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4.10 : Théorème de Stokes - Mathématiques


Dans cette section, nous voyons la généralisation d'un théorème familier, le théorème de Green. De même que précédemment on s'intéresse à une égalité qui permet de passer de l'intégrale sur une courbe fermée à l'intégrale double d'une surface. Certaines définitions importantes à connaître avant de continuer sont : courbe fermée simple, divergence, flux, curl et vecteur normal. Savoir calculer le déterminant des matrices 2x2 et 3x3 vous aidera également à approfondir votre compréhension de la divergence et du curl.

Discussion théorique

Curl : Soit ( mathbf{F} = M(x,y,z)hat{i} + N(x,y,z)hat{j} + P(x,y,z)hat{ k} ) et ( abla = hat{i} frac{partial }{partial x} + hat{j} frac{partial }{partial y} + hat{k} frac{partial }{partial z} ) alors la boucle de (mathbf{F}) est simplement le déterminant de la matrice 3x3 ( abla imes mathbf{F}). Il existe de nombreuses façons de prendre le déterminant, mais ce qui suit est un exemple d'expansion de cofacteur.

[egin{align} abla imes mathbf{F} &= egin{vmatrix} hat{i} & hat{j} & hat{k} frac{partial }{ partiel x} & frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} M & N & P end{vmatrix} &= hat{i} begin{vmatrix} frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} N & P end{vmatrix} - hat{j} egin{vmatrix} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial z} M & P end{vmatrix} + hat{k} egin{vmatrix} frac{partial } {partial x} & frac{partial }{partial y} M & N end{vmatrix} &= hat{i}(frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z}) - hat{j}(frac{partial P}{partial x} - frac{partial M}{partial z}) + hat {k}(frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}) &= hat{i}(frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z}) + hat{j}(frac{partial M}{partial z} - frac{partial P}{partial x}) + hat{k}(frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}) &= curl mathbf{F} end{align} ]

Théorème de Stokes

Soit (mathbf{n}) un vecteur normal (orthogonal, perpendiculaire) à la surface S qui a le champ de vecteurs (mathbf{F}), alors la simple courbe fermée C est définie dans le sens antihoraire autour de (mathbf{n}). La circulation sur C est égale à l'intégrale surfacique de la boucle de (mathbf{F} = abla imes mathbf{F}) pointée de (mathbf{n}).

[oint _C mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iint_{S} abla imes mathbf{F cdot n} dsigma ]

Ce théorème échoue lorsqu'une fonction, un champ vectoriel ou une dérivée n'est pas continu.

Le théorème de Green de Stokes

Si la circulation dans le sens antihoraire C n'est que dans le plan x-y et qu'elle définit une région, appelez-la R, avec le champ vectoriel (mathbf{F }) alors la direction z est normale au plan. Ainsi

[egin{align} oint _C mathbf{F} cdot dmathbf{r} &= iint_{S} abla imes mathbf{F cdot n} dsigma & = iint_{R} abla imes mathbf{F cdot k} dx dy & = iint_{R} frac{partial N}{partial x} - frac{partial M} {partial y} dx dy end{align}]

A titre indicatif,

[frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}]

est le déterminant de la matrice 2x2

[egin{vmatrix} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial y} M & N end{vmatrix}.]

Exemple (PageIndex{1})

Évaluer l'équation du théorème de Stokes pour l'hémisphère (S: x^2+y^2+z^2=9, z geq 0), son cercle englobant (C:x^2+y^2= 0, z=0) et le champ ( extbf{F}=yhat{ extbf{i}}-xhat{ extbf{j}}).

Astuces: Rappelez-vous qu'un moyen simple de paramétrer un cercle est si ( x^2+y^2=r^2) alors ( r ( heta) = r cos heta + r sin heta ) pour ( heta in [0, 2 pi] ). Essayez également de dessiner une image de l'hémisphère et de son cercle englobant pour comprendre la théorie derrière le problème. Devrait savoir comment normaliser un vecteur et ce que signifie (| abla f| ). Trouvez la circulation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre en utilisant le côté gauche du théorème de Stokes, puis trouvez l'intégrale de boucle en utilisant le côté droit du théorème de Stokes et comparez vos résultats.

Solution

L'hémisphère ressemble beaucoup à l'image ci-dessous, avec la circonférence du fond rose étant le cercle englobant ( C ) dans le ( xy ) - plan . On peut calculer la circulation dans le sens antihoraire autour de ( C ) (vue de dessus) en utilisant la paramétrisation ( r ( heta ) = ( 3 cos heta ) hat{ extbf{i}} + (3 sin theta ) hat{ extbf{j}}, 0 leq heta leq 2 pi ):

[ d extbf{r} = (-3 sin heta d heta ) hat{ extbf{i}} + (3 cos heta d heta ) hat{ extbf{j}} ]

[ extbf{F} = yhat{ extbf{i}} - xhat{ extbf{j}} = (3 sin heta ) hat{ extbf{i}} - (3 cos heta )hat{ extbf{j}}]

[ extbf{F} cdot d extbf{r} = -9 sin^2 heta d heta - 9 cos^2 heta d heta = -9 d heta ]

[ oint_C extbf{F} cdot d extbf{r} = int_0^2pi -9 d heta = -18 heta. ]

C'est le membre de gauche évalué du théorème de Stokes. Maintenant, nous voulons montrer que le membre de droite est égal en évaluant l'intégrale de curl.

Pour l'intégrale de curl de ( extbf{F} ), on a

[ abla imes extbf{F} = left( frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z} ight) hat{ extbf{i }} + left( frac{partial M}{partial z} - frac{partial P}{partial x} ight) hat{ extbf{j}}+left( frac{ partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y} ight) hat{ extbf{k}} ]

de prendre le déterminant de la matrice 3X3 de la boucle (expliquée dans la discussion théorique). Si nous regardons cette matrice 3X3 :

[ egin{vmatrix} hat{ extbf{i}} & hat{ extbf{j}} & hat{ extbf{k}} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} y & -x & 0 end{vmatrix} ]

en évaluant la boucle, nous voyons que

[ abla imes extbf{F} = (0-0)hat{ extbf{i}}+(0-0)hat{ extbf{j}}+(-1-1)hat { extbf{k}} = -2hat{ extbf{k}} .]

Notre vecteur normal d'unité externe sera

[ egin{align} extbf{n} &= frac{ x hat{ extbf{i}} + y hat{ extbf{j}} + z hat{ extbf{k}}} {|xhat{ extbf{i}} + y hat{ extbf{j}} + zhat{ extbf{k}}|} &=frac{xhat{ extbf{ i}} + y hat{ extbf{j}} + zhat{ extbf{k}}}{sqrt{x^2+y^2+z^2}} &=frac{ xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}+zhat{ extbf{k}}}{sqrt{9 cos^2 heta + 9 sin^2 heta}} &= frac{xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}+zhat{ extbf{k}}}{3}. end{aligner}]

Puis

[d sigma = frac{| abla f |}{| abla f cdot extbf{k}|} dA = frac{3}{z} dA.]

Enfin, nous pouvons tout mettre ensemble pour trouver que :

[ abla imes extbf{F} cdot extbf{n} d sigma = - frac{2z}{3} frac{3}{z} dA = -2dA ]

et

[ int int_S abla imes extbf{F} cdot extbf{n} d sigma = int int_{x^2+y^2 leq 9} -2dA=-18 pi ]

et nous voyons que la circulation autour du cercle est égale à l'intégrale de la boucle sur l'hémisphère, comme il se doit.


4.9 : Théorème de Stokes

  • Contribution de Steven W. Ellingson
  • Professeur agrégé (génie électrique et informatique) à l'Institut polytechnique de Virginie et à l'Université d'État
  • Provenant de l'Open Education Initiative des Virginia Tech Libraries

Théorème de Stokes&rsquo relie une intégrale sur une surface ouverte à une intégrale sur la courbe délimitant cette surface. Cette relation a un certain nombre d'applications en théorie électromagnétique. Voici le théorème :

où (mathcal) est la surface ouverte délimitée par le chemin fermé (mathcal). La direction de la normale à la surface (d<f s>=hat<f n>ds) est liée à la direction d'intégration le long de () par le règle de la main droite, illustré à la figure (PageIndex<1>). Dans ce cas, la règle de la main droite indique que la normale correcte est celle qui pointe à travers la surface dans la même direction que les doigts de la main droite lorsque le pouce de votre main droite est aligné le long de ( ) dans le sens de l'intégration.

Figure (PageIndex<1>) : Les orientations relatives de la direction d'intégration (mathcal C) et de la normale de surface (vec>) dans le théorème de Stokes&rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

Le théorème de Stokes&rsquo est un résultat purement mathématique et non un principe d'électromagnétisme en soi. La pertinence du théorème pour la théorie électromagnétique est principalement en tant qu'outil dans l'analyse mathématique associée. Habituellement, le théorème est utilisé pour transformer un problème exprimé en termes d'intégration sur une surface en une intégration sur un chemin fermé ou vice-versa. Pour plus d'informations sur le théorème et sa dérivation, voir &ldquoLectures supplémentaires&rdquo à la fin de cette section.


4.9 : Théorème de Stokes

  • Contribution de Steven W. Ellingson
  • Professeur agrégé (génie électrique et informatique) à Virginia Polytechnic & State University
  • Provenant de l'Open Education Initiative des Virginia Tech Libraries

Théorème de Stokes&rsquo relie une intégrale sur une surface ouverte à une intégrale sur la courbe délimitant cette surface. Cette relation a un certain nombre d'applications en théorie électromagnétique. Voici le théorème :

où (mathcal) est la surface ouverte délimitée par le chemin fermé (mathcal). La direction de la normale à la surface (d<f s>=hat<f n>ds) est liée à la direction d'intégration le long de () par le règle de la main droite, illustré à la figure (PageIndex<1>). Dans ce cas, la règle de la main droite indique que la normale correcte est celle qui pointe à travers la surface dans la même direction que les doigts de la main droite lorsque le pouce de votre main droite est aligné le long de ( ) dans le sens de l'intégration.

Figure (PageIndex<1>) : Les orientations relatives de la direction d'intégration (mathcal C) et de la normale de surface (vec>) dans le théorème de Stokes&rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

Le théorème de Stokes&rsquo est un résultat purement mathématique et non un principe d'électromagnétisme en soi. La pertinence du théorème pour la théorie électromagnétique est principalement en tant qu'outil dans l'analyse mathématique associée. Habituellement, le théorème est utilisé pour transformer un problème exprimé en termes d'intégration sur une surface en une intégration sur un chemin fermé ou vice-versa. Pour plus d'informations sur le théorème et sa dérivation, voir &ldquoLectures supplémentaires&rdquo à la fin de cette section.


4.10 : Théorème de Stokes - Mathématiques

MATH 439-001 55949 ST : Introduction au collecteur différentiel et introduction aux collecteurs différentiables - 51950 - MATH 536 - 001

Heure des cours 11h00-12h15 Lieu SMLC 352.

Instructeur : Dimiter Vassilev Bureau : SMLC, Bureau 326 Courriel : [email protected] Numéro de téléphone : 505 277 2136

Heures de bureau: mercredi 13h30-14h30, mardi et jeudi 14h00. Vous pouvez également vous arrêter à tout moment.

Examen final : 10 mai, de 12h30 à 14h30, vérifiez l'horaire de l'examen final.

Les étudiants ayant des conflits avec cet horaire d'examens doivent aviser l'instructeur approprié avant le 5 avril 2016. Tout étudiant ayant plus de trois examens programmés dans une même journée peut aviser l'instructeur du dernier examen répertorié. En cas de notification avant le 5 avril 2016, l'instructeur doit prendre des dispositions pour donner un examen spécial. Les conflits résultant d'un horaire en dehors des séquences horaires ou journalières normales doivent être résolus par l'instructeur des cours hors modèle. Les modifications de cet horaire d'examen ne sont pas autorisées, sauf avec l'approbation formelle du doyen du collège de l'instructeur.

Manuel obligatoire : An Introduction to Differential Manifolds (2015), Auteurs : Jacques Lafontaine

Sujet du cours : Chapitres 1-6 du livre de Lafontaine. Description : Notion de variété, structures différentielles, fibrés tangents et cotangents, plongement, immersions et submersions, transversalité, formes différentielles et intégration, théorème de Stokes, groupes de Lie.

Autres manuels que vous pourriez trouver utiles :

Lee J.M., Introduction aux variétés lisses (Springer, Textes d'études supérieures en mathématiques)

Morita S., Géométrie des formes différentielles (Traductions de monographies mathématiques, vol. 201) .

Boothby, W., Une introduction aux variétés différenciables et à la géométrie riemannienne.

Ma, L., Une introduction aux collecteurs.

Veuillez noter les directives suivantes pour le cours :

Conditions préalables : Algèbre linéaire (MATH321), Calcul III (MATH264) et au moins deux des cours suivants : Topologie (MATH431), Analyse (MATH401), Analyse (MATH402).

Notes : La note finale sera déterminée par les devoirs (100 pts), deux examens de mi-session (100 pts) et un examen final (200 points) . Toutes les notes seront publiées sur UNM Learn.

Devoirs: Vous pouvez travailler ensemble sur les devoirs, mais vous devez rédiger vos propres solutions dans vos propres mots. Pour aider la niveleuse, s'il vous plaît écrivez vos solutions clairement et clairement et agrafer les feuilles. Chaque devoir comporte 5 problèmes (4 pts chacun) pour un total de 20 points. Les problèmes de crédit supplémentaire ne sont pas dus et sont vraiment un crédit supplémentaire (8 pts chacun). Il est préférable que vous travailliez et discutiez des problèmes ensemble et avec moi lorsque des questions se posent. Les 10 devoirs les plus élevés seront comptés.

Examens manqués : Des examens de rattrapage peuvent être organisés pour les examens manqués avec une excuse VALABLE (maladie, urgence familiale, participation active à des activités scolaires ou sportives), et UNIQUEMENT si un préavis est donné.

Déclaration d'invalidité : Nous accueillerons les étudiants ayant un handicap documenté. Au cours des deux premières semaines du semestre, ces étudiants doivent informer l'instructeur de leurs besoins particuliers et doivent également contacter les services d'accessibilité au Mesa Vista Hall, Room 2021, téléphone 277-3506. De plus, ils devraient consulter le CATS- Counselling and Therapy Services Student Health Centre (277-4537). (Ils peuvent vous aider si vous souffrez d'anxiété liée aux examens).

Les devoirs sont hébergés sur UNM Apprendre

(Veuillez vérifier après le cours car les affichages avancés des devoirs pourraient changer)

Devoirs à remettre le jeudi de la semaine suivante en début de cours.

1. Différentielles, théorème de rang - difféomorphismes.

2. Le théorème des rangs, les immersions, les submersions. Sous-variétés lisses de Rn.

3 . Ensembles de niveaux, graphiques et paramétrisations. Exemples.

4 . L'espace tangent. Ensembles de mesure zéro et leurs images sous des cartes lisses. Points critiques et valeurs.

5 . Le théorème de Sard. La transversalité. Variétés topologiques et lisses.

6 . Construction de collecteurs. Cartes lisses - structures lisses non équivalentes, structures lisses difféomorphes. Exemples - Espaces projectifs.

7 . Les fibrations, la fibration de Hopf. Le théorème fondamental de l'algèbre.

29 février Séance de devoirs SMLC 352 9:45-10:45

8 . Espace tangent. Difféomorphismes locaux, immersion, submersion, sous-variétés.


Formuler correctement le problème du théorème de Stokes

Je suis intéressé à appliquer le théorème de Stokes à un champ de vitesse résultant de l'écoulement d'un nombre infini d'hélices, où chaque hélice s'écoule dans la direction horizontale $x$, a le même diamètre de circulation, et chaque ligne centrale d'hélice se trouve sur la donnée $y$ , et les vitesses d'hélice sont proportionnelles à la distance entre leur axe central et le sol. Mon hypothèse clé est que la vitesse de l'hélice est proportionnelle à l'axe de l'hélice $z_0$, donc la vitesse est $c z_0$, où $c$ est une constante égale à $frac<1>

J'ai essayé de le faire avec des équations paramétriques, en décrivant d'abord la position $P$ :

$P(t, z_0) = c z_0 t hat + cos(c z_0 t) hat + (z_0 + sin(c z_0 t)) hat$

$frac

= c z_0 hat - z_0 sin(c z_0 t) hat + (z_0 cos(c z_0 t)) hat$

où $z_0$ est l'axe de l'hélice et $c$ est une constante reliant la vitesse des particules à la hauteur de l'axe de l'hélice, avec des unités de $frac<1>

J'appelle le champ de vitesse $V$, en supposant qu'il est égal à $frac

$. Maintenant, je peux intégrer à travers $z_0$ pour trouver le champ de vitesse résultant d'une infinité d'hélices :

$V(t) = int ( c z_0 hat - z_0 sin(c z_0 t) hat + (z_0 cos(c z_0 t)) hat) dz_0 = c frac<2> chapeau - frac chapeau + frac chapeau $

Quelque chose dans ma formulation semble faux. Est-ce que j'ai fait ça correctement ? Je souhaite appliquer le théorème de Stokes à cela, ce qui nécessitera de créer un volume de contrôle dans le même système de coordonnées. Je ne sais pas comment contrôler le volume en utilisant ma formulation paramétrique des formes d'hélice.

ÉDITER Voici un schéma montrant certaines des hélices. Les couleurs plus rouges représentent des vitesses de vent plus élevées et les couleurs plus violettes représentent des vitesses de vent plus faibles.


4.10 : Théorème de Stokes - Mathématiques

Instructeur: Dr Gantumur Tsogtgerel

Prérequis: MATH 580 (PDE1), MATH 355 (Honours Analysis 4) ou équivalent

Noter: Si vous prévoyez de suivre ce cours sans suivre MATH 580, veuillez consulter l'instructeur.

Descriptif du calendrier : Systèmes de lois de conservation et invariants de Riemann. Le théorème de Cauchy-Kowalevskaya, alimente les solutions en série. Distributions et transformations. Introduction des solutions faibles aux espaces Sobolev avec applications. Équations elliptiques, théorie de Fredholm et spectres d'opérateurs elliptiques. Équations paraboliques et hyperboliques du second ordre. D'autres sujets avancés peuvent être inclus.

Devoirs: Attribué et noté environ toutes les deux semaines.

Séminaires faiblement : Nous organiserons des séminaires hebdomadaires sur les résultats standard de l'analyse et de la géométrie, et d'autres sujets liés au cours.

Projet de cours : Le projet de cours consiste en la lecture par l'étudiant d'un article ou d'une monographie sur un sujet avancé, en tapant des notes et en donnant une conférence.

Classement : La note finale sera la moyenne pondérée des devoirs 20 %, l'examen de mi-session à la maison 30 % et le projet de cours 50 %.


Mathématiques 234

Le cours est maintenant terminé ! Merci pour votre participation. L'examen final aura lieu mercredi prochain (6/6/07) de 19h à 21h à Lunt 105.
Il y aura des heures de bureau exceptionnelles lundi prochain (6/4/07) de 13h30 à 15h. Travaillez avant ce jour-là, reposez-vous le mardi ! Bonne chance.

Une bouteille Klein ressemble à ceci : Bouteille Klein.

Programme :

Les devoirs vous aideront à comprendre le cours. Les quiz seront basés sur eux.

Chapitre 11 : Intégrales multiples (une section par jour) [Devoir de devoir]

11.1 Intégrales doubles [9,11,13,17,19,26,31,33,43,47,49,51]
11.2 Aire, volume et centre de masse [Exemples 2.2, 7, 15, 26, 28]
11.3 Intégrales doubles en coordonnées polaires [Exemple 3.3, Exemple 3.5, 9, 12, 16, 26, 30]
11.4 Superficie [2, 3, 9, 17]
11.5 Intégrales triples [Exemple 5.1, Exemple 5.3, Exemple 5.5, 22, 37]
11.6 Coordonnées cylindriques [Exemple 6.5, 13, 17, 25, 33, 37]
11.7 Coordonnées sphériques [Exemple 7.3, 25, 31, 33, 37, 39, 53, 57]
11.8 Changement de variables dans des intégrales multiples [1, 5, 11, 13, 17, 27, 29]
Avis : 13/04/2007

Chapitre 11 : Calcul vectoriel (environ un jour et demi par section) [Devoir]

12.1 Champs vectoriels [3, 5, 9, 11, 13, 17, 27, 29, 35, 39, 47, 51]
12.2 Boucle et divergence [1, 5, 9 , 13, 19, 27, 31, 33, 35, 41, 45, 49]
12.3 Intégrales de droite [1, 7, 11, 17, exemple 3.7, exemple 3.9, 25, 27, 29, 37, 39, 41, 55 var13 -->, 57]
12.4 Indépendance du chemin et des champs de vecteurs conservateurs [1, 3, 7, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47]
12.5 Théorème de Green [1, 3, 7, 11, 15, 25, 33, 35]
Avis : 09/05/2007
Examen intermédiaire II : 14/05/2007
12.6 Intégrales surfaciques [Exemple 6.3 (b), Exemple 6.5, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 33, Exemple 6.7, 37, 39, 41]
12.7 Le théorème de divergence [Exemple 7.2, 1, 5, 7, 9, 17, 19, 25]
12.8 Théorème de Stokes [Exemple 8.2, Exemple 8.3, 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21]
12.9 Applications du calcul vectoriel [Pas de devoirs]

Semaine de lecture (Revue) : 30/05/2007 et 01/06/07

Examen Final : 6/6/07 19:00-21:00 Lunt 105

Enseignant : Bruno Vallette

Assistants d'enseignement :

Livres de texte :

Calcul : Concepts et connexions, chapitres 11-12, par R. Smith et R. Minton, McGraw Hill.

Séances de quiz :

Il y aura 6 quiz mais seuls les 5 meilleurs seront pris en compte.
13h00-13h50 Jeudi, Lunt 105 (Qian Ding), Lunt 103 (Randy Qian)

Classement :

Examen final 200 points, examens de mi-session 100 points chacun, quiz 20 points chacun.

Examens:

Pour être dispensé d'un examen, sauf en cas de maladie subite, vous devez vous arranger au moins 24 heures avant la date prévue de l'examen. Quiconque manque un examen sans s'être préalablement arrangé pour le faire recevra 0 point. Je ne donne pas d'examens de rattrapage.

100 intégrales :

Vous devriez être capable de suivre les 100 intégrales. Puisque le but de ce cours est d'apprendre les intégrales multiples, nous utiliserons toutes les méthodes temporelles des intégrales unidimensionnelles.


4.10 : Théorème de Stokes - Mathématiques

Instructeur: Dr Gantumur Tsogtgerel

Prérequis: MATH 580 (PDE1), MATH 355 (Honours Analysis 4) ou équivalent

Noter: Si vous prévoyez de suivre ce cours sans suivre MATH 580, veuillez consulter l'instructeur.

Les sujets: Le cours portera principalement sur les problèmes non linéaires. Les espaces de Sobolev, la transformée de Fourier et les méthodes d'analyse fonctionnelle seront largement utilisés.

Descriptif du calendrier : Systèmes de lois de conservation et invariants de Riemann. Le théorème de Cauchy-Kowalevskaya, alimente les solutions en série. Distributions et transformations. Introduction des solutions faibles aux espaces Sobolev avec applications. Équations elliptiques, théorie de Fredholm et spectres d'opérateurs elliptiques. Équations paraboliques et hyperboliques du second ordre. D'autres sujets avancés peuvent être inclus.

Devoirs: Attribué et noté environ toutes les deux semaines.

Séminaires faiblement : Nous organiserons des séminaires hebdomadaires sur les résultats standard de l'analyse et de la géométrie, et d'autres sujets liés au cours.

Projet de cours : Le projet de cours consiste en la lecture par l'étudiant d'un article ou d'une monographie sur un sujet avancé, en tapant des notes et en donnant une conférence.


Calcul III :

Dans cette section, nous déterminerons les intégrales de ligne par rapport à x, ou y, ou à la fois x et y.

Commençons par une courbe bidimensionnelle C avec paramétrage :

L'intégrale droite de f par rapport à x est :

L'intégrale droite de f par rapport à y est :

Avec x'(t) = dx(t)/dt, et y'(t) = dy(t)/dt

Notez que la seule différence notationnelle entre ces deux et l'intégrale de ligne par rapport à la longueur de l'arc est le différentiel. Ceux-ci ont un dx ou dy tandis que la ligne intégrale par rapport à la longueur de l'arc a un ds.

Donc, lors de l'évaluation des intégrales de ligne, veillez à noter d'abord quel différentiel vous avez afin de ne pas travailler le mauvais type d'intégrale de ligne.

Ces deux intégrales apparaissent souvent ensemble sous la forme :

Exemple 1

Évaluons ∫C x 2 y dx + cos (πy/2) dy où C est le segment de droite de (0,1) à (2,4).

Le paramétrage de la courbe est :

x(t) = 0(1 - t) + t (2) = 2t
y(t) = 1(1 - t) + t (4) = 3t + 1

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy =
0 1 4t 2 (3t + 1) (2 dt) + cos ((3t + 1)π/2) (3 dt) =
8 ∫0 1 (3t 3 + t 2 ) dt + 30 1 cos ((3t + 1)π/2) dt =
8((3/4)t 4 + (1/3)t 3 )|0 1 + 3 (2/3π) sin ((3t + 1)π/2)|0 1 =
8((3/4) + (1/3)) + (2/π) [ sin ((3 + 1)π/2) - sin ((1)π/2)] =
26/3 + (2/π) [0 - 1] =
26/3 - 2/π.

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy = 26/3 - 2/π

Exemple 2

Nous savons que changer la direction de la courbe pour une ligne intégrale par rapport à la longueur de l'arc ne change pas la valeur de l'intégrale. Voyons ce qui se passe avec les intégrales linéaires par rapport à x et/ou y. Évaluons ∫C x 2 y dx + cos (πy/2) dy où C est le segment de droite de (2,4) à (0,1).

Le paramétrage de la courbe est :

x(t) = 2(1 - t) + t (0) = 2 - 2t
y(t) = 4(1 - t) + t (1) = 4 - 3t

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy =
0 1 (2 - 2t) 2 (4 - 3t) (- 2 dt) + cos ((4 - 3t)π/2) (- 3 dt) =
8 ∫0 1 (t - 1) 2 (3t - 4) dt - 3 cos ((3t - 4)π/2) dt =
8 ((3/4)t 4 - (10/3)t 3 - (11/2)t 2 - 4t]|0 1 ) dt - 3 (2/3π) sin((3t - 4)π/2)|0 1 =
8((3/4)t 4 - (10/3)t 3 ) - (11/2)t 2 - 4t]|0 1 dt - 3 (2/3π) sin((3t - 4)π/2)|0 1 =
8 (- 13/12) - (2/π) [- 1 - 0] =
- 26/3 + 2/π

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy = - 26/3 + 2/π

Ainsi, le changement de direction de la courbe conduit au signe opposé de la valeur du premier exemple 1. En fait, cela se produira toujours avec ces types d'intégrales de ligne :

Avec la forme combinée de ces deux intégrales, on a :

-C P(x,y) dx + Q(x,y) dy = - ∫C P(x,y) dx + Q(x,y) dy

2. Intégrales linéaires sur des courbes tridimensionnelles

Nous pouvons étendre les formules d'intégrales de ligne aux courbes tridimensionnelles

L'intégrale droite de f par rapport à x est :

L'intégrale droite de f par rapport à y est :

L'intégrale droite de f par rapport à z est :

x'(t) = dx(t)/dt, y'(t) = dy(t)/dt et z'(t) = dz(t)/dt
a t b

Comme pour l'espace à deux dimensions, ces trois éléments se produiront souvent ensemble et auront la forme :


Meilleure critique de l'Inde

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Meilleures critiques d'autres pays

Ce texte suit le protocole moderne typique du calcul avancé consistant à introduire les théorèmes du calcul vectoriel dans le langage des formes différentielles, sans avoir à aller trop loin dans la théorie des variétés, la géométrie différentielle traditionnelle, la notation tensorielle basée sur la physique ou tout autre élément nécessitant une pile de prérequis au-delà les lignes directrices habituelles d'algèbre linéaire et de maturité.

Bien qu'il ne possède pas la rigueur des volumes magistraux de Callahan ou de Bressoud sur le sujet, ce manuel convient bien aux programmes n'ayant pas besoin d'un niveau de profondeur supérieur pour ces sujets et qui ne se situent pas dans le pourcentage le plus élevé du niveau supérieur des universités qui peuvent manipuler un Steenrod ou un Sternberg. Néanmoins, ce volume beaucoup plus court et bien écrit remplit toujours le rôle de calcul avancé moderne avec une introduction plus douce aux espaces tangents, aux formes et à tout le reste "des ensembles à Stokes".

C'est à un niveau plus élevé que le "Calculus Two" de Flanigan/Kazdan, mais il est toujours approprié pour un cours de calcul III de niveau spécialisé ou comme texte de dessert tagalong à servir avec le matériel d'intro topologie/analyse typique rencontré dans "intro to proofs" " Des cours qui surgissent de nos jours. J'adore lire ceci aux côtés de la "théorie du mensonge naïf" de Stillwell pour le ton détendu et les problèmes de qualité du bonnet de nuit, mais ce texte est le plus approprié pour un cours de premier cycle et devrait être complété s'il est utilisé comme guide d'introduction à la théorie des variétés pour le chercheur indépendant (Cela étant dit, je ne suis pas du tout gêné d'admettre que cela se trouve toujours sur mon étagère de recherche principale dans mon étude !).

En résumé, ce grand texte devrait être approché par les instructeurs à la recherche d'un bon texte sur le calcul III ou d'une introduction de calibre inférieur aux formes et aux variétés (bien qu'il doive être complété par la théorie du mensonge naïf de Stillwell ou le texte similaire de Tapp s'il est utilisé à cette fin ).


Voir la vidéo: Pythagoraan lause (Décembre 2021).