight) left( egin{array}{c}{x_{2}, y_ {2}} {-7,4}end{array} ight)} { ext{Utilisez la formule de pente.}} &{m = frac{y_{2}-y_{1} }{x_{2}-x_{1}}} { ext{Remplacer les valeurs.}} &{} { ext{y du deuxième point moins y du premier point}} &{m =frac{4-(-3)}{x_{2}-x_{1}}} { ext{x du deuxième point moins x du premier point}} &{m = frac{4 -(-3)}{-7-(-2)}} { ext{Simplifier le numérateur et le dénominateur.}} &{m = frac{7}{-5}} { ext {Simplifier.}} &{m = -frac{7}{5}} end{array})

Vérifions cette pente sur le graphique ci-contre.

[egin{aligned} m &=frac{ ext { rise }}{ ext { run }} m &=frac{-7}{5} m &=-frac{7 }{5} end{aligné}]

Exercice (PageIndex{29})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par les points : (−3,4) et (2,−1).

Réponse

-1

Exercice (PageIndex{30})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par la paire de points : (−2,6) et (−3,−4).

Réponse

10

Tracer une ligne à partir d'un point et de la pente

Jusqu'à présent, dans ce chapitre, nous avons tracé des lignes en traçant des points, en utilisant des interceptions et en reconnaissant des lignes horizontales et verticales.

Une autre méthode que nous pouvons utiliser pour tracer des lignes est appelée la méthode point-pente. Nous utiliserons cette méthode lorsque nous connaîtrons un point et la pente de la droite. Nous commencerons par tracer le point puis utiliserons la définition de la pente pour tracer le graphique de la droite.

Exercice (PageIndex{31})

Représenter graphiquement la droite passant par le point (1,−1) dont la pente est (m = frac{3}{4}).

Réponse

Exercice (PageIndex{32})

Tracez le graphe de la droite passant par le point (2,−2) avec la pente (m = frac{4}{3}).

Réponse

Exercice (PageIndex{33})

Tracez le graphique de la droite passant par le point (−2,3) avec la pente (m=frac{1}{4}).

Réponse

GRAPHIQUEZ UNE LIGNE DONNE UN POINT ET LA PENTE.

  1. Tracez le point donné.
  2. Utilisez la formule de pente (m=frac{ ext { rise }}{ ext { rise }}) pour identifier la montée et la descente.
  3. En partant du point donné, comptez la montée et courez pour marquer le deuxième point.
  4. Reliez les points avec une ligne.

Exercice (PageIndex{34})

Tracez la ligne avec oui-interception 2 dont la pente est (m=−frac{2}{3}).

Réponse

Tracer le point donné, le oui-interception, (0,2).

(egin{array} {ll} { ext{Identifier la montée et la course.}} &{m =-frac{2}{3}} {} &{frac{ ext { montée }}{ ext { run }} =frac{-2}{3} } {}&{ ext { rise } =-2} {} &{ ext { run } =3} fin{tableau})

Comptez la montée et la course. Marquez le deuxième point.

Reliez les deux points avec une ligne.

Vous pouvez vérifier votre travail en trouvant un troisième point. Puisque la pente est (m=−frac{2}{3}), elle peut être écrite comme (m=frac{2}{-3}). Revenez à (0,2) et comptez la montée, 2, et la course, -3.

Exercice (PageIndex{35})

Tracez le graphique de la ligne avec le oui-interception 4 et pente (m=−frac{5}{2}).

Réponse

Exercice (PageIndex{36})

Tracez le graphique de la ligne avec le X-interception -3 et pente (m=−frac{3}{4}).

Réponse

Exercice (PageIndex{37})

Tracez le graphique de la droite passant par le point (−1,−3) dont la pente est m=4.

Réponse

Tracez le point donné.

(egin{array} {ll} { ext{Identifier la montée et la course.}} &{ ext{ m = 4}} { ext{Écrire 4 sous forme de fraction.}} &{ frac{ ext {rise}}{ ext {run}} =frac{4}{1} } {}&{ ext {rise} =4quad ext {run} =3} end {déployer})

Comptez la montée et la course et marquez le deuxième point.

Reliez les deux points avec une ligne.

Vous pouvez vérifier votre travail en trouvant un troisième point. Puisque la pente est m=4, elle peut être écrite comme (m = frac{-4}{-1}). Revenez à (−1,−3) et comptez la montée, −4, et la course, −1.

Exercice (PageIndex{38})

Tracez le graphique de la droite avec le point (−2,1) et la pente m=3.

Réponse

Exercice (PageIndex{39})

Tracez le graphique de la droite avec le point (4,−2) et la pente m=−2.

Réponse

Résoudre les applications de pente

Au début de cette section, nous avons dit qu'il existe de nombreuses applications de la pente dans le monde réel. Regardons-en quelques-uns maintenant.

Exercice (PageIndex{40})

La « pente » du toit d'un bâtiment est la pente du toit. Connaître le terrain est important dans les climats où il y a de fortes chutes de neige. Si le toit est trop plat, le poids de la neige peut provoquer son effondrement. Quelle est la pente du toit indiqué ?

Réponse

(egin{array}{ll}{ ext { Utilisez la formule de pente. }} & {m=frac{ ext { rise }}{ ext { rise }}} { ext { Remplacez le valeurs pour la montée et la course. }} & {m=frac{9}{18}} { ext { Simplifier. }} & {m=frac{1}{2}} { ext{ La pente du toit est }frac{1}{2}.} &{} {} &{ ext{Le toit s'élève de 1 pied pour chaque 2 pieds de}} {} &{ ext{ course horizontale.}} end{array})

Exercice (PageIndex{41})

Utilisez l'exercice (PageIndex{40}), en remplaçant la montée = 14 et la course = 24.

Réponse

(frac{7}{12})

Exercice (PageIndex{42})

Utilisez l'exercice (PageIndex{40}), en remplaçant rise = 15 et run = 36.

Réponse

(frac{5}{12})

Exercice (PageIndex{43})

Avez-vous déjà pensé aux canalisations d'égout qui vont de votre maison à la rue ? Ils doivent avoir une pente descendante de (frac{1}{4}) pouce par pied afin de s'écouler correctement. Quelle est la pente requise?

Réponse

(egin{array} {ll} { ext{Utilisez la formule de pente.}} &{m=frac{ ext { rise }}{ ext { run }}} {} &{m= frac{-frac{1}{4} mathrm{inch}}{1 ext { pied }}} {}&{m=frac{-frac{1}{4} ext { inch }}{12 ext { inches }}} { ext{Simplify.}} &{m=-frac{1}{48}} {} &{ ext{La pente du tuyau est }-frac{1}{48}} end{array})

Le tuyau tombe de 1 pouce pour chaque 48 pouces de course horizontale.

Exercice (PageIndex{44})

Trouvez la pente d'un tuyau qui descend de (frac{1}{3}) pouce par pied.

Réponse

(-frac{1}{36})

Exercice (PageIndex{45})

Trouvez la pente d'un tuyau qui descend de (frac{3}{4}) pouce par mètre.

Réponse

(-frac{1}{48})

Concepts clés

  • Trouver la pente d'une ligne à partir de son graphique en utilisant (m=frac{ ext { monter }}{ ext { courir }})
    1. Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
    2. En commençant par le point de gauche, dessinez un triangle rectangle, allant du premier point au deuxième point.
    3. Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
    4. Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente.
  • Tracer une ligne à partir d'un point et de la pente
    1. Tracez le point donné.
    2. Utilisez la formule de pente (m=frac{ ext { rise }}{ ext { run }}) pour identifier la montée et la descente.
    3. En partant du point donné, comptez la montée et courez pour marquer le deuxième point.
    4. Reliez les points avec une ligne.
  • Pente d'une ligne horizontale
    • La pente d'une ligne horizontale, y=b, est 0.
  • Pente d'une ligne verticale
    • La pente d'une droite verticale, x=a, est indéfinie

Si 1 point et la pente sont connus

La pente, parfois appelée gradient en mathématiques, est un nombre qui mesure la pente et la direction d'une ligne, ou une section d'une ligne reliant deux points, et est généralement désignée par m. Généralement, la pente d'une ligne est mesurée par la valeur absolue de sa pente, m. Plus la valeur est grande, plus la ligne est raide. Donné m, il est possible de déterminer la direction de la ligne qui m décrit en fonction de son signe et de sa valeur :

  • Une ligne augmente et monte de gauche à droite lorsque m > 0
  • Une ligne est décroissante et descend de gauche à droite lorsque m < 0
  • Une droite a une pente constante et est horizontale lorsque m = 0
  • Une ligne verticale a une pente indéfinie, car elle entraînerait une fraction avec 0 comme dénominateur. Référez-vous à l'équation fournie ci-dessous.

La pente est essentiellement un changement de hauteur par rapport au changement de distance horizontale, et est souvent appelée « montée sur course ». Il a des applications dans les gradients en géographie ainsi que dans le génie civil, comme la construction de routes. Dans le cas d'une route, la "montée" est le changement d'altitude, tandis que la "course" est la différence de distance entre deux points fixes, tant que la distance pour la mesure n'est pas assez grande pour que la courbure de la terre soit prise en compte comme facteur. La pente est représentée mathématiquement par :

Dans l'équation ci-dessus, oui2 - oui1 = &Délai, ou changement vertical, tandis que X2 - X1 = &Deltaxe, ou changement horizontal, comme indiqué dans le graphique fourni. On peut aussi voir que &Deltax et &Délai sont des segments de droite qui forment un triangle rectangle avec hypoténuse , avec étant la distance entre les points (X1, oui1) et (X2, oui2). Depuis &Deltax et &Délai forment un triangle rectangle, il est possible de calculer en utilisant le théorème de Pythagore. Reportez-vous à la calculatrice triangulaire pour plus de détails sur le théorème de Pythagore ainsi que sur la façon de calculer l'angle d'inclinaison &thêta fourni dans le calculateur ci-dessus. Brièvement:

L'équation ci-dessus est le théorème de Pythagore à sa racine, où l'hypoténuse a déjà été résolu, et les deux autres côtés du triangle sont déterminés en soustrayant les deux X et oui valeurs données par deux points. Étant donné deux points, il est possible de trouver &thêta en utilisant l'équation suivante :

Étant donné les points (3, 4) et (6, 8) trouver la pente de la ligne, la distance entre les deux points et l'angle d'inclinaison :

Bien que cela dépasse le cadre de cette calculatrice, mis à part son utilisation linéaire de base, le concept de pente est important dans le calcul différentiel. Pour les fonctions non linéaires, le taux de variation d'une courbe varie et la dérivée d'une fonction en un point donné est le taux de variation de la fonction, représenté par la pente de la ligne tangente à la courbe en ce point.


Qu'est-ce que la pente ? Découvrez dans quelle mesure vous comprenez le concept avec le quiz ci-dessous. 

La leçon sur la pente d'une ligne ou comment trouver la pente expliquera ce que cela signifie pour une pente à ne positive, négative, nulle ou indéfinie mathématiquement.

Continuez votre étude de pente ici dans l'ordre indiqué ci-dessous

Comment trouver la pente
Apprenez à calculer la pente en utilisant la montée et la course ou 2 points.

Pente indéfinie
Une explication détaillée de ce que cela signifie pour une pente d'être indéfinie.

Pente graphique
Apprenez à représenter graphiquement la pente à l'aide de la pente et d'un point.

Forme d'interception de pente
Apprenez à trouver le formulaire d'interception de pente.

Forme de pente de point
Apprenez à trouver la forme de pente de point.

Calculateur de pente 
Étant donné deux points, cette calculatrice calculera la pente et la forme d'intersection de pente d'une ligne.

Milieu d'un segment de droite 
Découvrez comment trouver le milieu d'un segment de droite à l'aide de la formule du milieu.

Quelques exemples réels de variation directe expliqués.


Qu'est-ce que la pente ?

La pente d'une ligne dans le plan de coordonnées cartésiennes à deux dimensions est généralement représentée par la lettre $m$, et elle est parfois appelée underline entre deux points. En effet, il s'agit du changement des coordonnées $y$ divisé par le changement correspondant des coordonnées $x$ entre deux points distincts sur la ligne. Si nous avons les coordonnées de deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ dans le plan cartésien à deux dimensions, alors la pente $m$ de la droite passant par $A(x_A,y_A) $ et $B(x_B,y_B)$ est entièrement déterminé par la formule suivante $m=frac$ En d'autres termes, la formule de la pente peut être écrite sous la forme $m=frac=frac<< m vertical change>><< m horizontal change>> =frac<< m rise>><< m run>>$ Comme nous le savons, la lettre grecque $Delta$, signifie différence ou changement. La pente $m$ d'une droite $y=mx+b$ peut également être définie comme la montée divisée par la course. Rise signifie à quel point nous devons nous déplacer haut ou bas pour arriver du point de gauche au point de droite, nous modifions donc la valeur de $y$. Par conséquent, la hausse est la variation de $y$, $Delta y$. Run signifie à quelle distance à gauche ou à droite nous devons nous déplacer pour arriver du point de gauche au point de droite, nous modifions donc la valeur de $x$. L'exécution est le changement de $x$, $Delta x$.


Comment comprendre la pente (en algèbre)

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La pente d'une ligne, également appelée gradient, mesure la pente d'une ligne. Nous pensons généralement à la pente comme à la « montée sur la course ». Lorsque vous travaillez avec une pente, il est important de comprendre d'abord les concepts de base de ce que mesure la pente et comment elle la mesure. Vous pouvez calculer la pente d'une ligne tant que vous connaissez les coordonnées de deux points quelconques.


Pourquoi la pente n'est-elle pas définie pour les lignes verticales ?

Prenons l'exemple de la ligne (x = 4), qui est représentée graphiquement ci-dessus. Deux points sur cette ligne seraient ((4, 1)) et ((4, 2)). Puisque vous pouvez utiliser deux points pour calculer la pente de la ligne, nous pouvons ensuite appliquer la formule de pente en utilisant ((x_1,y_1) = (4,1)) et ((x_2, y_2) = (4, 2)).

Maintenant, nous pouvons voir le problème. Comme les deux valeurs x étaient les mêmes, le dénominateur de la pente finit par être 0. La division par zéro est toujours indéfinie. Chaque point sur cette ligne a une coordonnée x de 4, donc cela se produira quels que soient les points choisis.

En généralisant un peu cette idée, pour une ligne verticale (x = c), les abscisses seront toujours le nombre (c). Par conséquent, la formule de la pente entraînera toujours une division par zéro et la pente sera donc indéfinie.


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Pente

La pente est une mesure de la pente d'une ligne. Il existe une formule très algébrique pour la pente, et si vous le savez, c'est super ! Si vous ne connaissez pas cette formule, ou si vous la connaissiez et que vous ne vous en souvenez plus, je dirai : fuhgeddaboudit! Voici une bien meilleure façon de penser à la pente. La pente est monter sur courir.

Pour calculer la montée et la course, il faut d'abord mettre les deux points dans l'ordre. It actually doesn’t matter which one we say is the first and which one, the second: all that matters is that we are consistent.

le rise is the vertical change — the change in y-coordinate (second point minus first). le Cours is the horizontal change — the change in the x-coordinate (again, second minus first). Once we have rise & run, divide them, rise divided by run, to find the slope.

For example, suppose our points are (–2, 4) and (5, 1). For the sake of argument, we’ll say that’s the order — (–2, 4) is the “first” and (5, 1) is the “second.” The rise is the change in height, the change in y-coordinate: 1 – 4 = –3 (notice, we had to do second minus first, which gave us a negative here!) The run is the horizontal change, the change in x-coordinate: 5 – (–2) = 5 + 2 = 7 (remember: subtracting a negative is the same as adding a positive!). Now, rise/run = –3/7 —- that’s the slope. Slope is definitely something you need to understand for the GMAT Quantitative section.

Whenever you find a slope, I strongly suggest doing a rough sketch, just to verify that the sign of the slope (positive or negative) and the value of the slope are approximately correct. Here’s a sketch of this particular calculation:

Your sketch, of course, does not need to be this precise. Even a rough sketch would verify that, yes, the slope should be negative. Again, I highly recommend performing this visual check every time you calculate slope.


Classer: 11th
Subject: Mathématiques
Chapter : Ch-11 Straight Lines, Section -A of Vol-II
Board ISC
Writer ML Aggarwal
Publications APC Arya Publications 2020-21

-: Select Topics :-

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Straight Line

By definition, a straight line is the set of all points between and extending beyond two points. In most geometries, a line is a primitive object that does not have formal properties beyond length, its single dimension.

The two properties of straight lines in Euclidean geometry are that they have only one dimension, length, and they extend in two directions forever.

Properties of Straight Lines
  • One-dimensional
  • Can be horizonal, vertical, or diagonal
  • Both ends extend in two directions forever
  • Makes a 180-degree angle when drawing an angle arc from one point to another
What is a Point ?

UNE point is the simplest figure in geometry. It is a location in space, without dimension. It has no width, volume, thickness, length or depth. Yet when you have two points, if you connect every point between those two points, you have a straight line.

How To Construct a Straight Line

A straight line is one of the easiest constructions to make in geometry. With a sheet of blank paper, a pencil, and a straightedge, you can construct a line easily:

  • Draw two dots on the paper, some distance from each other these are Points
  • Use the straightedge to connect the two Points with a pencil line, and extend the line far past both Points
  • Draw arrowheads at the ends of the line you drew

Shifting of Origin
Let the origin is shifted to a point O'(h, k). If P(x, y) are coordinates of a point referred to old axes and P'(X, Y) are the coordinates of the same points referred to new axes, then x = X + h, y = Y + k.

Straight Line
Any curve is said to be a straight line if two points are taken on the curve such that every point on the line segment joining any two points on it lies on the curve. General equation of a line is ax + by + c = 0.

Slope or Gradient of Line
The inclination of angle θ to a line with a positive direction of X-axis in the anti-clockwise direction, the tangent of angle θ is said to be slope or gradient of the line and is denoted by m.
i.e. m = tan θ
The slope of a line passing through points P(x 1 , y 1 ) and Q(x 2 , y 2 ) is given by

Position of Points is Relative to a Given Line
Let the equation of the given line be ax + by + c = 0 and let the coordinates of the two given points be P(x 1 , y 1 ) and Q(x 2 , y 2 ).
The two points are on the same side of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have the same sign.

The two points are on the opposite sides of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have opposite sign.

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Chapter Test

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-: End of Straight Lines ISC Class-11 ML Aggarwal Maths Understanding Chapter-11 Solution :-


Slope Concept 1 – Understanding the Basic Concepts of Slope

Note: This is the first part of the the Slope Concept Series. The sequels of this article are Part II – Slope of the Graph of a Linear Function and Part III – Slopes of Vertical and Horizontal Lines.

The slope is known to be the steepness of a line. Sometimes it is described as “rise over run,” If we are on point A , we go up 4 units and we go right 5 units (see Figure 1) then our rise is 4 and our run is 5. Let us mark our new location B . Notice that the order of movements does not matter. We can also go 5 units right and 4 units up and you will still be in B (see Figure 2).

If we do our movement in the coordinate plane starting from the origin, our rise would be our vertical movement (change of movement with respect to the oui-axis) and our run would be our horizontal movement (change of movement with respect to the X-axis). In Figure 2, segment UN B has rise 4 and run 5. Thus, the slope of segment UN B is . In general, slope in the coordinate plane is described as the change in y over the change in x.

Figure 1 - Segment AB with rise 4 units and run 5 units.

The slope of a line (or a segment) may also be described as the angle it makes with a horizontal line. Technically speaking, it is a counterclockwise rotation with the line starting from a horizontal position about a point which is located on that line, or the origin our case. In Figure 2, is the angle measure AB makes with the horizontal axis of the rectangular coordinate plane, or the amount of rotation from AB’ to AB about A.

Figure 2 - Counter-clockwise rotation of AB to AB' about A.

Looking at triangle ABC , since the given sides are the side adjacent and the side opposite to , we can use the definition of tangent to compute for the value of . Recall from trigonometry that the definition of a tangent of an angle of a right triangle is equal to the quotient of the length of the side opposite to it (change in y) and the length of the side adjacent to it (change in x). Now, this is precisely the definition of slope. From here, we can conclude that the angle that a line makes with a horizontal line is the same as the slope of that line. As a consequence in radian measure (or approximately 38 degrees) is the slope of the line.

Figure 3 - Triangle ABC with Slope 4/5.

If we examine the value of , it is clear that when is degrees, the line is horizontal since there is no (zero) change in y. Algebraically, this makes the numerator of the fraction change in y which implies that the slope of any horizontal line is .

If the line is vertical, there is no (zero) change in x. That makes the denominator of the fraction change in x . Of course, we know that anything divided by is not defined. As a consequence, slope of a vertical line is undefined.

In the continuation of this article, we will discuss further about the properties of slope. We will discuss why the slope of a straight line is constant. We will further discuss zero, undefined, negative and positive slopes. We will also discuss how the concept of slope helps in solving calculus problems and how it is used to determine the behavior functions.


Coordinate Geometry: Slope of a Line

In our recent videos we’ve been exploring lines. Now we move on to learn how to find the slope of a line.


Voir la vidéo: Allô prof - La pente dune droite (Décembre 2021).