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13.9 : Discuter : Application logique - Mathématiques


Choisissez un problème réel et essayez de le résoudre en utilisant ce que vous avez appris sur la logique dans ce module. Présentez le problème et la solution au reste de la classe. Affichez les problèmes postés par vos camarades de classe et répondez à au moins deux. Lisez les instructions d'application logique pour des instructions détaillées.

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Critères de classementPoints possibles
Le problème:
  • Est-ce un problème réel ?
  • Est-ce difficile, pas trivial ?
  • Est-ce un problème unique au lieu d'une copie de la publication d'un camarade de classe ?
5
Les stratégies :
  • Une ou plusieurs stratégies générales de résolution de problèmes sont-elles utilisées ?
  • Les stratégies sont-elles correctement identifiées ?
5
La présentation:
  • Le problème est-il bien expliqué ?
  • Les stratégies de résolution de problèmes sont-elles bien expliquées ?
  • Les termes appropriés sont-ils utilisés ?
4
Vos réponses :
  • Avez-vous posté au moins deux réponses ?
  • Avez-vous expliqué comment les exemples vous ont aidé à mieux comprendre les mathématiques dans ce module ?
  • Avez-vous posé des questions pour obtenir des éclaircissements ou fait des suggestions sur la façon de modifier ou d'améliorer la publication d'origine de la candidature ou toute autre publication de suivi ?
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  • Mathématiques pour les arts libéraux I.

    La logique et comment elle devrait influencer notre enseignement

    Dans un article complémentaire Logique, nous énonçons la définition de la logique comme la science du raisonnement, de la preuve, de la pensée ou de l'inférence (selon l'Oxford Compact English Dictionary). C'est la capacité de raisonner qui est au cœur de la pensée logique. Pour beaucoup d'entre nous, ces capacités de raisonnement sont souvent mises à l'épreuve lors des disputes. Être capable de raisonner est clairement une compétence précieuse ! Mais est-ce quelque chose que nous devrions « enseigner » ? Les enfants apprennent-ils à former des arguments logiques au sein de la maison ?

    Clotilde Pontecorvo et Laura Sterponi ont mené des recherches pour étudier « comment les jeunes enfants italiens sont socialisés au discours argumentatif » qu'ils résument dans le livre « Apprendre pour la vie au 21e siècle ». Ils ont abordé la discussion argumentative comme étant des modes de raisonnement utilisés lors de différentes activités de discours dans une gamme de contextes. Les deux contextes qu'ils ont choisis étaient une activité narrative dans une école maternelle (les enfants avaient tous entre 3 et 5 ans) et des conversations de dîner en famille.

    Dans le cadre scolaire, le récit a toujours été construit conjointement afin que les enfants n'acceptent pas les points de vue opposés de l'autre mais les utilisent pour reformuler des idées. La discussion a suivi des schémas complexes impliquant l'utilisation d'énoncés hypothétiques avec des conséquences négatives ou contrefactuelles possibles. Par exemple, dans l'histoire lue par les enfants, une fille s'était enfuie. Une discussion s'ensuit sur son âge. Un garçon a suggéré qu'elle ne pouvait pas être trop jeune (déclaration hypothétique ) parce qu'alors elle n'aurait pas été assez intelligente pour s'enfuir (conséquence contre-factuelle ).

    À table, l'enfant travaille à nouveau en collaboration pour produire un récit. Cependant dans cette situation, les rôles des participants changent et cela nécessite l'utilisation de processus cognitifs plus complexes. Cela est dû à la nature des relations au sein d'une famille. Plus les gens qui vous entourent sont familiers, plus vous êtes prêt à prendre des risques pour exprimer une opinion. Souvent à la maison, le discours argumentatif est lié à la violation des règles. Cela produit un modèle d'énoncés conditionnels avec des conséquences négatives avec lesquels les enfants se familiarisent. Par exemple, dans l'étude, la mère avertit sa fille de 3 ans qu'elle ne doit pas s'endormir tard (instruction conditionnelle ) parce que lorsqu'elle l'avait fait une fois précédente, cela l'avait rendue malade (conséquence négative ).

    Pontecorvo et Sterponi suggèrent que ces deux structures de discussion (l'une se déroulant à la maison, l'autre à l'école) sont en fait très similaires. Ainsi, avant d'aller à l'école, les enfants auront déjà expérimenté des schémas de raisonnement compliqués.

    Alors, comment cela nous affecte-t-il en tant qu'enseignants? Lorsque les enfants s'engagent dans le récit en tant que membre d'un groupe, leurs points de vue contrastés conduisent à un niveau élevé de révision et d'amélioration, et grâce à ce processus, ils deviennent plus conscients de la « réflexion ». Offrir des opportunités pour ce type de récit dans nos salles de classe est vital, mais la façon dont nous les traitons est tout aussi importante. L'enseignant doit essayer d'être réceptif aux contributions des enfants, peut-être en les reflétant, tout en facilitant la "multi-voix". Si nous pouvons construire avec les enfants des relations qui favorisent la familiarité et la facilité, tout en encourageant ce type d'interaction entre les élèves eux-mêmes, alors la qualité du raisonnement sera améliorée.

    Pensée logique dans la leçon de mathématiques

    Il ne fait aucun doute que la capacité de penser logiquement est une pierre angulaire des mathématiques. Y a-t-il quelque chose que nous puissions faire pour encourager et développer cette compétence dans un contexte mathématique ?

    Anne Watson et John Mason décrivent leur vision des mathématiques comme étant basée sur les structures des mathématiques pures et de la pensée mathématique. Dans n'importe quel sujet en mathématiques, il existe de nombreux types d'énoncés différents qui peuvent être faits. Les déclarations relatives à un sujet particulier pourraient être appelées sa structure.


    Fondements des mathématiques

    Les mathématiques sont la science de la quantité. Traditionnellement, il y avait deux branches des mathématiques, l'arithmétique et la géométrie, traitant de deux types de quantités : les nombres et les formes. Les mathématiques modernes sont plus riches et traitent d'une plus grande variété d'objets, mais l'arithmétique et la géométrie sont toujours d'une importance centrale.

    Les fondements des mathématiques sont l'étude des concepts les plus fondamentaux et de la structure logique des mathématiques, dans le souci de l'unité de la connaissance humaine. Parmi les concepts mathématiques les plus élémentaires figurent : nombre, forme, ensemble, fonction, algorithme, axiome mathématique, définition mathématique, preuve mathématique.

    Le lecteur peut raisonnablement se demander pourquoi les mathématiques apparaissent dans ce volume. Les mathématiques ne sont-elles pas un sujet trop étroit ? La philosophie des mathématiques n'est-elle pas d'un intérêt assez spécialisé, d'autant plus par rapport aux grandes questions humanistes de la philosophie proprement dite, des questions telles que le bien, le vrai et le beau ?

    Il y a trois raisons de discuter des mathématiques dans un volume de philosophie générale :

    1. Les mathématiques ont toujours joué un rôle particulier dans la pensée scientifique. La nature abstraite des objets mathématiques présente des défis philosophiques inhabituels et uniques.
    2. Les fondements des mathématiques sont une matière qui a toujours fait preuve d'un niveau de sophistication technique inhabituellement élevé. Pour cette raison, de nombreux penseurs ont conjecturé que les fondements des mathématiques peuvent servir de modèle ou de modèle pour les fondements d'autres sciences.
    3. La philosophie des mathématiques a servi de banc d'essai très articulé où les mathématiciens et les philosophes peuvent explorer comment diverses doctrines philosophiques générales jouent 13 dans un contexte scientifique spécifique.

    Le but de cette section est d'indiquer le rôle de la logique dans les fondements des mathématiques. Commençons par quelques remarques sur la géométrie d'Euclide. Nous décrivons ensuite quelques théories formelles modernes pour les mathématiques.

    La géométrie d'Euclide

    Au-dessus de la porte de l'académie de Platon figurait une inscription célèbre :

    Dans les Analyses postérieures [13], Aristote a posé les bases de la méthode scientifique. 14 L'essence de la méthode est d'organiser logiquement un champ de connaissance au moyen de concepts primitifs, d'axiomes, de postulats, de définitions et de théorèmes. La majorité des exemples d'Aristote de cette méthode sont tirés de l'arithmétique et de la géométrie [1,7,9].

    Les idées méthodologiques d'Aristote ont influencé de manière décisive la structure et l'organisation du traité monumental d'Euclide sur la géométrie, les Éléments [8]. Euclide commence par 21 définitions, cinq postulats et cinq notions communes. Après cela, le reste des Éléments est une structure déductive élaborée composée de centaines de propositions. Chaque proposition est justifiée par sa propre démonstration. Les démonstrations sont sous forme d'enchaînements de syllogismes. Dans chaque syllogisme, les prémisses sont identifiées comme issues des définitions, des postulats, des notions communes et des propositions précédemment démontrées. Par exemple, dans le livre I des Éléments, la démonstration de la proposition 16 ("dans tout triangle, si l'un des côtés est produit, l'angle extérieur est plus grand que l'un des angles intérieur et opposé") est une chaîne de syllogismes avec le postulat 2, la notion commune 5 et les propositions 3, 4 et 15 (``si deux droites se coupent, elles rendent les angles verticaux égaux'') se produisant comme prémisses. Il est vrai que les syllogismes d'Euclide ne sont pas toujours strictement conformes aux gabarits aristotéliciens. Cependant, les normes de rigueur sont très élevées, et l'influence d'Aristote est évidente.

    La logique d'Aristote et la géométrie d'Euclide sont universellement reconnues comme des réalisations scientifiques imposantes de la Grèce antique.

    Théories formelles pour les mathématiques

    Une théorie formelle de la géométrie

    Avec l'avènement du calcul aux 17e et 18e siècles, les mathématiques se sont développées très rapidement et avec peu d'attention aux fondements logiques. La géométrie d'Euclide était encore considérée comme un modèle de rigueur logique, un brillant exemple de ce à quoi devrait idéalement ressembler une discipline scientifique bien organisée. Mais les prolifiques mathématiciens des Lumières tels que Leonhard Euler n'ont montré presque aucun intérêt à essayer de placer le calcul sur une base tout aussi solide. Ce n'est que dans la seconde moitié du 19e siècle que les scientifiques ont commencé à s'attaquer sérieusement à ce problème fondamental. La crise qui en a résulté a eu des conséquences de grande envergure. Même la géométrie d'Euclide elle-même a fait l'objet d'un examen critique. Des géomètres tels que Moritz Pasch ont découvert ce qu'ils considéraient comme des lacunes ou des inexactitudes dans les Éléments. De grands mathématiciens tels que David Hilbert sont entrés dans la mêlée.

    Un résultat de toute cette activité fondamentale a été un remaniement complet de la géométrie, cette fois comme une collection de théories formelles au sein du calcul des prédicats. Des informations décisives ont été obtenues par Alfred Tarski. Nous allons esquisser la théorie formelle de Tarski pour la géométrie plane euclidienne. 16

    Comme ses prédicats primitifs, Tarski prend (``point''), (``entre''), (``distance''), (``identité''). Les formules atomiques , , , et signifient `` est un point'', `` se situe entre et '', `` la distance de à est égale à la distance de à '', et `` est identique à '', respectivement . Les objets géométriques autres que les points, tels que les segments de droite, les angles, les triangles, les cercles, etc., sont traités au moyen des primitives. Par exemple, le cercle de centre et de rayon se compose de tous les points tels qu'ils sont valables.

    En géométrie, deux points et sont considérés comme identiques si la distance entre eux est nulle. Tarski exprime cela au moyen d'un axiome

    Au total, Tarski présente douze axiomes, plus une collection supplémentaire d'axiomes exprimant l'idée qu'une ligne est continue. L'énoncé complet des axiomes de Tarski pour la géométrie plane euclidienne est donné à [10, pages 19-20]. Soit la théorie formelle basée sur les axiomes de Tarski.

    Remarquablement, Tarski a démontré qu'il est complet. Cela signifie que, pour tout énoncé purement géométrique , soit ou est un théorème de . On voit ainsi que les axiomes de suffisent à répondre à toutes les questions oui/non de la géométrie plane euclidienne. En combinant cela avec le théorème de complétude de Gödel, nous trouvons que c'est décidable : il existe un algorithme 18 qui accepte comme entrée une déclaration arbitraire de géométrie euclidienne plane, et renvoie « vrai » si la déclaration est vraie, et « » faux'' s'il est faux. C'est un triomphe de la recherche fondamentale moderne.

    Une théorie formelle pour l'arithmétique

    Par arithmétique, nous entendons l'arithmétique de l'école primaire, c'est-à-dire l'étude des nombres entiers positifs , , , . ainsi que les opérations familières d'addition ( ) et de multiplication ( ). Cette partie des mathématiques est évidemment fondamentale, mais elle s'avère étonnamment compliquée. Ci-dessous, nous écrivons quelques-uns des axiomes qui entrent dans une théorie formelle de l'arithmétique. 19

    Nos prédicats primitifs pour l'arithmétique sont (``nombre''), (``addition''), (``multiplication''), (``identité''). Les formules atomiques , , , signifient `` est un nombre'', `` '', `` '', `` '', respectivement. Nos axiomes utiliseront les prédicats , , , pour affirmer que pour tout nombre donné et , les nombres et existent toujours et sont uniques. Nous aurons aussi des axiomes exprimant quelques lois arithmétiques bien connues :


    lois de substitution : si et est un nombre alors est un nombre, etc.
    lois commutatives : et .
    lois associatives : et .
    loi distributive : .
    loi de comparaison : si et seulement si, pour certains , ou .
    loi unitaire : .
    Soit la théorie formelle spécifiée par les primitives et les axiomes ci-dessus.

    On sait que cela suffit pour dériver de nombreux faits arithmétiques familiers. Par exemple, peut être exprimé, maladroitement 20 pour être sûr, comme ou

    En revanche, les axiomes de ne sont nullement exhaustifs. Ils peuvent être complétés par d'autres axiomes exprimant ce qu'on appelle le principe d'induction mathématique ou le principe des moindres nombres : s'il existe un nombre ayant une propriété bien définie, alors parmi tous les nombres ayant la propriété, il y en a un plus petit. La théorie formelle qui en résulte est remarquablement puissante, en ce sens que ses théorèmes incluent pratiquement tous les faits arithmétiques connus. Mais il n'est pas aussi puissant qu'on pourrait le souhaiter. En effet, toute théorie formelle qui l'inclut est nécessairement soit incohérente 22 soit incomplète. Il n'y a donc aucun espoir d'écrire suffisamment d'axiomes ou de développer un algorithme pour décider de tous les faits arithmétiques. Il s'agit d'une variante du célèbre théorème d'incomplétude de 1931 de Gödel [5,22]. Il existe plusieurs méthodes pour faire face au phénomène d'incomplétude, et cela constitue un domaine de recherche actuellement actif dans les fondements des mathématiques.

    Le contraste entre la complétude de la géométrie formelle et l'incomplétude de l'arithmétique formelle est frappant. Les deux côtés de cette dichotomie présentent un intérêt philosophique évident.

    Une théorie formelle des ensembles

    L'un des objectifs de la recherche logique moderne est de concevoir une théorie formelle unique qui unifiera toutes les mathématiques. Une telle théorie sera nécessairement soumise au phénomène d'incomplétude de Gödel, car elle incorporera non seulement mais aussi .

    Une approche des mathématiques unifiées consiste à intégrer directement l'arithmétique dans la géométrie, en identifiant des nombres entiers avec des points régulièrement espacés sur une ligne. Cette idée était familière aux anciens Grecs. Une autre approche consiste à expliquer la géométrie en termes d'arithmétique et d'algèbre, au moyen de systèmes de coordonnées, comme la latitude et la longitude sur une carte. Cette idée remonte au mathématicien et philosophe du XVIIe siècle René Descartes et au mathématicien du XIXe siècle Karl Weierstrass. Les deux approches donnent lieu essentiellement à la même théorie formelle, connue sous le nom d'arithmétique du second ordre. 23 Cette théorie comprend à la fois et et est adéquate pour la majeure partie des mathématiques modernes. Ainsi, la décision de rendre la géométrie plus fondamentale que l'arithmétique ou vice versa semble être principalement une question de goût.

    Une approche très différente des mathématiques unifiées passe par la théorie des ensembles. C'est une approche singulièrement du 20e siècle. Il repose sur un concept d'apparence très simple : les décors. Remarquablement, ce seul concept mène directement à une vaste structure qui englobe toutes les mathématiques modernes.

    Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments de l'ensemble. Nous utilisons parfois des notations informelles telles que pour indiquer qu'il s'agit d'un ensemble composé d'éléments , , . Le nombre d'éléments dans un ensemble peut être arbitrairement grand ou même infini. Un principe de base de la théorie des ensembles est qu'un ensemble est déterminé par ses éléments. Ainsi deux ensembles sont identiques si et seulement s'ils ont les mêmes éléments. Ce principe est connu sous le nom d'extensionnalité. Par exemple, l'ensemble est considéré comme étant le même que parce que les éléments sont les mêmes, même s'ils sont écrits dans un ordre différent.

    Une grande partie de la complexité de la théorie des ensembles provient du fait que les ensembles peuvent être des éléments d'autres ensembles. Par exemple, l'ensemble est un élément de l'ensemble et celui-ci est distinct de l'ensemble .

    Pour une théorie formelle des ensembles, nous utilisons trois primitives : (``set''), (``identity''), (``element''). Les formules atomiques , , signifient `` est un ensemble'', `` est identique à '', `` est un élément de '', respectivement. L'une des règles de base de la théorie des ensembles est que seuls les ensembles peuvent avoir des éléments. Ceci est exprimé sous forme d'axiome. De plus, il existe un axiome d'extensionnalité

    L'approche de la théorie des ensembles à l'arithmétique est en termes de nombres entiers non négatifs , , , , . Ces numéros sont identifiés par des ensembles spécifiques. A savoir, on s'identifie avec l'ensemble vide , avec , avec , avec , etc. En général, on identifie le nombre avec l'ensemble des plus petits nombres . Parmi les axiomes de est un axiome d'infini affirmant l'existence de l'ensemble infini. On peut utiliser l'ensemble pour montrer qui inclut une théorie équivalente à . Après cela, on peut suivre les idées de Descartes et Weierstrass pour voir que cela inclut également une théorie équivalente à . Il s'avère que le reste des mathématiques modernes peut également être imité à l'intérieur de . Cela inclut une théorie élaborée des ensembles infinis qui sont beaucoup plus grands que .

    L'approche ensembliste de l'arithmétique et de la géométrie est certes quelque peu artificielle. Cependant, l'idée de fonder toutes les mathématiques sur un concept simple, les ensembles, a exercé une puissante attraction. 24 Les implications de cette idée ne sont pas encore entièrement comprises et font l'objet de recherches actuelles.


    13.9 : Discuter : Application logique - Mathématiques

    Mathématiques a été le fléau de la vie de nombreux étudiants (y compris la mienne.) Depuis sans doute sa création. D'autre part, L'informatique est assez intéressant et les étudiants l'étudient dans l'espoir de devenir le prochain prodige de la programmation. Mais attendez, c'est vraiment si simple. Non, mes amis, ce n'est pas…. L'informatique est en fait assez étroitement liée aux mathématiques.

    Pendant de nombreuses années, il y a eu beaucoup de débats sur l'importance des mathématiques en informatique. Certains pensent qu'il n'ajoute que peu de valeur à l'informatique tandis que d'autres (principalement la majorité !) pensent que c'est la base sur laquelle l'informatique est construite. Selon l'Université d'Oxford :

    Les mathématiques sont un outil intellectuel fondamental en informatique, mais l'informatique est également de plus en plus utilisée comme élément clé dans la résolution de problèmes mathématiques.

    Même si les mathématiques ont une telle valeur, la question se pose toujours.Pourquoi les mathématiques sont-elles si importantes en informatique ?” Alors concentrons-nous là-dessus maintenant.

    Pourquoi les mathématiques sont-elles si importantes en informatique ?

    Imaginez le Burj Khalifa (le plus haut bâtiment du monde). Maintenant, quelle est la partie la plus importante de ce bâtiment ? Non, non ce n'est pas la hauteur (enfin, ça aussi !) mais surtout sa fondation. Si le Burj Khalifa n'avait pas eu une base solide, il aurait été assez bancal et beaucoup plus susceptible de tomber que de rester debout !!

    Maintenant, au cas où vous vous poseriez des questions sur cette histoire hors sujet, les mathématiques sont la base sur laquelle l'informatique est construite (Burj Khalifa & #8230compris ?!). En fait, on peut même dire que l'informatique est le sous-ensemble des sciences mathématiques en général. Comment? Eh bien, quelques points qui le démontrent sont donnés ci-dessous:

    1. Les mathématiques discrètes sont le fondement de l'informatique

    Avez-vous déjà entendu parler de la notation logique, de la théorie des ensembles, de la combinatoire, de la théorie des graphes, des probabilités, de la théorie des nombres, de l'algèbre, etc. ? Ne soyez pas débordé, tout cela fait partie des mathématiques discrètes et constitue également une base de base pour la programmation et l'informatique (et cela signifie que vous devez les étudier pour l'informatique. ).

    L'algèbre en est un bon exemple. Alors que l'algèbre booléenne est utilisée dans les portes logiques, l'algèbre relationnelle est utilisée dans les bases de données. Au cas où vous auriez besoin d'un autre exemple, la théorie des nombres a de multiples applications en cryptographie et en cryptanalyse. (Voir l'importance encore?!)

    2. Les mathématiques enseignent l'utilisation des algorithmes

    Les algorithmes sont une partie fondamentale de l'informatique et vous devez tous en avoir entendu parler d'une manière ou d'une autre (sinon, vous devez réétudier. ). Il s'agit essentiellement d'un ensemble d'instructions qui illustrent la mise en œuvre d'un programme ou d'une application.

    Maintenant, où avez-vous utilisé un algorithme pour la première fois ? Ce n'était pas le cours d'informatique mais en fait le cours de mathématiques ! Ne me croyez pas. Eh bien, 𔄚 + 3 = 5” est un algorithme de base que vous avez appris en cours de mathématiques et qui démontre la somme de 2 et 3. Les mathématiques sont en fait très importantes pour apprendre l'utilisation de base des algorithmes utilisés sous une forme avancée en informatique. La science.

    3. Les mathématiques fournissent les compétences analytiques requises en informatique

    Des compétences analytiques sont nécessaires pour la résolution de problèmes et l'analyse des données. Et devinez où vous utilisez ces compétences pour la première fois ? Mathématiques. Oui, les mathématiques vous obligent toujours à analyser vos équations et à comprendre le flux de dérivation au cas où une erreur serait commise. Cette erreur doit être corrigée afin d'obtenir la solution finale.

    Cela fournit de nombreuses compétences analytiques qui peuvent être utilisées plus tard pour trouver et corriger des bogues. Même s'il existe des outils modernes capables de faire ce travail automatiquement, l'expérience et les connaissances acquises sur le déroulement du programme et le débogage sont inestimables.

    4. Des concepts mathématiques sont requis dans de nombreuses disciplines de l'informatique

    L'informatique est un terme générique qui contient de nombreuses disciplines telles que les systèmes d'exploitation, les bases de données, les réseaux, l'intelligence artificielle, les systèmes embarqués, l'analyse de données….je dois continuer. Et bien qu'il existe certaines disciplines que vous pouvez maîtriser avec une connaissance minimale des mathématiques, la plupart d'entre elles nécessitent au moins un certain niveau de compétence.

    Par exemple, des domaines tels que l'intelligence artificielle et l'apprentissage automatique nécessitent une connaissance approfondie des concepts mathématiques tels que l'algèbre linéaire, le calcul multivariable, la théorie des probabilités, etc. (Et cela rend les mathématiques assez importantes. )

    Alors, quelle est la conclusion?

    Les mathématiques sont-elles vraiment nécessaires en informatique ? Eh bien, certains diront que cela dépend du travail. Par exemple : Créer un blog sur l'alimentation ne nécessite pas forcément de connaissances en mathématiques. Mais créer un blog réussi est une tout autre chose. Cela nécessite de se concentrer sur les préférences du public, la popularité des sujets, les notes des articles, etc. Et devinez ce que les mathématiques sont nécessaires pour tout cela.

    Alors oui, les mathématiques sont présentes dans le fondement de l'informatique. Et si vous voulez réussir dans n'importe quelle discipline de l'informatique, il vaut mieux inculquer l'amour des mathématiques car cela vous aidera énormément.


    Applications des portes logiques

    Les applications de Logic Gates sont :

    • Les portes NAND sont utilisées dans les alarmes antivol et les buzzers.
    • Ils sont essentiellement utilisés dans les circuits impliquant le calcul et le traitement.
    • Ils sont également utilisés dans les interrupteurs à bouton-poussoir. Par exemple. Sonnette de porte.
    • Ils sont utilisés dans le fonctionnement des lampadaires.
    • Les portes ET sont utilisées pour activer/inhiber la fonction de transfert de données.
    • Ils sont également utilisés dans les circuits TTL (Transistor Transistor Logic) et CMOS.

    Poursuites et expressions courantes

    Les personnes ayant un style logique fort sont susceptibles de suivre des activités telles que les sciences, les mathématiques, la comptabilité, le travail de détective, le droit et la programmation informatique.

    Vous êtes plus susceptible d'utiliser des phrases qui reflètent votre style le plus dominant parmi les styles visuel, auditif ou physique, mais vous pouvez également utiliser des phrases comme celles-ci :

    • C'est logique.
    • Suivez le processus, la procédure ou les règles.
    • Il n'y a pas de modèle à cela.
    • Faisons une liste.
    • Nous pouvons nous en sortir.
    • Quantifiez-le, ou prouvez-le !

    13.9 : Discuter : Application logique - Mathématiques

    Une traduction suédoise de cette page est disponible sur Science Blog : https://www.expertoautorecambios.es/science/?p=998 .

    Une traduction estonienne de cette page est disponible sur :

    Une traduction portugaise de cette page est disponible sur :

    La logique s'intéresse aux formes de raisonnement. Étant donné que le raisonnement est impliqué dans la plupart des activités intellectuelles, la logique est pertinente pour un large éventail d'activités. L'étude de la logique est essentielle pour les étudiants en informatique. Il est également très précieux pour les étudiants en mathématiques et pour ceux qui utilisent des preuves mathématiques, par exemple les étudiants en linguistique. Dans le processus de raisonnement, on fait des inférences. Dans une inférence, on utilise un ensemble d'énoncés, les prémisses, pour justifier un autre énoncé, la conclusion. Les types d'inférences les plus fiables sont les inférences déductives, dans lesquelles la conclusion doit être vraie si les prémisses le sont. Rappelons la géométrie élémentaire : en supposant que les postulats sont vrais, nous prouvons que d'autres affirmations, comme le théorème de Pythagore, doivent également être vraies. Les preuves géométriques et autres preuves mathématiques utilisent généralement de nombreuses inférences déductives.

    La plupart de nos cours de logique incluent des analyses précises des caractéristiques de l'inférence déductive. Ces cours introduisent certains symboles spéciaux dans ce qu'on appelle les « langages formels », mais la logique n'est pas une manipulation de symboles. Les cours enseignent des concepts généraux et des méthodes utiles indépendamment des langages formels. Les étudiants apprennent à construire des preuves en anglais, ainsi que dans un langage formel, de sorte que les concepts et les méthodes appris peuvent être utilisés dans une variété de contextes. On apprend même à prouver des théorèmes sur les langages formels, ce qui est particulièrement important pour l'informatique, la linguistique et certaines branches des mathématiques.

    L'idée d'un ordinateur à usage général, la machine de Turing, a été inventée au cours de recherches en logique. Les programmes informatiques sont écrits dans des langages symboliques spéciaux, par exemple Fortran, C++, Lisp, Prolog. Ces langages contiennent des caractéristiques de symbolisme logique, et Lisp et Prolog sont dérivés de langages formels pour la logique. Grâce à de telles connexions, l'étude de la logique peut aider à la conception de programmes. D'autres techniques mathématiques couvertes dans PHL 313K, par exemple, les définitions récursives, sont largement utilisées dans les programmes. La théorie des ensembles couverte dans PHL 313K est utilisée dans les conceptions de bases de données modernes. Mais l'informatique, ce n'est pas que de la programmation. Il comprend l'analyse logique et mathématique des programmes. Avec de telles analyses, on peut prouver l'exactitude des procédures et estimer le nombre d'étapes nécessaires pour exécuter un programme spécifié. La logique moderne est utilisée dans de tels travaux, et elle est incorporée dans des programmes qui aident à construire des preuves de tels résultats. La logique a également un rôle dans la conception de nouveaux langages de programmation, et elle est nécessaire pour les travaux en intelligence artificielle et en sciences cognitives. Certaines parties de la logique sont utilisées par les ingénieurs dans la conception de circuits.

    Une compréhension des matières enseignées dans PHL 313K est nécessaire pour réussir une majeure en informatique : 1. Tout comme le calcul est utilisé dans les cours d'ingénierie, la logique de base et la théorie des ensembles sont utilisées dans de nombreux cours d'informatique. 2. Les cours CS de la division supérieure ne sont pas des exercices de programmation, ces cours couvrent des principes généraux et nécessitent des preuves mathématiques de ces principes. PHL 313K enseigne les principes et méthodes de base pour construire et évaluer des preuves.

    Les mathématiciens raisonnent sur des concepts abstraits, par exemple, les fonctions continues, les systèmes algébriques tels que les « anneaux » et les espaces topologiques. La plupart des étudiants en mathématiques apprennent à rédiger des preuves sur de telles choses en suivant des exemples dans leurs classes. Cela fait partie de l'apprentissage des mathématiques, mais il est lent et conduit souvent à des confusions. Les majors en mathématiques qui étudient la logique trouvent que cela les aide dans leur réflexion mathématique. Il est utile pour éviter les confusions et utile pour construire des preuves claires et convaincantes. L'étude de la logique est essentielle pour les travaux sur les fondements des mathématiques, qui sont largement concernés par la nature de la vérité mathématique et par la justification des preuves sur les objets mathématiques, tels que les entiers, les nombres complexes et les ensembles infinis. Les majors en mathématiques à l'UT ne sont pas tenus de suivre un cours de logique, mais ceux qui le font rapportent presque toujours qu'il est intéressant et utile.

    PHL 313K est une introduction à la logique, à la théorie des ensembles élémentaires, aux fondements de la théorie des nombres et aux utilisations de l'induction et de la récursivité. Il nécessite une étude sérieuse, mais il couvre un matériel intéressant et utile. Les bons cours de suivi, pour les étudiants intéressés par une logique plus avancée, sont PHL 344K (= M 344K) et PHL 358.


    13.9 : Discuter : Application logique - Mathématiques

    Une analyse de la littérature représentative concernant l'apprentissage inefficace largement reconnu de la «valeur de position» par les enfants américains démontre également un manque généralisé de compréhension du concept de valeur de position parmi les enseignants d'arithmétique des écoles élémentaires et parmi les chercheurs eux-mêmes. Le simple fait de pouvoir utiliser la valeur de position pour écrire des nombres et effectuer des calculs, et pour décrire le processus n'est pas une compréhension suffisante pour pouvoir l'enseigner aux enfants de la manière la plus complète et la plus efficace.

    Une analyse conceptuelle et une explication du concept de « valeur de position » indiquent une méthode plus efficace pour l'enseigner. Cependant, enseigner efficacement la "valeur de position" (ou tout autre sujet conceptuel ou logique) nécessite plus que l'application mécanique d'une méthode différente, un contenu différent ou l'introduction d'un type différent de "manipulatif". Tout d'abord, il est nécessaire de distinguer entre 1) les conventions mathématiques, 2) les manipulations algorithmiques et 3) les relations logiques/conceptuelles, puis il est nécessaire de comprendre que chacune d'entre elles requiert des méthodes différentes pour un enseignement efficace. Et il est nécessaire de comprendre ces différentes méthodes. La valeur de position implique les trois éléments mathématiques.

    Pratique contre compréhension

    Presque tous ceux qui ont eu des difficultés avec l'algèbre d'introduction ont eu un professeur d'algèbre qui leur a dit : « Travaillez simplement plus de problèmes, et cela deviendra clair pour vous. Vous ne travaillez tout simplement pas assez de problèmes. Et, bien sûr, lorsque vous ne pouvez résoudre aucun problème, il est difficile d'en résoudre plusieurs. Répondre à la plainte « Je ne peux rien faire de tout cela » avec la réponse « Alors faites-les tous » semble absurde, lorsqu'il s'agit de compréhension conceptuelle. Ce n'est pas absurde lorsqu'il s'agit simplement de pratiquer quelque chose que l'on peut faire correctement, mais pas aussi adroitement, en douceur, rapidement ou automatiquement qu'une pratique plus poussée le permettrait. Par conséquent, les athlètes pratiquent diverses compétences pour les rendre plus automatiques et les élèves réflexifs s'entraînent à réciter un poème jusqu'à ce qu'ils puissent le faire en douceur et les musiciens pratiquent un morceau jusqu'à ce qu'ils puissent le jouer avec peu d'effort ou d'erreur. Et pratiquer quelque chose que l'on ne peut pas très bien faire n'est pas absurde là où la pratique permettra l'autocorrection. Par conséquent, un joueur de tennis peut être capable de déterminer lui-même un coup défectueux en analysant sa propre forme pour trouver une technique défectueuse ou en essayant différentes choses jusqu'à ce qu'il arrive à quelque chose qui semble juste, qu'il pratique ensuite. Mais pratiquer quelque chose que l'on ne peut même pas commencer à faire ou à comprendre, et que les essais et les erreurs ne s'améliorent pas, ne mènera pas à la perfection ou, comme dans le cas de certains aspects conceptuels de l'algèbre, à aucune compréhension.

    Ce qui est nécessaire pour aider un étudiant à apprendre divers aspects conceptuels de l'algèbre, c'est de découvrir exactement ce qu'il ne comprend pas conceptuellement ou logiquement à propos de ce qui lui a été présenté. Il y a un certain nombre de raisons pour lesquelles un élève peut ne pas être capable de résoudre un problème, et lui répéter des choses qu'il comprend, ou simplement répéter (1) des choses qu'il a entendues la première fois mais qu'il ne comprend pas, ne l'aidera généralement pas. . Jusqu'à ce que vous trouviez la pierre d'achoppement spécifique, vous n'êtes pas susceptible d'adapter une réponse qui réponde à ses besoins, en particulier si votre explication générale n'a pas fonctionné avec lui la première fois ou deux ou trois de toute façon et que rien ne s'est produit pour rendre cette explication plus intelligible ou significatif pour lui dans l'intervalle.

    Il existe un certain nombre d'endroits dans l'enseignement des mathématiques où les élèves rencontrent des difficultés conceptuelles ou logiques qui nécessitent plus qu'une simple pratique. L'algèbre inclut certains d'entre eux, mais j'aimerais aborder l'un des plus anciens : la valeur de position. En lisant la recherche et en discutant avec des enseignants d'arithmétique du primaire, je soupçonne (et j'essaierai de souligner pourquoi je le soupçonne) que les enfants ont du mal à apprendre la valeur de position parce que la plupart des enseignants du primaire (comme la plupart des adultes en général, y compris ceux qui recherchent l'efficacité de la compréhension de la valeur de position par les élèves) ne la comprennent pas de manière conceptuelle et ne la présentent pas de manière à ce que les enfants puissent la comprendre. (2)(3) Les enseignants du primaire peuvent généralement comprendre suffisamment la valeur de position pour enseigner à la plupart des enfants suffisamment pour pouvoir éventuellement travailler avec elle, mais ils ne comprennent souvent pas suffisamment la valeur de position conceptuellement et logiquement pour aider les enfants à la comprendre conceptuellement et logiquement très bien. Et ils peuvent même entraver l'apprentissage en déroutant les enfants d'une manière dont ils n'ont pas besoin, par exemple en essayant de faire passer des conventions arbitraires pour des questions de logique, de sorte que les enfants gaspillent beaucoup de capital intellectuel en cherchant à comprendre ce qui n'a rien à comprendre.

    Et un autre problème dans l'enseignement est que parce que les enseignants, tels que les enseignants d'algèbre mentionnés ci-dessus, ont tendance à ne pas dénicher aux enfants ce que les enfants ne comprennent pas spécifiquement, les enseignants, même lorsqu'ils comprennent ce qu'ils enseignent, ne t toujours comprendre ce que les élèves apprennent - et non pas. Il y a au moins deux aspects à un bon enseignement : (1) connaître suffisamment bien la matière, et (2) être capable de découvrir ce que pensent les étudiants lorsqu'ils essaient d'apprendre la matière, afin d'être le plus utile pour faciliter apprentissage. Il est difficile de savoir comment aider quand on ne sait pas ce qui ne va pas. Les passages cités ci-dessous semblent indiquer soit un échec des chercheurs à savoir ce que les enseignants savent des élèves, soit un échec des enseignants à savoir ce que les élèves savent de la valeur de position. Si c'est ce dernier cas, alors il semblerait qu'il y ait un enseignement sans qu'il y ait d'apprentissage, un oxymore qui, je crois, signifie qu'il n'y a pas « d'enseignement », mais simplement des présentations faites aux étudiants sans effort suffisant pour découvrir comment les étudiants reçoivent, interprètent ou comprennent cette présentation, et souvent sans effort suffisant pour découvrir ce qui doit réellement être présenté à des étudiants particuliers. (4) Une partie d'un bon enseignement consiste à s'assurer que les élèves saisissent et apprennent ce que l'on essaie d'enseigner. Ce n'est pas toujours facile à faire, mais au moins il faut essayer au fur et à mesure. Enseignants devrait d'avoir su depuis un certain temps ce que les chercheurs n'ont apparemment découvert que relativement récemment sur la compréhension des enfants de la valeur de position : « La littérature regorge d'études identifiant les difficultés des enfants à apprendre les concepts de valeur de position. (Jones et Thornton, p.12) » « Mieko Les recherches pionnières de Kamii (1980, 1982) dans ce domaine ont révélé des malentendus flagrants qui étaient étonnamment omniprésents. Son enquête [sic Her] a montré que malgré plusieurs années d'apprentissage de la valeur de position, les enfants étaient incapables d'interpréter des concepts de valeur de position rudimentaires. (Jones, p.12) (5) "

    Depuis que j'ai enseigné à mes propres enfants la valeur de position après avoir vu comment les enseignants n'ont pas réussi à l'enseigner (6) , et puisque j'ai enseigné à des classes d'enfants certaines choses sur la valeur de position qu'ils pouvaient comprendre mais n'avaient jamais pensé ou auxquelles ils n'avaient jamais été exposés auparavant, Je crois que l'échec dans l'apprentissage des concepts de valeur de position n'est pas dû au manque de potentiel de compréhension des enfants, mais à la façon dont la valeur de position est comprise par les enseignants et à la façon dont elle est généralement enseignée. Il ne faut pas s'étonner que quelque chose qui n'est pas très bien enseigné en général ne soit pas très bien appris en général. La littérature de recherche sur la valeur de position montre également un manque de compréhension des principaux aspects conceptuels et pratiques de l'apprentissage de la valeur de position et des tests pour sa compréhension. Les chercheurs semblent évaluer les résultats de méthodes d'enseignement et de test conceptuellement erronées concernant la valeur de position. Et lorsqu'ils trouvent des différences culturelles ou communautaires dans l'apprentissage de la valeur de position, ils semblent se concentrer sur des facteurs qui semblent, d'un point de vue conceptuel, moins vraisemblablement pertinents sur le plan causal que d'autres facteurs. Je crois qu'il existe une meilleure façon d'enseigner la valeur de position que celle qui est habituellement enseignée, et que les enfants la comprendraient alors mieux plus tôt. De plus, je crois que ce meilleur moyen découle d'une compréhension de la logique de la valeur de position elle-même, ainsi que d'une compréhension de ce qui est plus facile pour les êtres humains (enfants ou adultes) à apprendre. (7)

    Et je pense qu'enseigner ne se limite pas à laisser les élèves (ré)inventer des choses par eux-mêmes. Un enseignant doit au moins diriger ou guider d'une manière ou d'une autre. La façon dont les mathématiques, ou quoi que ce soit, sont enseignées est normalement cruciale pour la qualité et l'efficacité de leur apprentissage. Il a fallu à la civilisation des milliers d'années, beaucoup de créativité ingénieuse et pas mal de perspicacité fortuite pour développer bon nombre des concepts et une grande partie des connaissances dont elle dispose et on ne peut pas s'attendre à ce que les enfants découvrent ou inventent eux-mêmes bon nombre de ces ces connaissances sans que les adultes ne les enseignent correctement, en personne ou dans des livres ou d'autres médias. Les découvertes intellectuelles et scientifiques ne se transmettent pas génétiquement, et il est irréaliste de s'attendre à ce que 25 ans de développement biologique d'un individu récapitulent 25 siècles d'accomplissement intellectuel collectif sans aide significative. Bien que de nombreuses personnes puissent découvrir beaucoup de choses par elles-mêmes, il est pratiquement impossible pour quiconque de réinventer par lui-même suffisamment d'idées importantes du passé pour être compétent dans un domaine donné, les mathématiques ne faisant pas exception. L'apprentissage potentiel est généralement gravement entravé sans enseignement. Et cela est peut-être encore plus entravé par un mauvais enseignement, car un mauvais enseignement a tendance à freiner la curiosité et la motivation, et puisque les informations erronées, tout comme les mauvaises habitudes, peuvent être plus difficiles à construire que ne le seraient l'absence d'informations et aucune habitude du tout. Dans cet article, je discuterai des éléments que je soutiendrai comme cruciaux pour le concept et l'enseignement de la valeur de position.

    Comprendre la valeur de position : aspects pratiques et conceptuels

    Il y a au moins cinq aspects pour être capable de comprendre la valeur de position, dont seulement deux ou trois sont souvent enseignés ou soulignés. Les deux ou trois autres aspects sont ignorés, et pourtant l'un d'eux est crucial pour la compréhension des enfants (ou de quiconque) de la valeur de position, et l'autre est important pour une compréhension complète, mais pas pour une compréhension simplement utile. Je vais d'abord nommer et décrire brièvement ces aspects d'un seul coup, puis discuter plus en détail de chacun d'eux individuellement.

    1) Apprendre les noms des nombres (et leur ordre de série) et utiliser des nombres pour compter des quantités, développer une familiarité et une facilité avec les nombres, pratiquer avec les nombres - y compris, le cas échéant, non seulement dire des nombres mais les écrire et les lire (8) , pas en termes de règles impliquant la valeur de position, etc., mais en termes de simplement montrer comment écrire et lire des nombres individuels (avec des commentaires, le cas échéant, qui indiquent des choses comme "dix, onze, douze, et tous les adolescents ont un ' 1' devant eux tous les vingt nombres ont un '2' devant eux" etc.) sans raisons pour lesquelles c'est (9) ,

    2) addition et soustraction "simples",

    3) développer la familiarité par la pratique avec les groupements et compter les quantités physiques par groupes (pas seulement dire les « multiples » de groupes - par exemple, compter les choses par cinq, pas seulement être capable de réciter « cinq, dix, quinze. »), et, le cas échéant, être capable de lire et d'écrire des nombres de groupe - non pas par des concepts de valeur de position, mais simplement en ayant appris à écrire des nombres auparavant. La pratique du groupement et du comptage par groupes devrait, bien sûr, inclure des groupements par dizaines,

    4) représentation (des groupements)

    5) les spécificités des représentations en termes de colonnes.

    Les aspects (1), (2) et (3) nécessitent une démonstration et un « exercice » ou une pratique répétitive. Les aspects (4) et (5) impliquent la compréhension et la raison avec suffisamment de démonstration et de pratique pour l'assimiler et être capable de se souvenir de la logique globale de celle-ci avec une certaine réflexion, plutôt que les étapes logiques spécifiques. (dix)

    1) Facilité de numérotation, pratique

    Plus on est familier avec les nombres et ce qu'ils représentent, plus il est généralement facile de voir des relations impliquant des nombres. Par conséquent, il est important que les enfants apprennent à compter et soient capables d'identifier le nombre de choses dans un groupe soit en comptant, soit par des régularités, etc. Une façon de voir cela est de prendre une tranche de 10 lettres au milieu de l'alphabet, dites "k,l,m,n,o,p,q,r,s,t" et laissez-les représenter 0-9 dans un ordre linéaire. Même si la plupart des adultes peuvent dire ces lettres dans l'ordre, tout comme eux et les enfants peuvent dire les noms des nombres dans l'ordre, il est très difficile, à moins de s'entraîner beaucoup, de pouvoir grouper les choses en ensembles de "n" ou de multiplier "mrk" par "pm" ou pour voir que tous les multiples de "p" se terminent par un "p" ou un "k". Pourtant, voir les relations entre les éléments ordonnés en série que l'on peut nommer dans l'ordre en série, c'est en grande partie ce qu'est l'arithmétique. (Peut-être que les prodiges et les génies mathématiques vraiment brillants n'ont pas besoin d'avoir des noms de nombres pour voir les relations entre les nombres, je ne sais pas mais la plupart d'entre nous seraient perdus dans n'importe quelle sorte d'arithmétique de niveau supérieur si nous ne pouvions pas compter par (le noms de) nombres, reconnaître le nombre de choses (par leur nom) ou utiliser des nombres (par leur nom) de manière relativement simple pour commencer.) Par conséquent, les enfants doivent normalement apprendre à compter des objets et à comprendre "combien" le nombre les noms représentent. Les parents et les enseignants ont tendance à enseigner aux élèves à compter et à leur donner au moins une certaine pratique du comptage. C'est important.

    2) Addition et soustraction simples

    Par "simple addition et soustraction", j'entends l'addition et la soustraction en ce qui concerne les quantités que les enfants peuvent apprendre à additionner et à soustraire simplement en comptant d'abord ensemble, puis, avec la pratique, apprendre assez rapidement à reconnaître par la mémoire. Par exemple, les enfants peuvent apprendre à jouer avec des dominos ou avec deux dés et additionner les quantités, d'abord en devant compter tous les points, mais au bout d'un moment juste en se rappelant les combinaisons. Les enfants peuvent jouer à quelque chose comme le blackjack avec des cartes et développer des facilités en ajoutant les numéros sur les cartes de visage. Ou ils peuvent jouer à la "guerre d'équipe", où des paires d'individus retournent chacun une carte, comme le font les individus de l'équipe adverse, et quelle que soit l'équipe qui a la somme la plus élevée, obtient les quatre cartes pour sa pile. Additionner et soustraire de cette manière (ou dans certains cas, même multiplier ou diviser) peut impliquer des quantités qui seraient regroupées si elles étaient calculées par algorithme sur papier, mais elles n'ont rien à voir avec le regroupement lorsqu'il est fait dans ce "direct" ou " manière "simple". Par exemple, les enfants qui jouent à divers jeux de cartes avec des jeux complets de cartes à jouer ordinaires ont tendance à apprendre que la moitié de 52 vaut 26 et qu'un jeu divisé également entre quatre personnes leur donne chacun 13 cartes.

    Il est particulièrement important que les enfants s'entraînent suffisamment pour devenir faciles à additionner des paires de nombres à un chiffre dont les sommes sont non seulement aussi élevées que 10, mais aussi aussi élevées que 18. Et il est particulièrement important qu'ils s'entraînent suffisamment pour devenir faciles avec soustraire les nombres à un chiffre qui donnent des réponses à un seul chiffre, non seulement des minuends aussi élevés que 10, mais des minuends entre 10 et 18. La raison en est que chaque fois que vous regroupez pour une soustraction, si vous regroupez « premier » (11), vous vous retrouvez toujours avec une soustraction qui nécessite de retirer à un nombre compris entre 10 et 18 un nombre à un chiffre plus grand que les « uns " chiffre du minuend (c'est-à-dire le nombre entre 10 et 18). Par exemple, 15-7, 18-9, 11-4, etc. La raison pour laquelle vous avez dû « regrouper » ou « emprunter » en premier lieu était que le chiffre de sous-encodage dans la colonne en question était plus grand que le chiffre en moins dans cette colonne. colonne et lorsque vous regroupez le minuend, ces chiffres ne changent pas, mais le chiffre du minuend gagne simplement un "dix" et devient un nombre compris entre 10 et 18. (Le chiffre du minuend original -- au moment où vous essayez de le soustraire (12) -- devait être compris entre 0 et 8, inclus, pour que vous ne puissiez pas soustraire sans regrouper. S'il avait été un neuf, vous auriez pu en soustraire n'importe quel nombre à un chiffre sans avoir à regrouper.) Une autre façon de dire cela est que chaque fois que vous vous regroupez, vous vous retrouvez avec une soustraction de la forme :

    où le chiffre après le 1 sera compris entre 0 et 8 (inclus) et sera plus petit que le chiffre désigné par le "x" (13) .

    Les enfants n'ont souvent pas suffisamment de pratique dans ce genre de soustraction pour le rendre confortable et automatique pour eux. De nombreux jeux mathématiques « éducatifs » impliquant de simples additions et soustractions ont tendance à donner de la pratique jusqu'à des sommes ou des minuends de 10 ou 12, mais pas jusqu'à 18. Je pense que le manque d'une telle pratique et le manque de « confort » avec les soustractions regroupées ont tendance à contribuer à une réticence chez les enfants à se regrouper correctement pour la soustraction parce que lorsqu'ils arrivent à la partie où ils doivent soustraire une combinaison de la forme ci-dessus, ils pensent qu'il doit y avoir quelque chose qui ne va pas parce que ce n'est toujours pas une combinaison "automatiquement" reconnaissable pour eux. Par conséquent, ils passent à autre chose qu'ils pouvez soustraire plutôt (par exemple, en inversant les chiffres de soustraction et de minuend dans cette colonne, de sorte qu'il "sortira" en permettant la soustraction d'un chiffre plus petit d'un plus grand) même si cela se termine mal. En un sens, faire ce qui leur semble familier leur « fait sens » (14) .

    La mémoire peut très bien fonctionner après un peu de pratique avec des additions et des soustractions "simples" (sommes ou soustractions jusqu'à 18), car la mémoire en général peut très bien fonctionner en ce qui concerne les quantités. Une de mes filles à l'âge de cinq ou six ans a appris à obtenir des scores extrêmement élevés sur un jeu informatique qui nécessitait d'identifier rapidement et correctement les nombres premiers. Elle avait appris les nombres par essais et erreurs en jouant au jeu encore et encore, elle n'avait aucune idée de ce qu'être un nombre premier signifiait qu'elle savait juste quels nombres (qui étaient sur le jeu) étaient des nombres premiers. De même, si les enfants jouent à additionner plusieurs des mêmes combinaisons de nombres, même de grands nombres, ils apprennent à se rappeler à quoi ces combinaisons ajoutent ou soustraient après un court instant. Cette capacité peut être utile lors de l'ajout ultérieur par des groupes non similaires (par exemple, sept et huit, par opposition à l'ajout par groupes de dix). Selon Fuson, de nombreux enfants asiatiques reçoivent ce genre de pratique avec des paires de quantités qui totalisent dix. Mais on peut aussi faire d'autres quantités et les nombres à un chiffre totalisant jusqu'à 18 inclus, et les soustractions à un chiffre des minuends jusqu'à 18 inclus qui donnent des réponses à un chiffre, sont importantes pour les enfants à pratiquer. (Une façon de donner une telle pratique que les enfants semblent apprécier serait pour eux de jouer à une version sans jeu du blackjack ou "21" avec un jeu de cartes dont toutes les cartes illustrées ont été retirées. La raison de retirer les cartes illustrées est pour donner plus d'occasions de pratiquer l'ajout de combinaisons qui n'impliquent pas des dizaines, qui sont assez faciles.)

    Une analyse de la recherche sur la valeur de position semble montrer assez clairement que les enfants effectuent de manière incorrecte des opérations algorithmiques d'une manière qu'ils reconnaîtraient eux-mêmes clairement comme des erreurs s'ils étaient plus familiarisés avec la signification des quantités et avec les additions et soustractions "simples". Fuson montre dans un tableau (p. 376) quatorze types différents d'erreurs que les chercheurs ont trouvées chez les enfants lors de l'exécution des algorithmes d'addition et de soustraction qui nécessitent un « regroupement » ou un « échange ». Mais les erreurs que je pense les plus importantes sont celles impliquant des enfants qui obtiennent une réponse scandaleuse parce qu'ils semblent n'avoir aucune idée de ce sur quoi l'algorithme est vraiment un algorithme. Deux exemples : les enfants peuvent écrire une somme pour chaque colonne, donc ils ajoutent 375 à 466 et ils obtiennent 71311. Ou ils "disparaissent l'un" (c'est-à-dire l'ignorent et l'oublient) de sorte qu'ils ajoutent 777 à 888 et obtiennent 555 De toute évidence, si les enfants comprenaient dans le premier cas qu'ils additionnaient deux nombres aux alentours de 400 chacun, ils sauraient qu'ils devraient se retrouver avec une réponse aux alentours de 800, et que 71 000, c'est trop loin. Et ils comprendraient dans le second cas que vous ne pouvez pas additionner deux quantités (positives) ensemble et obtenir une quantité plus petite que l'une ou l'autre. (15) Ce n'est pas si mal pour les enfants de faire occasionnellement de simples erreurs de calcul que tout le monde peut comprendre et faire quand même une erreur. Et ce n'est pas si mal si les enfants font des erreurs algorithmiques parce qu'ils n'ont pas suffisamment appris ou pratiqué l'algorithme pour se souvenir ou pour être capables de suivre suffisamment bien les règles algorithmiques pour résoudre correctement un problème qui demande juste plus de pratique. Mais il devrait être d'une importance majeure que de nombreux enfants ne peuvent pas reconnaître que la procédure, la façon dont ils le font, donne une si mauvaise réponse, qu'ils doivent faire quelque chose de mal ! Les réponses que Fuson détaille dans son tableau des erreurs de calcul algorithmique sont moins dérangeantes pour l'utilisation des algorithmes par les enfants que pour leur compréhension des relations entre nombres et quantités et leur compréhension de ce qu'ils essaient même d'accomplir en utilisant des algorithmes (dans ce cas, pour additionner et soustraire).

    Étant donné que compter un grand nombre de choses une par une devient fastidieux, compter par groupes de deux, trois, cinq, dix, etc. est une compétence utile à faciliter. Les élèves doivent apprendre et répéter à compter de cette façon, et en général, il faut leur dire que c'est un moyen plus rapide et plus facile de compter de grandes quantités. (16) En outre, il sert de prélude à la multiplication, puisque le comptage par groupes (de, disons, trois) introduit inconsciemment un à des multiples de ces groupes (c'est-à-dire, dans ce cas, des multiples de trois). Et, bien sûr, le regroupement par 10 est un prélude à la compréhension de ces aspects de l'arithmétique basés sur les 10. De nombreux enseignants enseignent aux élèves à compter par groupes et à reconnaître les quantités par les modèles qu'un groupe peut faire (comme sur des cartes à jouer numériques). C'est important.

    Les aspects des éléments 2) et 3) peuvent être « enseignés » ou appris en même temps. Bien qu'ils soient "logiquement" distincts, ils n'ont pas besoin d'être enseignés ou appris dans l'ordre séquentiel ou spécifiquement dans l'ordre dans lequel je les mentionne ici. De nombreuses idées conceptuellement distinctes se produisent naturellement ensemble dans la pratique.

    4) Représentations de groupes

    C'est ce que la plupart des enseignants du primaire, puisqu'ils ne sont généralement pas des majors en mathématiques, ne comprennent pas et ne peuvent enseigner qu'en fonction de la "valeur de position" en colonnes. Mais la valeur de position en colonnes n'est (1) pas la seule façon de représenter les groupes, et (2) c'est une façon extrêmement difficile pour les enfants de comprendre les représentations des groupes. Il existe des moyens plus accessibles pour les enfants de travailler avec des représentations de groupes. Et je pense qu'il est plus facile pour eux d'apprendre la valeur de position en colonnes si on les démarre avec des représentations de groupe plus psychologiquement accessibles.

    Une fois que les enfants ont acquis une facilité à compter et à compter par groupes, en particulier des groupes de 10 et peut-être de 100 et de 1000 (c'est-à-dire, sachant que lorsque vous groupez les choses par 100 et 1000, la série va "100, 200, 300, 900 , 1000 et 1000, 2000, 3000, etc.), je pense qu'il est préférable de commencer par leur apprendre le type de valeurs de groupe représentatives avec lesquelles les enfants semblent n'avoir aucun problème - comme les couleurs, comme dans les jetons de poker (ou tuiles de couleur, si vous pensez que les jetons de "poker" ne conviennent pas aux écoliers, les jetons de poker sont juste bon marché, disponibles, faciles à manipuler et empilés) (17) . Un seul n'a pas besoin, et ne devrait pas, de parler de " représentation", mais a simplement mis en place des principes tels que "Nous avons ces trois jetons de poker de couleurs différentes, les blancs, les bleus et les rouges. Chaque fois que vous en avez dix blancs, vous pouvez les échanger contre un bleu ou à chaque fois que vous voulez échanger un bleu contre dix blancs, vous pouvez le faire. Et chaque fois que vous en avez dix BLEU, vous pouvez les échanger contre un rouge, ou vice versa." Ensuite, vous pouvez leur montrer comment compter dix bleus (représentant des dizaines), en disant "10, 20, 30. 90, 100" afin qu'ils puissent voir, s'ils ne le font pas déjà, qu'un rouge vaut 100. Ensuite, vous faites des démonstrations, comme déposer onze blancs et dire quelque chose comme « si nous échangeons 10 de ces blancs contre un bleu, qu'aurons-nous ? » Et les enfants diront généralement quelque chose comme « un bleu et un blanc". Et vous pouvez renforcer qu'ils font toujours (c'est-à-dire qu'ils représentent) la même quantité "Et c'est donc toujours onze, n'est-ce pas ? [Pointant vers le bleu] Dix [puis pointant sur le blanc] et un est onze." Faites cela jusqu'à ce qu'ils comprennent et puissent facilement et facilement représenter des nombres dans des jetons de poker, en utilisant des mélanges de rouges, bleus et blancs. De cette façon, ils arrivent à comprendre la représentation de groupe au moyen de jetons de poker colorés, bien que vous n'utilisiez pas le mot représentation, car il est peu probable qu'ils le comprennent.

    Laissez les élèves s'habituer à faire (c'est-à-dire à représenter) des nombres avec leurs jetons de poker, et vous pouvez faire le tour et vérifier rapidement pour voir qui a besoin d'aide et qui n'en a pas, au fur et à mesure. Demandez-leur, par exemple, de vous montrer comment faire différents nombres avec (le moins possible) de jetons de poker - disons 30, 60, etc. puis passez à 12, 15, 31, 34, 39, . 103, 135, etc. Continuez à vérifier la facilité et le niveau de confort de chaque enfant en faisant cela.

    Ensuite, lorsqu'ils sont facilement capables de le faire, lancez-vous dans une simple addition ou soustraction de jetons de poker, en commençant par des sommes et des différences qui ne nécessitent pas de regroupement, par exemple, 2+3, 9-6, 4+5, etc. , quand ils sont prêts, lancez-vous dans des jeton de poker regroupements. « Si vous en avez sept blancs et que vous leur ajoutez cinq blancs, combien en avez-vous ? » "Maintenant, allons échange dix d'entre eux pour un bleu, et qu'est-ce que vous obtenez ? (18) "Ajoutez des nombres de plus en plus grands et montrez-leur également quelques soustractions faciles - comme avec le nombre 12 qu'ils viennent d'obtenir avant, avec le bleu et les deux blancs, "Si nous voulions retirer 3 de ce 12, comment pourrions-nous le faire?" [quelqu'un dira généralement, ou l'enseignant pourrait dire la première fois ou deux] "Nous devons changer le bleu en 10 blancs, puis nous pourrions enlever 3 blancs des 12 blancs nous avons. " ETC. Continuez à pratiquer et à changer les nombres afin qu'ils aient parfois besoin de se regrouper et parfois pas, mais ils deviennent de mieux en mieux à le faire. (Ils utilisent maintenant les couleurs à la fois de manière représentative et quantitative - échangeant des quantités contre des jetons qui les représentent, et vice versa.) Ensuite, introduisez des additions et des soustractions à deux chiffres qui ne nécessitent pas de regrouper les jetons de poker, par exemple, 23 + 46, 32 + 43, 42 - 21, 56 - 35, etc. (Le premier d'entre eux, par exemple, est d'ajouter 4 bleus et 6 blancs à 2 bleus et 3 blancs pour se retrouver avec 6 bleus et 9 blancs, 69 le dernier enlève 3 bleus et 5 blancs de 5 bleus et 6 blancs pour laisser 2 bleus et 1 blanc, 21.) Quand ils sont à l'aise avec ceux-ci, introduisez des additions et des soustractions à deux chiffres qui nécessitent de regrouper les jetons de poker, par exemple 25 + 25, 25 + 28, 23 - 5, 33 - 15, 82 - 57, etc.

    Pendant que vous faites toutes ces choses, il est important de faire le tour de la salle en observant ce que font les élèves et en demandant à ceux qui semblent avoir du mal d'expliquer ce qu'ils font et pourquoi. À certains égards, voir comment ils manipulent les puces vous donne un aperçu de leur compréhension ou de leur manque de compréhension. Habituellement, lorsqu'ils expliquent leurs manipulations défectueuses, vous pouvez voir quels types de problèmes, généralement conceptuels, ils rencontrent. Et vous pouvez leur dire ou leur montrer quelque chose qu'ils doivent savoir, ou leur poser des questions suggestives pour les amener à s'auto-corriger. Parfois, ils feront simplement des erreurs de comptage, par exemple en comptant 8 jetons blancs au lieu de 9. Ce genre d'erreur n'est pas aussi important à des fins d'enseignement à ce stade que les erreurs conceptuelles. Ils ont tendance à faire moins de simples erreurs de comptage négligentes une fois qu'ils voient que cela leur donne de mauvaises réponses.

    Après les avoir progressivement amenés à des problèmes de plus en plus difficiles, vous pourrez à un moment donné leur donner quelque chose comme un seul jeton de poker rouge (100) et leur demander d'en retirer 37, et ils sauront le comprendre. sortir et le faire, et vous donner la réponse -- non pas parce qu'ils ont été montrés (puisqu'ils n'auront pas été montrés), mais parce qu'ils comprennent.

    Ensuite, une fois qu'ils sont à l'aise et bons pour le faire, vous pouvez leur faire remarquer que lorsque les nombres sont écrits numériquement, les colonnes sont comme des jetons de poker de différentes couleurs. La première colonne est comme des jetons de poker blancs, vous indiquant combien de "uns" vous avez, et la deuxième colonne est comme des jetons de poker bleus, vous indiquant combien de 10 (ou de jetons valant dix) vous avez. etc. Ce serait le bon moment pour leur dire qu'en fait les colonnes sont même nommées comme les jetons de poker -- la colonne des uns, la colonne des dizaines, la colonne des centaines, etc. (Rappelez-vous, ils ont appris à écrire les nombres par cœur et par la pratique, ils devraient trouver intéressant que écrit les nombres ont ces parties - c'est-à-dire les chiffres et les colonnes - qui "coïncident" avec combien de un, de dix, etc. il y a dans la quantité que le nombre nomme.) (19)

    Ensuite, montrez-leur qu'ajouter et soustraire des nombres à deux chiffres (ne nécessitant pas de regroupement) sur papier, c'est comme le faire avec des jetons de poker de différentes couleurs (c'est-à-dire la valeur du groupe). Laissez-les essayer. Laissez-les faire des additions et des soustractions sur papier, en vérifiant leurs réponses et leurs manipulations avec des jetons de poker de différentes couleurs (valeur de groupe). Par exemple, laissez-les soustraire 43 de 67 et voyez que prendre les 4 dizaines des 6 dizaines et les 3 des 7 est le même sur le papier qu'avec les jetons de poker bleus et blancs - prendre 4 bleus sur 6 bleus les et 3 blancs de 7 blancs.

    Ensuite, montrez comment l'addition et la soustraction de nombres (qui nécessitent un regroupement) sur papier, c'est comme l'addition et la soustraction de nombres que représentent leurs jetons de poker et qui nécessitent un échange. C'est le bon moment pour présenter, un peu avec désinvolture, l'algorithme d'addition et de soustraction de chiffres "sur papier" en utilisant la technique "trading" ou "emprunt/portage". Vous voudrez peut-être coller des jetons de poker représentatifs au-dessus de vos colonnes sur le tableau noir, ou leur demander d'utiliser des crayons pour mettre les couleurs des jetons de poker au-dessus de leurs colonnes sur leur papier (en utilisant, par exemple, le jaune pour le blanc s'ils ont du papier blanc). Montrez-leur comment ils peuvent « échanger » des chiffres dans leurs différentes colonnes en rayant et en remplaçant ceux auxquels ils empruntent, portent, ajoutent ou regroupent. (C'est parfois un peu difficile pour eux au début parce qu'au début, ils ont du mal à garder leurs substitutions droites et à les écrire où ils peuvent les remarquer et les lire et se souvenir de ce qu'ils signifient. Ils ont tendance à commencer à avoir des chiffres rayés et de "nouveaux " Les chiffres sont dans un désordre difficile à gérer. Mais une fois qu'ils voient la nécessité d'être plus ordonnés, et une fois que vous leur montrez des moyens de l'être, ils ont tendance à être en mesure de s'en sortir correctement.) Laissez-les faire problèmes sur papier et vérifier leurs propres réponses avec des jetons de poker. Donnez-leur beaucoup de pratique et, au fil du temps, assurez-vous qu'ils peuvent tous faire le calcul algorithmique de manière assez formelle et qu'ils peuvent aussi comprendre ce qu'ils font s'ils devaient s'arrêter et y réfléchir.

    Encore une fois, tout le temps, vous pouvez vous promener dans la pièce pour voir qui pourrait avoir besoin d'une aide supplémentaire ou ce que vous pourriez avoir à faire pour tout le monde. Faire cela de cette manière vous permet presque de voir ce qu'ils pensent individuellement et cela vous permet de savoir qui pourrait avoir des problèmes, et où, et ce que vous pourriez avoir besoin de faire pour améliorer ces problèmes. Vous pouvez rencontrer des difficultés générales ou vous pouvez trouver que chaque enfant a ses propres difficultés particulières, le cas échéant. Pendant un certain temps, mes enfants avaient tendance à oublier les « un » qu'ils avaient déjà lorsqu'ils se regroupaient, ils oubliaient de mélanger les « nouveaux » avec les « anciens ». Donc, s'ils en avaient 34 au départ et en empruntaient 10 sur les trente, ils oublieraient les 4 qu'ils avaient déjà, et retrancheraient de 10 au lieu de 14. Les enfants dans les écoles utilisant de petits espaces de bureau obtiennent parfois leurs différentes piles de poker. jetons confus, car ils peuvent ne pas placer leurs jetons "soustraits" assez loin ou ils peuvent ne pas placer leurs jetons "regroupés" assez loin d'une pile de jetons "fonctionnelle". Il peut y avoir des difficultés assez uniques ou inhabituelles qui mettront à l'épreuve votre propre compréhension du concept et l'éventuelle incompréhension que l'enfant pourrait avoir à son sujet, afin que vous puissiez structurer une aide qui corresponde à sa pensée.

    Les colonnes (au-dessus de la sienne) et les couleurs (au-dessus du blanc) sont chacune des représentations de groupes de nombres, mais les colonnes sont une représentation de propriété relationnelle, alors que les couleurs ne le sont pas. Les couleurs sont une propriété simple ou inhérente ou immédiatement évidente. Les colonnes sont relationnelles, plus complexes et moins évidentes. Une fois les valeurs de couleur ou de colonne établies, trois blue chips valent toujours trente, mais un chiffre écrit trois n'est pas trente à moins qu'il ne se trouve dans une colonne avec une seule colonne (non décimale) à sa droite. Les représentations en colonnes des groupes sont plus difficiles à comprendre que les représentations en couleurs, et je soupçonne que c'est (1) parce qu'elles dépendent de l'emplacement par rapport à d'autres chiffres qui doivent être (souvenir d'être) recherchés puis examinés, plutôt que sur un seul propriété inhérente, telle que la couleur (ou la forme), et (2) parce que les enfants peuvent physiquement échanger des pastilles de couleur de « valeur supérieure » contre le nombre équivalent de celles de valeur inférieure, alors que ce n'est pas si facile ou évident en utilisant des colonnes. En ce qui concerne (1), comme tout le monde sait qui a déjà assemblé des choses à partir d'un kit, chaque fois que les objets sont distinctement colorés et désignés dans les directions par ces couleurs, ils sont plus faciles à distinguer que lorsqu'ils doivent être identifiés par taille ou d'autres propriétés relatives, ce qui nécessite de trouver d'autres objets similaires et de les examiner tous ensemble pour faire des comparaisons. En ce qui concerne (2), il est facile de changer physiquement, disons une puce bleue, pour dix blancs et d'avoir, disons, quatorze blancs en tout à soustraire (si vous en aviez déjà quatre). Mais il est difficile de représenter ce commerce avec des chiffres écrits dans des colonnes, car vous devez gratter des éléments puis placer la nouvelle quantité à un endroit légèrement différent, et parce que vous vous retrouvez avec de nouvelles colonnes (comme en mettant le nombre "14" tout dans la colonne un, quand on emprunte 10 à, disons 30 dans le nombre "34", pour soustraire 8). De plus, (3) je soupçonne qu'il y a quelque chose de plus "réel" ou simplement plus significatif pour un enfant de dire "un blue chips vaut 10 blancs" que de dire "ce '1' vaut 10 de ce '1 ' parce que c'est ici au lieu d'ici" la valeur basée sur le lieu semble plus étrange que la valeur basée sur la couleur, ou elle semble en quelque sorte plus arbitraire. Mais indépendamment de POURQUOI les enfants peuvent associer des couleurs à des groupements numériques plus facilement qu'à des positions de colonnes relatives, ils le font.

    J'ai fait un diaporama Power Point commenté sur l'utilisation des jetons de poker pour enseigner ce qui est décrit ci-dessus. Il se télécharge lorsque vous cliquez sur le lien et se lance automatiquement lorsque vous ouvrez le téléchargement.

    5) Spécificités des représentations en colonnes

    Outre les commentaires faits dans la dernière section sur la représentation en colonnes, je voudrais ajouter ce qui suit, qui n'est pas important pour les étudiants à comprendre pendant qu'ils apprennent la représentation en colonnes (généralement appelée "valeurs de position"), mais peut être utile aux enseignants de comprendre. Et cela peut être intéressant pour les étudiants à un stade ultérieur, lorsqu'ils peuvent l'absorber. (J'ai enseigné cela à des élèves de troisième année, mais la présentation est extrêmement différente de la façon dont je vais l'écrire ici et cette présentation est cruciale pour qu'ils suivent les idées et les comprennent. Cette présentation est détaillée dans l'article sur une méthode d'enseignement efficace matériel conceptuel/logique, "La méthode socratique -- Enseigner en demandant plutôt qu'en racontant.")

    La représentation en colonnes des groupes est simplement une façon de désigner les groupes. Mais il est important de comprendre pourquoi les groupes doivent être désignés et ce qui se passe réellement dans l'attribution de ce que l'on appelle désormais la désignation de « valeur de position ». Les groupes permettent de compter plus facilement de grandes quantités mais en dehors du comptage, ce n'est qu'en l'écriture nombres que les désignations de groupe sont importants. Les nombres parlés sont les mêmes, peu importe comment ils peuvent être écrits ou désignés. Ils peuvent même être désignés sous forme de mots écrits, tels que « quatre mille trois cent soixante-cinq » – comme lorsque vous épelez des montants en dollars sous forme de mots en écrivant un chèque. Et remarquez que dans la forme parlée, aucune valeur de position n'est mentionnée, bien qu'il puisse sembler l'être. C'est-à-dire que nous disons "cinq mille cinquante quatre", pas "cinq mille non cent cinquante quatre". "Deux millions six" n'est pas "deux millions, pas de cent mille, pas de dix mille, pas de milliers, pas de centaines, pas de dizaines et six". Même si nous utilisons des noms comme "cent", "mille", "million", etc., qui sont les mêmes que les noms des colonnes supérieures à la colonne des dizaines, nous ne représentons pas vraiment des groupements, nous donnons simplement le nom du nombre , quand on le prononce, comme quand on dit "dix" ou "onze". "Onze" est juste un mot qui nomme une quantité particulière. Commençant par "zéro", il s'agit du douzième nom de numéro unique. De même, "quatre mille trois cent vingt-neuf" n'est qu'un nom unique pour une quantité particulière. On aurait pu lui donner un totalement nom unique (dites « gumph ») tout comme « onze », mais il serait difficile de se souvenir de noms totalement uniques pour tous les nombres. Cela facilite simplement la mémorisation de tous les noms en les faisant correspondre à certains modèles, et nous commençons ces modèles en anglais par le nombre « treize » (ou certains pourraient le considérer comme « vingt et un », car les « adolescents » sont différents des décennies). Nous n'utilisons que le concept de représentée regroupements lorsque nous écrivez nombres en utilisant des chiffres.

    Ce qui se passe en écrivant des nombres numériquement, c'est que si nous allons utiliser dix chiffres, comme nous le faisons dans notre arithmétique "normale" de base dix de tous les jours, et si nous allons commencer avec 0 comme chiffre unique le plus bas, alors quand nous obtenons au nombre "dix", nous devons faire autre chose, car nous avons utilisé tous les symboles représentatifs (c'est-à-dire les chiffres) que nous avons choisis -- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Maintenant, nous sommes bloqués quand il s'agit d'écrire le prochain nombre, qui est "dix". Pour écrire un dix, nous devons faire autre chose, comme faire un chiffre de taille différente ou un chiffre de couleur différente ou un chiffre à angle différent, ou quelque chose du genre. Sur le boulier, vous reculez toutes les perles du rang des uns et avancez d'une perle les rangs des dizaines. Qu'est-ce qui est choisi pour écrit chiffres est de commencer une nouvelle colonne. Et puisque le premier nombre qui a besoin de cette colonne pour être écrit numériquement est le nombre dix, nous disons simplement "nous utiliserons cette colonne pour désigner un dix" -- et pour que vous reconnaissiez plus facilement qu'il s'agit d'une colonne différente, nous inclura quelque chose pour montrer où se trouve l'ancienne colonne qui contient tous les nombres de zéro à neuf, nous mettrons un zéro dans la colonne d'origine. Et, pour être économique, au lieu d'utiliser d'autres colonnes différentes pour différents nombres de dizaines, nous pouvons simplement utiliser cette colonne et différents chiffres pour désigner de combien de dizaines nous parlons, en écrivant un nombre donné. Ensuite, il s'avère qu'en changeant les chiffres de la colonne d'origine et les chiffres de la colonne "dix", nous pouvons faire des combinaisons de nos dix chiffres qui représentent chacun des nombres de 0 à 99. Maintenant, nous sommes à nouveau bloqués pour un façon d'écrire cent. Nous ajoutons une autre colonne. (20) Et nous pouvons nous débrouiller avec cette colonne jusqu'à ce que nous dépassions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf. Etc.

    Représentations, conventions, manipulations algorithmiques et logique

    Rappelez-vous, tout cela aurait pu être fait différemment. L'abaque le fait différemment. Nos jetons de poker l'ont fait différemment. Les chiffres romains le font différemment. Et, dans un sens, les ordinateurs et les calculatrices le font différemment parce qu'ils n'utilisent que deux représentations (des interrupteurs qui sont soit « activés » ou « désactivés ») et ils n'ont besoin de colonnes de rien du tout (sauf s'ils doivent afficher un nombre à un humain qui est habitué aux nombres écrits d'une certaine manière - en colonnes utilisant 10 chiffres). Et bien que nous puissions calculer avec un crayon et du papier en utilisant cette méthode de représentation, nous pouvons aussi calculer avec des jetons de poker ou le boulier et nous pouvons faire des multiplications et des divisions, et d'autres choses, beaucoup plus rapidement avec une règle à calcul, qui n'utilise pas de colonnes pour désigner des nombres soit, soit avec une calculatrice ou un ordinateur.

    le écrit système de numérotation que nous utilisons est simplement conventionnel et totalement arbitraire et, bien qu'il soit dans un sens logiquement structuré, il pourrait être très différent et toujours logiquement structuré. Bien qu'il soit utile à de nombreuses personnes pour représenter des nombres et calculer avec des nombres, il n'est nécessaire ni pour l'un ni pour l'autre. Nous pourrions représenter les nombres différemment et faire des calculs tout à fait différemment. Car, bien que les relations entre les quantités soient « fixes » ou « déterminées » par la logique, et bien que la manière dont nous manipulons diverses désignations afin de calculer rapidement et précisément soit déterminée par la logique, la façon dont nous désignons ces quantités en premier lieu n'est pas "fixé" par la logique ou par le raisonnement seul, mais n'est qu'une question de symbolisme inventé, conçu de manière à être aussi utile que possible. Il existe des algorithmes pour multiplier et diviser sur un boulier, et vous pouvez développer un algorithme pour multiplier et diviser des chiffres romains. Mais suivre des algorithmes n'est ni comprendre les principes sur lesquels ils sont basés, ni un signe de comprendre ce que l'on fait mathématiquement. Le développement d'algorithmes nécessite la compréhension de leur utilisation, ce n'est pas le cas.

    Mais ce qui est un peu utile une fois qu'on l'a appris, n'est pas forcément facile à apprendre. Il n'est pas facile pour un adulte d'apprendre une nouvelle langue, bien que la plupart des enfants apprennent assez bien leur première langue à un très jeune âge et puissent l'utiliser assez facilement à l'âge adulte. L'utilisation de la représentation en colonnes pour les groupes (c'est-à-dire les désignations de valeurs de « lieu ») n'est pas un concept facile à comprendre pour les enfants, bien qu'il soit facile pour les enfants d'apprendre à lire et à écrire les nombres correctement, et bien qu'il soit assez facile pour les enfants de apprendre les représentations en couleurs des groupes, avec la pratique.

    Et de plus, il n'est pas facile d'apprendre à manipuler des nombres écrits en plusieurs étapes parce que souvent les manipulations ou les algorithmes qu'on nous enseigne, bien qu'ils aient une logique logique complexe ou "profonde", n'ont pas de base évidente, et il est plus difficile de se souvenir de séquences sans rapport plus elles sont longues. La plupart des adultes qui peuvent se multiplier avec du papier et un crayon n'ont aucune idée de pourquoi vous le faites comme vous le faites ou pourquoi cela fonctionne. (21) Et cela inclut la plupart des professeurs d'arithmétique du primaire.

    Maintenant, les enseignants d'arithmétique (et les parents) ont tendance à confondre l'enseignement (et l'apprentissage) des aspects logiques, conventionnels ou représentationnels et algorithmiques de manipulation de calcul des mathématiques. Et parfois, ils négligent d'enseigner un aspect parce qu'ils pensent l'avoir enseigné alors qu'ils enseignent d'autres aspects. Ce n'est pas nécessairement vrai. L'instruction de « nouvelles mathématiques », dans les cas où elle a échoué, était une tentative d'enseigner les mathématiques de manière logique (dans de nombreux cas par des personnes qui n'en comprenaient pas la logique) tout en n'enseignant pas et en donnant suffisamment de pratique dans bon nombre des calculs représentationnels ou algorithmiques. aspects des mathématiques. L'approche traditionnelle a tendance à négliger la logique ou à supposer que l'enseignement des calculs algorithmiques enseigne la logique des mathématiques. Il existe de nouvelles méthodes qui utilisent certains types de manipulateurs (22) pour enseigner les groupements, mais ces manipulateurs ne sont généralement pas (simplement) représentationnels. Au lieu de cela, ils présentent simplement des groupes de, disons 10, par segments proportionnellement plus longs que les choses qui présentent un ou cinq ou comme des rouleaux de centimes, ils contiennent en fait 100 choses (ou dix choses ou deux choses, ou autre).

    Les élèves doivent apprendre trois aspects différents des mathématiques et ce qui enseigne efficacement un aspect peut ne pas enseigner les autres aspects. Les trois aspects sont (1) les conventions mathématiques, (2) la ou les logiques des idées mathématiques et (3) les manipulations mathématiques (algorithmiques) pour le calcul. Il n'y a pas d'ordre a priori pour enseigner ces différents aspects, quel que soit l'ordre le plus efficace avec un étudiant ou un groupe d'étudiants donné, c'est le meilleur ordre. Les élèves doivent apprendre les représentations conventionnelles "normales" de tous les jours de l'arithmétique, et ils doivent apprendre à manipuler et à calculer avec des nombres écrits par une variété de moyens différents - par des calculatrices, par un ordinateur, par un boulier et par le les manipulations algorithmiques "normales" de la société (23) , qui dans les pays occidentaux sont les méthodes de "regroupement" par addition et soustraction, de multiplication de nombres à plusieurs chiffres par étapes précises, et de division longue, etc. Apprendre à utiliser ces choses prend beaucoup de temps répétition et pratique, en utilisant des jeux ou quoi que ce soit pour le rendre aussi intéressant que possible. Mais ces choses sont généralement des questions de simple exercice ou de pratique de la part des enfants. Mais les élèves ne devraient pas être forcés d'essayer de donner un sens à ces choses par des enseignants qui pensent que ces choses relèvent d'une logique évidente ou simple. Ce ne sont pas des questions de logique évidente ou simple, comme j'ai essayé de le démontrer dans cet article. Les enfants nageront en amont s'ils recherchent la logique alors qu'ils ne font qu'apprendre des conventions ou des algorithmes (dont la logique est bien plus compliquée que de pouvoir se souvenir des étapes des algorithmes, ce qui en soi est déjà assez difficile pour les enfants). Et tout enseignant qui donne aux enfants l'impression que les conventions et les manipulations algorithmiques sont des questions de logique qu'ils doivent comprendre, leur rend un très mauvais service.

    D'un autre côté, les enfants ont besoin de travailler sur les aspects logiques des mathématiques, dont certains découlent de conventions ou de représentations données et dont certains n'ont rien à voir avec des conventions particulières mais ont simplement à voir avec la manière dont les quantités se rapportent à chacun. autre. Mais développer la perspicacité et l'intuition mathématiques des enfants nécessite autre chose que la répétition, l'exercice ou la pratique.

    Beaucoup de ces choses peuvent être faites simultanément bien qu'elles ne soient en aucune façon liées les unes aux autres. On peut aider les élèves à acquérir des connaissances logiques qui leur seront très utiles lorsqu'ils finiront par aborder l'algèbre et le calcul (24) , même si à un autre moment de la journée ou de la semaine, ils apprennent seulement à « emprunter » et « porter " (actuellement appelé "regroupement") des nombres à deux colonnes. Ils peuvent apprendre des connaissances géométriques de diverses manières, dans certains cas en jouant au mini-golf sur toutes sortes de surfaces étranges, en origami, en fabriquant des périscopes ou des kaléidoscopes, en faisant des relevés, en étudiant la flottabilité d'objets de formes différentes, ou encore. Ou on peut leur apprendre différentes choses qui peuvent être liées les unes aux autres, comme les couleurs des jetons de poker et les représentations en colonnes des groupes. Ce qui est important, c'est que les enseignants puissent comprendre quels éléments sont conventionnels ou représentationnels de manière conventionnelle, quels éléments sont logiques et quels éléments sont (complexement) algorithmiques afin qu'ils enseignent ces différents types d'éléments, chacun à sa manière appropriée, en s'exerçant dans ces les choses qui bénéficient de la pratique, et guider la compréhension dans les choses qui nécessitent une compréhension. Et les enseignants doivent comprendre quels éléments des mathématiques sont conventionnels ou représentationnels de manière conventionnelle, quels éléments sont logiques et quels éléments sont (complexement) algorithmiques afin qu'ils puissent enseigner eux-mêmes ces distinctions lorsque les élèves sont prêts à être capables de les comprendre et de les assimiler.

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    Baroody, A.J.(1990). Comment et quand enseigner les concepts et les compétences de valeur de position ? Journal de recherche en enseignement des mathématiques, 21(4), 281-286.

    Cobb, Paul. (1992) Correspondance personnelle. 9 octobre.

    Fuson, K.C. (1990). Structures conceptuelles pour les nombres à plusieurs unités : implications pour l'apprentissage et l'enseignement de l'addition, de la soustraction et de la valeur de position à plusieurs chiffres. Cognition et instruction, 7(4), 343-403.

    Jones, G.A., & Thornton, C.A. (1993). La compréhension qu'ont les enfants de la valeur de position : un cadre pour l'élaboration et l'évaluation du curriculum. Jeunes enfants, 48 ​​ans(5), 12-18.

    Kamii, C. (1989). Les jeunes enfants continuent de réinventer l'arithmétique : 2e année. New York : Teachers College Press.

    Note de bas de page 1. La simple répétition de questions conceptuelles peut fonctionner dans les cas où des expériences ou des informations intermédiaires ont amené un élève à un nouveau niveau de conscience de sorte que ce qui lui est répété aura pour lui un « nouveau sens » ou une pertinence qu'il n'avait pas auparavant. La répétition de points conceptuels sans de nouveaux niveaux de conscience ne sera généralement pas utile. Et la simple répétition de questions non conceptuelles peut être utile, comme pour rappeler interminablement à un jeune joueur de baseball de garder son swing à niveau, à un jeune boxeur de garder sa garde et ses pieds en mouvement, ou un enfant qui apprend à faire du vélo pour « garder colporter continuez à colporter PEDDLE !" (Retour au texte.)

    Note de bas de page 2. Si vous pensez comprendre la valeur de position, alors expliquez pourquoi les colonnes portent les noms qu'elles portent. Autrement dit, pourquoi la colonne des dizaines est-elle la colonne des dizaines ou la colonne des centaines la colonne des centaines ? Et, y aurait-il eu une méthode autre que les colonnes qui aurait fait les mêmes choses que les colonnes, aussi efficacement ? Si oui, quoi, comment et pourquoi ? Si non, pourquoi pas ? En d'autres termes, pourquoi écrivons-nous des nombres en utilisant des colonnes, et pourquoi les colonnes particulières que nous utilisons ? Lors des questions informelles, je n'ai rencontré aucun enseignant du primaire qui puisse répondre à ces questions ou qui y ait jamais pensé auparavant. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 3. La façon dont quelque chose est enseigné, ou comment l'enseignement ou le matériel est structuré, à un individu particulier (et parfois à des groupes d'individus similaires) est extrêmement important pour l'efficacité avec laquelle quelqu'un (ou tout le monde) peut l'apprendre. Parfois, la structure est cruciale pour l'apprendre. Un exemple simple d'abord : (1) dire un numéro de téléphone tel que 323-2555 à un Américain comme « trois, deux, trois (pause), deux, cinq, cinq, cinq » lui permet de le saisir beaucoup plus facilement que de dire « double trente-deux, triple cinq". Il est même difficile pour un Américain de saisir un numéro de téléphone si vous marquez une pause après le quatrième chiffre au lieu du troisième ("trois, deux, trois, deux (pause), cinq, cinq, cinq").

    (2) J'ai pu apprendre l'histoire de l'art à partir d'un livre qui l'a structurée en faisant parcourir au lecteur un type d'art dans un type de région pendant une longue période, puis en faisant de même pour une autre région. J'ai eu du mal à apprendre d'un livre qui traitait de nombreuses régions simultanément dans différentes tranches de temps. Je pourrais faire mes propres comparaisons transversales après avoir étudié chaque région dans son intégralité, mais je ne pouvait pas construire une région entière à partir de ce qui, pour moi, n'était qu'un fouillis de parties transversales.

    (3) J'ai vu un enfant essayer d'apprendre à faire du vélo par son père ayant retiré une roue d'entraînement et laissé l'autre complètement étendue au sol. La seule façon d'empêcher le vélo de basculer était de se pencher loin sur la roue d'entraînement restante. L'enfant roulait à juste titre à un angle de 30 degrés par rapport au vélo. Lorsque j'ai enlevé l'autre roue d'entraînement pour lui apprendre à conduire, il a fallu environ dix minutes pour qu'elle revienne à la position de conduite verticale initiale d'un novice normal. Je ne crois pas qu'elle aurait pu apprendre à monter à cheval selon la méthode de son père.

    (4) J'explique les éléments de la photographie en trois heures d'une manière qui a du sens pour les étudiants, bien qu'elle ne « pénètre » pas complètement les étudiants à la fin de ce temps. ("S'enfoncer" ou une installation prête nécessite de la pratique et de la compréhension.) De nombreuses personnes à qui j'ai enseigné ont suivi des cours entiers de photographie qui n'étaient pas très bien structurés, et ma perspective éclaire leur compréhension d'une manière qu'elles n'ont peut-être ils allaient.

    (5) J'ai étudié l'histoire européenne pour la première fois lorsque j'étais à l'université. Mon conférencier n'a pas structuré le matériel pour nous, et pour moi, le tout était une collection sans fin et indiscernable de papes, de rois et de guerres. J'ai essayé de tout mémoriser et c'était pratiquement impossible. J'ai découvert à la fin du trimestre que l'autre professeur qui a enseigné le cours (à tous mes amis) a passé chacun de ses cours à simplement structurer un cadre afin de donner une perspective aux étudiants pour placer les détails qu'ils lisaient. Ils l'ont appris.

    (6) L'année où j'ai pris la chimie organique, un professeur a testé un nouveau manuel qui structurait la matière d'une nouvelle manière, et il a donné la même structure que le livre. Il a admis à la fin de l'année que c'était une grosse erreur que les étudiants n'apprenaient pas aussi bien en utilisant cette structure. Je ne suis pas devenu bon en chimie organique.

    (7) Dans le calcul du deuxième semestre, il y avait trois chapitres remplis de formules qui pouvaient toutes être dérivées de la première formule du chapitre, mais ni le livre ni aucun des enseignants n'ont souligné que toutes les formules sauf la première étaient dérivées. Il semblait y avoir beaucoup de mémorisation nécessaire pour apprendre chacune de ces formules individuelles. J'ai remarqué la relation la veille de l'examen de mi-session, purement par chance et par un raisonnement fortuit sur autre chose. J'ai pensé que j'étais le dernier à le voir des 1500 étudiants du cours et que, comme d'habitude, j'avais été très naïf sur le matériel. Il s'est avéré que j'étais le seul à le voir. J'ai très bien réussi, mais tout le monde s'en est très bien sorti au test parce que la mémoire dans les conditions de l'examen n'était pas à la hauteur du raisonnement. Si les enseignants ou le livre avaient simplement dit spécifiquement que la première formule était un principe général à partir duquel vous pourriez dériver toutes les autres, la plupart des autres étudiants auraient également bien réussi le test.

    Il pourrait y avoir des millions d'exemples. La plupart des gens ont connu des enseignants qui ne pouvaient tout simplement pas très bien expliquer les choses, ou qui ne pouvaient expliquer quelque chose que d'une manière précise, de sorte que si un étudiant ne suivait pas cette explication particulière, il n'avait aucune chance d'apprendre cette chose de cet enseignant. La structure de la présentation à un élève en particulier est importante pour l'apprentissage. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 4. Dans une petite ville pas très loin de Birmingham, il y a un McDonald's récemment ouvert qui sert des milk-shakes au chocolat de couleur blanc cassé et dont le goût n'est pas très bon. Ils ne sont pas comme les autres milk-shakes au chocolat McDonald's. Lorsque j'ai expliqué au directeur le goût des shakes, sa réponse a été que la machine à shake était toute neuve, qu'elle avait été installée par des experts et qu'elle avait été certifiée par eux la semaine précédente. façon dont ils étaient censés être, il n'y avait rien de mal avec eux. Impossible de la convaincre. Après qu'elle soit retournée à son bureau, j'ai réalisé, et j'ai mentionné au personnel de vente, que j'aurais dû lui demander de faire un test de goût pour essayer de distinguer ses shakes au chocolat de ceux à la vanille. Cela lui montrerait qu'il n'y avait aucune différence. Le personnel m'a dit que cela ne fonctionnerait pas car il y avait une nette différence: "Nos shakes à la vanille ont le goût de la craie." Ils compris qu'il y avait un problème.

    Malheureusement, trop d'enseignants enseignent comme ce gestionnaire le gère. Ils pensent que s'ils font bien ce que les manuels, les cours collégiaux et les guides pédagogiques leur disent de faire, alors ils ont bien enseigné et ont fait leur travail. Ce que les enfants en retirent n'a rien à voir avec leur qualité d'enseignant. C'est la présentation, et non la réaction à la présentation, qui les préoccupe. Pour eux, "l'enseignement" est la présentation (ou la mise en place de la salle de classe pour la découverte ou le travail). S'ils « enseignent » bien ce que les enfants savent déjà, ce sont de bons enseignants. S'ils font des présentations dynamiques bien préparées avec beaucoup d'enthousiasme, ou s'ils assignent des projets particuliers, ils sont de bons enseignants, même si aucun enfant ne comprend la matière, ne découvre quoi que ce soit ou ne s'en soucie. S'ils forment leurs élèves à être capables, par exemple, de faire des fractions dans un test, ils ont fait du bon travail en enseignant l'arithmétique, que ces enfants comprennent ou non les fractions en dehors d'une situation de test. Et si, par quelque moyen que ce soit, ils entraînent les enfants à bien faire ces fractions, cela n'a aucune importance s'ils empoisonnent à jamais l'intérêt de l'enfant pour les mathématiques. Enseigner, pour des enseignants comme ceux-ci, n'est qu'une question de technique appropriée, pas une question de résultats.

    Eh bien, ce n'est pas plus vrai que le fait que ces shakes répondent aux normes de McDonald's simplement parce que la technique par laquelle ils sont fabriqués est "certifiée". Je ne dis pas que les enseignants devraient être capables d'enseigner pour que chaque enfant apprenne. Il existe des variables qui échappent même au contrôle des meilleurs enseignants. Mais les enseignants devraient être capables de dire ce que leurs élèves raisonnablement capables savent déjà, afin qu'ils ne perdent pas leur temps ou ne les ennuient pas. Les enseignants devraient être en mesure de dire si les élèves raisonnablement capables comprennent le nouveau matériel, ou s'il doit être présenté à nouveau d'une manière différente ou à un moment différent. Et les enseignants devraient être en mesure de dire s'ils stimulent l'esprit de ces élèves à propos de la matière ou s'ils empoisonnent l'intérêt que l'enfant pourrait avoir.

    Toutes les techniques de tous les manuels d'instruction et guides pédagogiques du monde entier ne visent qu'à ces fins. Les techniques ne sont pas des fins en elles-mêmes, elles ne sont que des moyens pour parvenir à des fins. Les enseignants qui perfectionnent leurs techniques d'enseignement en peaufinant simplement leurs présentations, en réaménageant l'environnement de la classe ou en concevant consciencieusement de nouveaux projets, sans aucune compréhension ni considération de ce qu'ils font réellement aux enfants, peuvent tout aussi bien cogérer ce McDonald's. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 5. Certaines de ces études interprétées comme montrant que les enfants ne comprennent pas la valeur de position sont, je crois, erronées. Jones et Thornton expliquent la « tâche de valeur de position » suivante : on demande aux enfants de compter 26 bonbons, puis de les placer dans 6 tasses de 4 bonbons chacune, avec deux bonbons restants. Lorsque le « 2 » de « 26 » a été encerclé et que les enfants ont été invités à le montrer avec des bonbons, les enfants ont généralement indiqué les deux bonbons. Lorsque le « 6 » dans « 26 » a été encerclé et a demandé à être signalé avec des bonbons, les enfants ont généralement indiqué les 6 tasses de bonbons. Ceci est pris pour démontrer que les enfants ne comprennent pas la valeur de position. Je crois que cela démontre le genre d'astuces similaires aux problèmes suivants, qui ne montrent pas un manque de compréhension, mais montrent que l'on peut être trompé en ignorant ou en oubliant sa compréhension.

    (1) Il y a un navire dans le port avec une très longue échelle de corde suspendue par-dessus bord dont les barreaux sont espacés de 8 pouces. Au début de la marée montante, trois barreaux sont sous l'eau. Si la marée monte pendant quatre heures au rythme de 1 pied par heure, à la fin de cette période, combien d'échelons seront submergés ?

    La réponse n'est pas neuf, mais "toujours trois, car le navire montera avec la marée". Cela ne démontre pas que les répondants ne comprennent pas la flottabilité, seulement que l'on peut être amené à l'oublier ou à l'ignorer.

    (2) Trois hommes sont entrés dans un hôtel en 1927 et ont obtenu une suite de chambres pour un total de 30 $, qu'ils ont payé d'avance en espèces, chaque homme versant 10 $. Après qu'ils soient montés dans la chambre, le réceptionniste s'est rendu compte qu'il avait fait une erreur et que la suite ne coûtait que 25 $. Il a donné 5 $ au groom à ramener aux hommes. Le groom ne savait pas comment répartir l'argent également entre les hommes, alors il a simplement rendu 1 $ à chacun d'eux et en a gardé deux pour lui-même. Cela signifie que les hommes ont payé 9 $ chacun pour un total de 27 $. Le groom a gardé 2 $, donc c'est 29 $. Mais il y avait 30 $ au départ, alors qu'est-il arrivé à l'autre dollar ?

    Cela tend à être un problème extrêmement difficile - psychologiquement - bien qu'il ait une réponse extrêmement simple. L'argent versé doit simplement être égal à l'argent encaissé. 27 $ ont été payés (en fin de compte) 2 $ sont allés au groom et 25 $ sont allés au bureau. Vous devez soustraire les 2 $ que le groom a gardés, pas ajouter il revient au montant que les hommes ont payé. Il n'y a aucune raison d'ajouter les 2 $ aux 27 $ autre que d'obtenir un nombre suffisamment proche des 30 $ d'origine pour confondre l'auditeur en pensant que quelque chose ne va pas et que 1 $ n'est pas pris en compte. Les personnes qui ne peuvent pas résoudre ce problème n'ont généralement aucune difficulté à comptabiliser l'argent, mais elles ne le font que lorsqu'elles travaillent sur ce problème.

    (3) Le problème suivant est difficile d'autant plus que vous connaissez le calcul. Si vous ne connaissez pas le calcul, le problème n'est pas particulièrement difficile. C'est un problème favori pour tromper les professeurs de mathématiques sans méfiance.

    Deux trains partent simultanément, distants de 750 milles sur la même voie, se dirigeant l'un vers l'autre. Le train à l'ouest roule à 70 mi/h et le train à l'est roule à 55 mi/h. Au moment où les trains commencent, une abeille qui vole à 300 mph commence à un train et vole jusqu'à ce qu'elle atteigne l'autre, auquel moment elle fait marche arrière (sans perdre de vitesse) et revient immédiatement au premier train, qui, bien sûr, est maintenant plus proche. L'abeille continue d'aller et venir entre les deux trains toujours plus proches jusqu'à ce qu'elle soit écrasée entre eux lorsqu'ils s'écrasent l'un contre l'autre. Quelle est la distance totale parcourue par l'abeille ?

    La solution informatiquement extrêmement difficile, mais psychologiquement logiquement apparente, consiste à « additionner une série infinie ». Les mathématiciens ont tendance à s'enfermer dans cette méthode. La solution de facilité, cependant, est que les trains se rapprochent à une vitesse combinée de 125 mph, ils couvriront donc les 750 miles et s'écraseront en 6 heures. L'abeille vole constamment à 300 mph, donc au cours de ces 6 heures, elle parcourra 1800 miles. (Un mathématicien est censé avoir donné la réponse immédiatement, surprenant un interlocuteur qui a répondu à quel point c'était incroyable "puisque la plupart des mathématiciens essaient de résumer une série infinie". ")

    Ce n'est pas que les mathématiciens ne sachent pas résoudre ce problème de manière simple, c'est qu'il est construit de manière à ne pas leur faire penser à la manière simple.

    Je crois que le problème décrit par Jones et Thornton agit de la même manière sur l'esprit des enfants. Bien que je pense qu'il existe de nombreuses preuves que les enfants et les adultes ne comprennent pas vraiment la valeur de position, je ne pense pas que des problèmes de ce genre le démontrent, pas plus que des problèmes comme ceux présentés ici ne démontrent un manque de compréhension des principes impliqués.

    Il est facile de voir que les enfants ne comprennent pas la valeur de position lorsqu'ils ne peuvent pas additionner ou soustraire correctement des nombres écrits en utilisant des problèmes de plus en plus difficiles que ceux qui leur ont été montrés et percés ou substantiellement répété "comment" faire (par étapes spécifiques, c'est-à-dire par algorithme) . Par de plus en plus difficile, j'entends, par exemple, passer de la soustraction ou additionner des quantités relativement plus petites à des quantités relativement plus grandes (avec de plus en plus de chiffres), passer à des problèmes qui nécessitent (appelez ça comme vous voulez) le regroupement, le transport, l'emprunt ou l'échange aller aux problèmes de soustraction avec des zéros dans le nombre à partir duquel vous soustrayez à des zéros consécutifs dans le nombre auquel vous soustrayez et soustrayez des problèmes particulièrement difficiles psychologiquement sous forme écrite, tels que "10 101 - 9 999". Demander aux élèves de (démontrer comment ils) résolvent (les types de) problèmes sur lesquels ils ont été « enseignés » et répétés ne fait que tester leur attention et leur mémoire, mais demander aux élèves de (démontrer comment ils) résolvent Nouveau types de problèmes (qui utilisent les concepts et les méthodes que vous avez démontrés, mais "allez un peu plus loin" d'eux) aide à montrer s'ils ont développé une compréhension. Cependant, les types de problèmes au début de cette note ne font pas cela parce qu'ils ont été conçus spécifiquement pour induire en erreur psychologiquement, ou ils sont construits accidentellement de manière à induire en erreur. Ils vont au-delà de ce que les étudiants ont spécifiquement appris, mais le font d'une manière délicate plutôt que d'une manière simplement "logiquement naturelle". Je ne peux pas catégoriser en quoi "aller au-delà d'une manière délicate" diffère de "aller au-delà d'une manière "naturellement logique"" afin de tester la compréhension, mais les exemples doivent préciser ce que je veux dire.

    De plus, il est souvent difficile de savoir ce que quelqu'un d'autre demande ou dit lorsqu'il le fait d'une manière différente de tout ce à quoi vous pensez à ce moment-là. Si vous posez des questions sur une conception spatiale quelconque et que quelqu'un dessine une vue en coupe sous un angle qui lui semble logique, cela peut n'avoir aucun sens pour vous jusqu'à ce que vous puissiez « réorienter » votre pensée ou votre perspective. Ou si quelqu'un démontre une preuve ou une justification, il peut procéder à une étape que vous ne suivez pas du tout et peut devoir lui demander d'expliquer cette étape. Ce qui était évident pour lui ne l'était pas pour vous pour le moment.

    Le fait qu'un enfant, ou tout autre sujet, désigne deux bonbons lorsque vous entourez le « 2 » dans « 26 » et lui demandez de vous montrer ce que cela signifie, peut-être simplement parce qu'il ne pense pas à ce que vous demandez dans le façon dont vous le posez ou y pensez vous-même. Il n'y a aucune tromperie impliquée, vous pensez simplement à des choses différentes, mais en utilisant les mêmes mots (ou symboles) pour décrire ce à quoi vous pensez. C'est similaire à quelqu'un citant un prix de « mille neuf cent quatre-vingt-quinze » lorsque vous pensez à tort que vous regardez des bijoux de fantaisie, et vous pensez qu'il veut dire 19,95 $, alors qu'il veut dire 1995 $. Ou demandez à quelqu'un de regarder le visage d'une personne à environ dix pieds d'elle et de décrire ce qu'elle voit. Ils décriront le visage de cette personne, mais ils verront en réalité beaucoup plus que le visage de cette personne. Donc, leur réponse est fausse, bien que cela soit compréhensible. Maintenant, dans un sens, c'est un malentendu trivial et trompeur, mais en photographie, les amateurs ne "voient" tout le temps qu'un visage dans leur visionneuse, alors qu'en réalité ils sont trop loin pour que ce visage apparaisse très bien sur la photo . Ils ne savent vraiment pas tout ce qu'ils voient à travers le spectateur, et tout ce que la caméra « voit » prendre. La différence est que si l'on fait cette erreur avec un appareil photo, c'est vraiment une erreur si l'on fait l'erreur verbalement en réponse à la question que j'ai posée, ce n'est peut-être pas une vraie erreur mais seulement de prendre une question ambiguë comme elle l'a été de manière trompeuse non voulu. Demander à un enfant ce que signifie un « 2 » encerclé, peu importe d'où il vient, peut ne lui donner aucune raison de penser que vous lui posez des questions sur la partie « vingt » de « 26 » – en particulier lorsqu'il y a deux objets que vous avez intentionnellement l'avait mis devant lui, et aucun ensemble évident de vingt objets. Il peut parfaitement comprendre la valeur de position, mais ne pas voir que c'est ce que vous demandez - surtout dans les circonstances que vous avez construites et dans lesquelles vous posez la question. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 6.Si vous comprenez le concept de valeur de position, si vous comprenez comment les enfants (ou n'importe qui) ont tendance à penser à de nouvelles informations de toute sorte (et à quel point les malentendus sont faciles, en particulier sur les questions conceptuelles), et si vous regardez la plupart des enseignants enseigner la les choses qui impliquent la valeur de position ou tout autre aspect logique-conceptuel des mathématiques, il n'est pas surprenant que les enfants ne comprennent pas très bien la valeur de position ou d'autres concepts mathématiques et qu'ils ne puissent généralement pas très bien faire les mathématiques. La valeur de position, comme de nombreux concepts, est souvent enseignée comme s'il s'agissait d'une sorte de phénomène naturel - comme si être dans la colonne des 10 était une propriété simple, naturelle et observable, comme être grand, bruyant ou rond - au lieu de un concept logiquement et psychologiquement complexe. Ce qui peut être étonnant, c'est que la plupart des adultes peuvent faire des mathématiques aussi bien qu'ils le font avec aussi peu de compréhension approfondie qu'ils en ont. La recherche sur ce que les enfants comprennent de la valeur de position devrait être reconnue comme ce que les enfants comprennent de la valeur de position vu comment cela leur a été enseigné, non comme les limites de leur compréhension possible de la valeur de position. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 7. Baroody (1990) catégorise ce qu'il appelle des « modèles de plus en plus abstraits de nombres à plusieurs chiffres utilisant des objets ou des images » et inclut la mention du modèle que je pense le plus approprié - des jetons de poker de différentes couleurs - qu'il souligne être conceptuellement similaire à Hiéroglyphes égyptiens - dans lesquels un "marqueur" d'aspect différent est utilisé pour représenter les dizaines. Et il dit "L'utilisation d'un marqueur dix d'apparence différente peut aider certains enfants - en particulier ceux dont les capacités sont faibles - à combler le fossé entre des modes de réalisation de taille très concrète et le [suivant/dernier] modèle relativement abstrait [impliquant la position relative des marqueurs] ."

    Je ne crois pas que ses catégories soient des catégories de modèles de plus en plus abstraits de nombres à plusieurs chiffres. Il a quatre catégories. Je crois que les deux premières ne sont que des groupements concrets d'objets (blocs imbriqués et marques de pointage dans la première catégorie, et blocs de Dienes et dessins de blocs de Dienes dans la deuxième catégorie). Et les deux seconds --type de marqueur différent et valeur de position relative différente--sont tous deux des représentations tout aussi abstraites du groupement, la différence entre eux étant que la valeur de position relative est un concept plus difficile à assimiler au début que ne l'est un marqueur différent taper. Ce n'est pas plus abstrait, c'est juste abstrait d'une manière plus difficile à reconnaître et à gérer.

    De plus, Baroody qualifie toutes ses catégories de sortes de « trading », mais il ne semble pas reconnaître qu'il y a parfois une différence entre « trading » et « représenter », et que le commerce n'est pas du tout abstrait comme l'est la représentation. Je peux vous échanger ma carte Mickey Mantle contre votre carte Ted Kluzewski ou mon sandwich au thon contre votre boisson gazeuse, mais cela ne veut pas dire que les cartes Mickey Mantle représentent des cartes Klu ou que les sandwichs représentent des boissons gazeuses. Les enfants en général, et pas seulement les enfants à faible capacité, peuvent comprendre le commerce sans nécessairement comprendre la représentation. Et ils peuvent continuer à partir de là pour comprendre le genre de représentation qui s'avère être similaire au commerce, qui est le genre de représentation qu'est cette valeur de position. Mais en ce qui concerne le commerce, par opposition à la représentation, il est d'abord plus facile d'appréhender ou d'apprécier (ou de se souvenir, ou de prétendre) qu'il existe une différence de valeur entre des objets physiquement différents, quel que soit l'endroit où ils se trouvent, que d'appréhender ou de apprécier une différence entre deux objets d'apparence identique qui se trouvent simplement à des endroits différents. Il est logique de dire que quelque chose peut avoir plus ou moins de valeur s'il est physiquement modifié, pas seulement physiquement déplacé. Peindre votre voiture, éliminer les bosses ou reconstruire le carburateur en vaut la peine d'une manière évidente, le stationnement plus haut dans votre allée ne le fait pas. Il est logique pour un enfant de dire que deux jetons de poker bleus valent 20 blancs, il est moins logique de dire qu'un "2" ici vaut dix "2" ici. Les jetons de poker en couleur enseignent les parties représentatives abstraites importantes des colonnes d'une manière que les enfants peuvent saisir beaucoup plus facilement. Alors pourquoi ne pas les utiliser et faciliter l'apprentissage de tous les enfants ? Et les jetons de poker sont du matériel scolaire relativement peu coûteux. En pensant à l'utilisation de différents types de marqueurs (pour représenter différentes valeurs de groupe) principalement comme une aide pour les élèves de « faible capacité », Baroody manque leur potentiel pour aider tous les enfants, y compris les enfants assez « brillants », à apprendre la valeur de position plus tôt, plus facilement , et plus efficacement. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 8. N'oubliez pas que les versions écrites des nombres ne sont pas la même chose que les versions orales. Les versions écrites doivent être apprises ainsi que les versions orales sachant que les nombres parlés n'enseignent pas les nombres écrits. Par exemple, les nombres écrits en chiffres romains se prononcent de la même manière que les nombres en chiffres arabes. Et les nombres écrits sous forme binaire se prononcent de la même manière que les nombres qu'ils représentent, ils sont simplement écrits différemment et ressemblent à des nombres différents. En mathématiques binaires, "110" est "six", pas "cent dix". Lorsque les enfants apprennent à lire les nombres, ils font parfois des erreurs comme appeler « 11 » « un-un », etc. Même les adultes, confrontés à un grand nombre à plusieurs colonnes, ont souvent du mal à nommer le nombre, même s'ils n'ont peut-être pas difficulté à manipuler le nombre pour les calculs les noms de nombres au-delà des nombres à un chiffre ne sont pas nécessairement une aide pour réfléchir ou manipuler des nombres.

    Karen C. Fuson explique comment les noms des nombres de 10 à 99 dans la langue chinoise incluent essentiellement les noms de colonnes (comme le font nos multiples entiers de 100), et elle pense que cela permet aux étudiants de langue chinoise d'apprendre le lieu -Valoriser plus facilement les concepts. Mais je crois que cela ne s'ensuit pas, car quelle que soit la manière dont les noms des nombres sont prononcés, leur désignation numérique est toujours une chose totalement différente de la désignation écrite, par exemple "1000" contre "mille". Il devrait être tout aussi difficile pour un enfant de langue chinoise d'apprendre à identifier le nombre « 11 » que pour un enfant de langue anglaise, car tous deux, ayant appris le nombre « 1 » comme « un », verront le nombre "11" comme simplement deux "un" ensemble. Il ne devrait pas être plus facile pour un enfant chinois d'apprendre à lire ou à prononcer "11" comme (la traduction chinoise de) "un-dix, un" qu'il ne l'est pour les enfants anglophones de le voir comme "onze". Et Fuson note la détection de trois problèmes que les enfants chinois ont : (1) apprendre à écrire un « 0 » lorsqu'il n'y a aucune mention d'une « colonne » particulière dans la prononciation d'un nombre (par exemple, sachant que « trois mille six » est "3006" pas seulement "36") (2) sachant que dans certains cas, lorsque vous obtenez plus de neuf d'une valeur de position donnée, vous devez convertir le "extra" en une valeur de position plus élevée afin de l'écrire (par exemple, vous pouvez dire "cinq cent et douze dix", mais vous devez l'écrire sous la forme "620" parce que vous [en quelque sorte] ne pouvez pas l'écrire sous la forme "5120". [Je dis "en quelque sorte" parce que nous enseignons aux enfants d'écrire des colonnes "concaténées" -- des colonnes qui contiennent des nombres à plusieurs chiffres -- lorsque nous leur apprenons l'algorithme d'emprunt de la soustraction, nous écrivons un " 12 " dans la colonne des dizaines lorsque nous avions deux dizaines et empruntons 10 de plus. 3) Écrire des nombres normalement sans les "concaténer" (par exemple, apprendre à écrire "cinq cent douze" comme "512" au lieu de "50012", où l'enfant écrit le "500" et met le " 12" au bout).

    Mais il y a, ou devrait être, plus impliqué. Même après que les enfants de langue chinoise aient appris à lire des nombres numériques, tels que "215" comme (la traduction chinoise de) "2-cent, un-dix, cinq", cela seul ne devrait pas les aider à soustraire "56 " de là plus facilement qu'un enfant anglophone ne peut le faire, parce que (1) il faut encore traduire les concepts de trading en notations numériques en colonnes, ce qui n'est pas spécialement facile, et parce que (2) il faut encore comprendre comment les unités, les dizaines, les centaines, etc. se rapportent les unes aux autres afin que l'on puisse échanger entre des désignations de noms de colonnes supérieures et inférieures, par exemple entre des milliers et des centaines ou entre des millions et des centaines de milliers, etc. Et bien qu'il puisse sembler facile de soustraire "cinq-dix" (50) de "six-dix" (60) pour obtenir "un-dix" (10), il n'est généralement pas difficile pour les personnes qui ont appris à compter par dizaines de soustraire "cinquante" de "soixante " pour obtenir " dix ". Il n'est pas non plus difficile pour les étudiants anglophones qui ont exercé beaucoup avec des quantités et des noms de nombres pour soustraire « quarante-deux » de « cinquante-six » pour obtenir « quatorze ». Il n'est certainement pas plus facile pour un enfant de langue chinoise d'obtenir « un dix quatre » en soustrayant « quatre dix deux » de « cinq dix six ». Les étudiants en algèbre ont souvent du mal à additionner et à soustraire des variables mixtes [par exemple, "(10x + 3y) - (4x + y)"] est-il plus facile pour les enfants de langue chinoise de faire quelque chose de pratiquement identique ? Je soupçonne que si les enfants de langue chinoise comprennent mieux la valeur de position que les enfants de langue anglaise, il y a plus de raison que la désignation du nom de leurs nombres. Et Fuson souligne un certain nombre de choses que les enfants asiatiques apprennent à faire et que les enfants américains n'apprennent généralement pas, des diverses méthodes de comptage des doigts à la pratique avec des paires de nombres qui s'ajoutent à dix ou à des multiples entiers de dix.

    D'un point de vue conceptuel du genre que je décris dans cet article, il semblerait que ce genre de pratique soit bien plus important pour apprendre les relations entre les nombres et entre les quantités que la façon dont les nombres prononcés sont nommés. Il existe toutes sortes de façons de s'entraîner à utiliser des nombres et des quantités si peu ou pas d'entre eux sont utilisés, les enfants n'apprendront probablement pas très bien les mathématiques, quelle que soit la façon dont les mots numériques sont construits ou prononcés ou comment les nombres sont écrits. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 9. Étant donné que les enfants peuvent apprendre à lire les nombres simplement par la répétition et la pratique, je maintiens que lire et écrire des nombres n'a rien à voir nécessairement avec la compréhension de la valeur de position. Je considère que la "valeur de position" concerne comment et Pourquoi les colonnes représentent ce qu'ils font et comment ils se rapportent les uns aux autres, pas seulement savoir quelle ils s'appellent. Certains enseignants et chercheurs, cependant (et Fuson peut être l'un d'entre eux) semblent utiliser le terme "valeur de position" pour inclure ou concerner la dénomination de nombres écrits, ou l'écriture de nombres nommés. Dans cet usage, Fuson aurait donc raison de dire que -- une fois que les enfants apprendront que les nombres écrits ont des noms de colonnes, et quel est l'ordre de ces noms de colonnes -- les enfants de langue chinoise auraient un avantage à lire et à écrire des nombres (qui incluent n'importe quel dix et un) que les enfants anglophones n'ont pas. Mais comme je l'ai souligné plus tôt, je ne pense pas que l'avantage se traduise par des manipulations arithmétiques écrites numériquement ou représentées numériquement, c'est là qu'intervient la compréhension de la valeur de position.

    Et je ne pense pas que ce soit un quelconque avantage réel, car je pense que les enfants peuvent apprendre à lire et à écrire des nombres de 1 à 100 assez facilement par cœur, avec de la pratique, et ils peuvent le faire plus facilement de cette façon qu'ils ne le font. peut le faire en apprenant les noms et les nombres de colonnes et comment assembler différents chiffres par colonnes afin de former le nombre.

    Lorsque mes enfants apprenaient à "compter" à voix haute (c'est-à-dire à simplement réciter les noms des nombres dans l'ordre), deux choses étaient difficiles pour eux, dont l'une serait également difficile pour les enfants de langue chinoise, je suppose. Ils oublieraient d'aller au prochain groupe de dix après être arrivés à neuf dans le groupe précédent (et je suppose que, si les enfants chinois apprennent à compter jusqu'à dix avant de passer à "un-dix un", ils compteront probablement parfois par inadvertance de, disons, "six dix neuf à six dix dix"). Et, probablement à la différence des enfants chinois, pour les raisons invoquées par Fuson, mes enfants avaient du mal à se souvenir des noms des séries de dizaines ou "décennies" suivantes. Quand ils se souvenaient qu'ils devaient changer le nom de la décennie après quelque chose, ils oubliaient ce qui allait suivre. Mais ce n'était pas si difficile d'y remédier par de brèves périodes de répétition consistant à dire les décennies (en conduisant en voiture, pendant les courses ou les trajets domicile-travail, généralement) et ensuite en s'entraînant à passer de vingt-neuf à trente, trente-neuf à quarante, etc. séparément .

    En fait, une troisième chose arriverait aussi parfois, et théoriquement, il me semble, cela arriverait probablement plus fréquemment aux enfants apprenant à compter en chinois. En comptant jusqu'à 100, mes enfants sautaient parfois un numéro sans s'en apercevoir ou ils perdaient leur concentration et oubliaient où ils étaient et passaient peut-être de soixante-six à soixante-dix-sept, ou quelque chose comme ça. Je pense que si vous appreniez à compter avec le système de nommage chinois, il serait assez facile de passer de quelque chose comme six-dix trois à quatre-dix sept si vous avez un quelconque manque de concentration. Il serait facile de confondre quel « dix » et quel « un » vous venez de dire. Si vous essayez de compter des mélanges simples de deux types d'objets différents à la fois -- dans votre tête -- vous confondrez facilement quel nombre est le suivant pour quel objet. Mettez différents petits nombres de jetons de poker bleus et rouges en dix ou quinze piles, puis en passant d'une pile à l'autre une seule fois, essayez de compter simultanément tous les bleus et tous les rouges (en gardant les deux sommes distingué). Il est extrêmement difficile de le faire sans se demander quelle somme vous venez d'avoir pour les bleus et laquelle vous venez d'avoir pour les rouges. Bref, vous perdez la trace de quel numéro correspond à quel nom. Je suppose que les enfants chinois auraient la même difficulté à apprendre à dire les nombres dans l'ordre. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 10. Il y a une différence entre les choses qui nécessitent une pratique répétitive pour « apprendre » et celles qui nécessitent une compréhension. Le but de la pratique est de devenir meilleur pour éviter les erreurs, pas pour mieux les reconnaître ou les comprendre à chaque fois que vous les faites. Le but de la pratique répétitive est simplement de devenir plus adroit à faire quelque chose correctement. Cela n'a pas nécessairement quelque chose à voir avec une meilleure compréhension. Il s'agit d'être capable de faire quelque chose plus rapidement, plus facilement, plus automatiquement, plus naturellement, plus habilement, plus parfaitement, bien ou parfaitement plus souvent, etc. Certains principes fondamentaux d'équipe dans le sport peuvent avoir des justifications évidentes. ensuite, non pour mieux les comprendre mais pour pouvoir mieux les faire.

    En mathématiques et en sciences (et dans bien d'autres domaines), la compréhension et l'application pratique sont parfois des choses distinctes dans le sens où l'on peut comprendre la multiplication, mais c'est différent de pouvoir multiplier facilement et rapidement. Beaucoup de gens peuvent très bien multiplier sans comprendre la multiplication parce qu'ils ont appris un algorithme de multiplication qu'ils ont pratiqué de manière répétitive. D'autres ont appris à comprendre la multiplication de manière conceptuelle, mais ne se sont pas entraînés à multiplier suffisamment les nombres réels pour pouvoir multiplier efficacement sans calculatrice. La compréhension et la pratique sont toutes deux importantes dans de nombreux aspects des mathématiques, mais la pratique et la compréhension sont deux choses différentes et doivent souvent être « enseignées » ou travaillées séparément.

    De même, les physiciens ou les mathématiciens peuvent travailler avec des formules qu'ils connaissent par cœur par la pratique et l'utilisation, mais ils peuvent avoir à réfléchir un peu et à reconstruire une preuve ou une justification de ces formules si on leur demande. Avoir une compréhension, ou être capable d'avoir une compréhension, est souvent différent de pouvoir énoncer instantanément une preuve ou une justification de mémoire. Dans certains cas, il peut être important pour quelqu'un non seulement de comprendre un sujet mais de mémoriser les étapes de cette compréhension, ou de pratiquer ou de répéter la « preuve » ou la justification ou la dérivation également, afin qu'il puisse se rappeler la justification complète et spécifique à volonté. Mais tous les cas ne sont pas comme ça. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 11. Dans une discussion sur ce point de la liste AERA-C d'Internet, Tad Watanabe a souligné à juste titre qu'il n'est pas nécessaire de se regrouper d'abord pour faire des soustractions qui nécessitent « d'emprunter » ou d'échanger des dizaines contre des unités. On pourrait soustraire le chiffre de soustraction du dix "emprunté" et ajouter la différence au chiffre d'origine du moins. Par exemple, en soustrayant 26 de 53, on peut changer 53 en, non seulement 40 plus 18, mais 40 plus un dix et 3 uns, soustraire le 6 du dix, puis ajouter la différence, 4, au 3 vous "déjà eu", afin d'obtenir les 7 uns. Ensuite, bien sûr, soustrayez les deux dizaines des quatre dizaines et obtenez 27. Cela évite d'avoir à faire des soustractions impliquant des minuends de 11 à 18.

    Cela m'a à son tour rappelé deux autres façons de faire une telle soustraction, en évitant de soustraire de 11 à 18 : (1) semblable à la façon dont vous le feriez avec un boulier, vous soustrayez autant de un que possible de celui dans le " existant", puis vous soustrayez le reste de ceux que vous devez soustraire après avoir converti un dix en un 10. (Dans le cas de 53-26, vous soustrayez les trois uns du 53, ce qui laisse trois autres uns que vous devez soustraire une fois que vous avez converti les dix de cinquante en uns 10. Ensuite, bien sûr, vous soustrayez le 20. )

    (2) Vous pouvez entrer dans des nombres négatifs, donc dans le même problème, lorsque vous soustrayez le 6 du 3, vous obtenez -3, et combinez ce -3 avec le 10 après avoir converti le dix, puis soustrayez le 20 de le 47, c'est-à-dire les 4 dizaines et 7 uns.

    Si vous n'apprenez pas aux enfants (ou ne les aidez pas à comprendre comment) faire adroitement des soustractions avec des minuends de 11 à 18, vous les forcerez essentiellement dans les options (1) ou (2) ci-dessus ou quelque chose de similaire. Alors que si vous enseignez les soustractions de 11 à 18, vous leur donnez la possibilité d'utiliser l'une ou les trois méthodes. De plus, si vous voulez que les enfants puissent voir 53 comme une autre combinaison de groupes en plus de 5 dizaines et 3 uns, bien que 4 dizaines plus 1 dix plus 3 uns serviront, 4 dizaines et 13 uns semble spontané ou psychologique conséquence immédiate de cela, et ce serait limiter inutilement les enfants de ne pas leur permettre de voir facilement cette combinaison comme utile en soustraction. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 12. Je dis qu'à l'époque vous essayez de le soustraire parce que vous avez peut-être déjà regroupé ce nombre et emprunté. Par conséquent, il s'agissait peut-être d'un numéro différent à l'origine. Si vous soustrayez 99 de 1001, les 0 dans le minuend seront des 9 lorsque vous les "atteignez" dans l'algorithme de soustraction habituel qui consiste à procéder de la droite (sa colonne) vers la gauche, en regroupant, en empruntant et en soustrayant par colonnes comme vous procédez. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 13.Quand j'ai expliqué la nécessité de pratiquer ce genre de soustractions à une enseignante qui enseigne l'éducation élémentaire surdouée, qui aime les énigmes et les problèmes mathématiques et mathématiques/logiques, et qui est elle-même très bien informée et brillante, elle a dit « Oh, vous voulez dire qu'ils ont besoin pratiquer le regroupement afin de soustraire ces montants. C'était une erreur conceptuelle naturelle de sa part, puisque vous ne vous regroupez PAS pour faire ces soustractions. Ces soustractions sont ce que vous obtenez toujours APRÈS avoir regroupé pour soustraire. Si vous essayez de regrouper pour les soustraire, vous obtenez la même chose, car changer le "dix" en 10 vous donne toujours 1_ comme minuend. Par exemple, lorsque vous soustrayez 9 de 18, si vous regroupez les 18 en non dizaines et 18, vous devez toujours soustraire 9 à ces 18. Rien n'a été gagné. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 14. Dans une classe de troisième année où je démontrais certains aspects de l'addition et de la soustraction aux élèves, si vous demandiez à la classe combien, disons, 13 - 5 (ou toute soustraction avec un chiffre plus grand que le chiffre minuend) , vous avez obtenu une gamme de réponses jusqu'à ce qu'ils se soient finalement arrêtés sur deux ou trois possibilités. Les enseignants me disent que ce n'est pas inhabituel pour les élèves qui n'ont pas beaucoup pratiqué ce genre de soustraction. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 15. Il n'y a rien de mal à enseigner des algorithmes, même complexes et difficiles à apprendre. Mais ils doivent être enseignés au moment opportun s'ils veulent avoir beaucoup d'utilité. Ils ne peuvent pas être enseignés comme une série d'étapes dont le résultat n'a d'autre sens que le fait qu'il est le résultat des étapes. Les algorithmes enseignés et utilisés de cette manière sont comme tout autre système purement formel - le résultat est un résultat formel sans réelle signification en dehors de la forme. Et la seule chose qui rend la réponse incorrecte, c'est que la procédure a été mal suivie, pas que la réponse peut être bizarre ou déraisonnable. En un sens, les moyens deviennent les fins.

    Les algorithmes arithmétiques ne sont pas les seuls domaines de la vie où les moyens deviennent des fins, de sorte que les types d'erreurs arithmétiques que font les enfants à cet égard ne sont pas propres à l'enseignement des mathématiques. (Un système de justice formel basé sur des « règles de preuve » formelles prend parfois des décisions farfelues en raison de lacunes ou de « technicités », des « méthodes » scientifiques particulières font parfois passer des preuves à côté, ignorées ou considérées comme de simples aberrations. Les politiques commerciales conduisent souvent à des échecs commerciaux lorsque assidûment suivis et de nombreuses traditions qui ont commencé comme des moyens d'améliorer la vie humaine et sociale deviennent des rituels pesants fossilisés à mesure que les conditions dans lesquelles elles avaient du mérite disparaissent.)

    Malheureusement, lorsque les systèmes formels sont mal appris ou lorsque des erreurs sont commises par inadvertance, il n'y a aucune raison de suspecter une erreur simplement en regardant le résultat du respect des règles. Tout résultat, juste de son apparence, est aussi bon que n'importe quel autre résultat.

    Les algorithmes arithmétiques ne devraient donc pas être enseignés comme de simples systèmes formels. Ils doivent être enseignés comme des méthodes abrégées pour obtenir des résultats significatifs, et on peut souvent dire, en réfléchissant sur les résultats, que quelque chose a dû mal tourner. Les enfants ont besoin de réfléchir aux résultats, mais ils ne peuvent le faire que s'ils ont eu une pratique significative en travaillant et en jouant avec des nombres et des quantités de diverses manières et formes avant d'être initiés aux algorithmes qui sont simplement censés faciliter leur calcul, et non simplement simplement formel. Les enfants n'ont pas toujours besoin de comprendre la justification des étapes de l'algorithme, car c'est parfois trop compliqué pour eux, mais ils ont besoin de comprendre le but et le but de l'algorithme s'ils veulent pouvoir (apprendre à) l'appliquer raisonnablement . Apprendre un algorithme est une question de mémorisation et de pratique, mais apprendre le but ou la justification d'un algorithme n'est pas une question de mémorisation ou de pratique, c'est une question de compréhension. Enseigner efficacement les étapes d'un algorithme implique simplement de concevoir des moyens de démonstration et de pratique efficaces. Mais enseigner le point ou la justification d'un algorithme implique efficacement la tâche plus difficile de cultiver la compréhension et le raisonnement des élèves. Cultiver la compréhension est autant un art qu'une science, car cela implique à la fois d'être clair et de pouvoir comprendre quand, pourquoi et comment vous n'avez pas été clair avec un élève ou un groupe d'élèves en particulier. Étant donné que les malentendus peuvent survenir de toutes sortes de manières imprévues et imprévisibles, l'enseignement pour la compréhension nécessite une perspicacité et une flexibilité qu'il est difficile ou impossible pour les textes préparés ou les programmes informatiques limités d'accomplir seuls.

    Enfin, de nombreux algorithmes (mathématiques) sont assez complexes, avec de nombreuses "règles" différentes, ils sont donc difficiles à apprendre tout comme les systèmes formels, même avec de la pratique. Les algorithmes d'addition et de soustraction (comment aligner les colonnes, quand et comment emprunter ou transporter, comment noter que vous l'avez fait, comment traiter les zéros, etc., etc.) sont assez complexes et difficiles à apprendre par cœur seule. Je pense que la recherche montre clairement que les enfants n'apprennent pas très bien ces algorithmes lorsqu'ils sont enseignés en tant que systèmes formels et lorsque les enfants n'ont pas suffisamment de connaissances pour comprendre leur point de vue. Et il est facile de voir que dans les cas impliquant « une simple addition et soustraction », l'algorithme est bien plus compliqué que de simplement « trouver » la réponse de n'importe quelle manière logique et qu'il est plus facile pour les enfants de trouver un moyen de obtenir la réponse que pour eux d'apprendre l'algorithme. Les dérivations basées sur des règles sont utiles dans les cas trop complexes à faire uniquement par la mémoire, la logique ou l'imagination, mais elles sont un obstacle dans les cas où leur apprentissage ou leur utilisation est plus difficile que d'utiliser la mémoire, la logique ou l'imagination directement sur le problème ou la tâche à main. (Ceci n'est pas différent du fait qu'apprendre à lire et à écrire des nombres - au moins jusqu'à 100 - est plus facile à faire par cœur et par la pratique qu'en étant informé des noms de colonnes et des règles pour leur utilisation .) Il n'y a tout simplement aucune raison d'introduire des algorithmes avant que les élèves ne comprennent leur objectif et avant que les élèves n'atteignent les types de problèmes de nombres (généralement plus élevés) pour lesquels les algorithmes sont utiles ou nécessaires à résoudre. Cela peut être à un jeune âge, si les enfants reçoivent des types utiles d'expériences de nombre et de quantité. L'âge seul n'est pas le facteur. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 16. Penser ou se souvenir de compter de grandes quantités par groupes, plutôt que de manière fastidieuse une à la fois, est généralement une compétence acquise, bien qu'elle s'apprenne rapidement si on en parle. De même, manipuler des groupes pour des opérations arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, au lieu de manipuler des objets uniques. Le fait que les enfants anglophones comptent souvent même de grandes quantités par éléments individuels plutôt que par groupes (Kamii), ou qu'ils ont des difficultés à additionner et à soustraire par groupes multi-unités (Fuson) peut être davantage un manque d'avoir simplement été informé de ses efficacités et sa pratique, qu'un manque de "compréhension" ou de capacité de raisonnement. Je ne pense pas que ce soit une réflexion sur la compréhension des enfants, ou leur capacité à comprendre.

    Il existe de nombreux domaines où les idées simples sont insaisissables jusqu'à ce qu'on leur en parle, et qu'on leur donne un peu de pratique pour « lier » l'idée à la mémoire ou au réflexe. Parfois, on n'a besoin d'être informé qu'une seule fois, on le voit immédiatement et on se sent stupide de ne pas l'avoir réalisé soi-même. De nombreuses personnes qui prennent des photos avec un appareil photo au format rectangulaire ne pensent jamais seules à tourner l'appareil à la verticale pour mieux cadrer et pouvoir se rapprocher beaucoup plus d'un sujet vertical. La plupart des enfants essaient d'équilibrer un vélo en déplaçant leurs épaules bien que la majeure partie de leur poids (et de leur équilibre alors) se trouve dans leurs hanches, et les hanches ont tendance à aller dans la direction opposée des épaules, de sorte que la correction d'une inclinaison par une épaule s'incline dans le sens opposé. direction accélère généralement la chute. L'idée de labourer en courbe de niveau pour éviter l'érosion, une fois signalée, paraît évidente, pourtant elle n'a jamais été évidente pour ceux qui ne l'ont pas fait. Compter à rebours le « changement » en « compter vers l'avant » du montant facturé au montant donné est un moyen simple et efficace de calculer le changement, mais c'est un moyen que la plupart des étudiants n'apprennent pas à « soustraire », donc les directeurs de magasin doivent enseigner aux étudiants employés. Ce n'est pas parce que les élèves ne savent pas comment soustraire ou ne peuvent pas comprendre la soustraction, mais parce qu'ils n'ont peut-être pas vu cet appareil simple ou n'y ont pas pensé eux-mêmes. Je crois que compter ou calculer par groupes, plutôt que par unités ou par unités, est l'un de ces genres de choses simples dont on a généralement besoin d'être informé quand on est jeune (et qu'on s'y entraîne, pour le rendre automatique) ou on ne le fera pas Pensez-y.

    Je ne crois pas qu'avoir à dire ces choses simples montre nécessairement qu'on n'avait aucune compréhension des principes qu'elles impliquent. Comme dans les problèmes de truc donnés plus tôt, parfois notre "compréhension" obtient simplement une sorte d'angle mort ou une focalisation dans une direction différente qui bloque un élément de connaissance particulier. Puisque la compréhension est si immédiate lorsqu'on lui dit simplement l'intuition, cela semble être un genre de chose différent d'enseigner à quelqu'un une toute nouvelle idée qu'il ne comprenait pas auparavant, n'était pas prêt à comprendre ou ne pouvait pas comprendre. Je soupçonne que souvent, même lorsqu'on apprend aux enfants à reconnaître des groupes par des modèles ou à réciter des nombres successifs par groupes (c'est-à-dire réciter les multiples de groupes - par exemple, 5, 10, 15, 20. ), on ne leur dit pas que c'est un moyen plus rapide de compter de grandes quantités de choses - c'est-à-dire, d'abord regrouper les choses, puis compter les groupes. Et ils n'ont pas l'habitude de compter les objets de cette façon. Donc, ils ne font pas le lien et lorsqu'on leur demande de compter de grandes quantités, faites-le un à la fois. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 17. Des jetons de poker de différentes couleurs seuls, comme le note Fuson (p. 384), ne permettront pas de comprendre les quantités ou la valeur de position. Les enfants peuvent être confus au sujet des aspects représentatifs des couleurs des jetons de poker s'ils ne leur sont pas présentés correctement. Et s'ils ne sont pas judicieusement guidés pour les utiliser efficacement, les enfants peuvent apprendre la fonction de « valeur nominale (groupement superficiel) » avec des jetons de poker qui ne sont pas différents de la valeur nominale, la capacité superficielle de lire et d'écrire des nombres numériquement. Le but, cependant, n'est pas de les laisser utiliser des jetons de poker pour représenter uniquement des "valeurs nominales", mais de les guider dans leur utilisation à la fois pour la représentation (valeur nominale) et en tant que quantités physiques groupées. Ce que j'ai écrit ici sur l'utilisation des jetons de poker pour enseigner la valeur de position consiste à les présenter d'une manière particulière (mais flexible) à un moment particulier, pour une raison particulière. Je donne des exemples de la façon dont ils doivent être utilisés pour enseigner la valeur de position dans le texte. Le moment où ils doivent être présentés de cette manière est après que les enfants aient compris le regroupement des quantités et le comptage des quantités "par groupes". Et j'explique dans cet article précisément pourquoi des jetons de poker de différentes couleurs, lorsqu'ils sont utilisés correctement, peuvent mieux enseigner aux enfants la valeur de position que les blocs de base dix seuls. Les jetons de poker, utilisés et démontrés correctement, peuvent servir de pont pratique et conceptuel efficace entre les groupes physiques et la représentation en colonnes, car ils sont à la fois physiques et représentationnels d'une manière qui a du sens pour les enfants - avec une démonstration minimale et avec une pratique surveillée, guidée. . Et comme les jetons de poker s'empilent assez facilement, ils peuvent être utilisés à des stades plus précoces pour que les enfants comptent individuellement et par groupes, et manipulent par groupes. (Les colonnes de jetons de poker peuvent également être utilisées efficacement pour enseigner la compréhension de bon nombre des aspects conceptuels et représentationnels les plus difficiles des fractions, ce qui est une autre question d'enseignement que je ne mentionne ici que pour souligner l'utilité d'avoir une grande quantité de jetons de poker dans les salles de classe à diverses fins pédagogiques en mathématiques.) (Retour au texte.)

    Note de bas de page 18. Il y a une différence entre regrouper des jetons de poker entre 10 et 18, et regrouper des nombres écrits entre 10 et 18, puisque lorsque vous regroupez avec des jetons de poker, vous changez dix des blancs en un bleu, (ou vice versa) mais lorsque vous regroupez 18 sous forme écrite, vous obtenez simplement un numéro qui ressemble à celui avec lequel vous avez commencé. "Un dix et 8 uns" sous forme numérique ressemble à "18 uns". (Lorsque vous regroupez et empruntez pour soustraire, disons dans le problème 35 - 9, vous regroupez les 35 en "20 et 15" ou, comme je le dis ostensiblement aux étudiants "vingt-quinze". Ensuite, vous écrivez le "15" dans le une colonne où se trouvait le chiffre "5" et vous avez un "2" dans la colonne où se trouvait le "3", donc ça ressemble même à "vingt quinze". Cependant, sous forme écrite numérique, quand vous commencez avec un nombre de 10 à 18, si vous « rayez » le « 1 » puis ajoutez dix au « 8 » dans la colonne des uns, vous vous retrouvez avec « 18 » dans la colonne des uns, ce qui est essentiellement le même en apparence que ce que avec lequel vous avez commencé. Il y a un point perceptif à changer 35 en 2[ 15 ] il n'y a pas de point perceptuel à changer 18 en [ 18] . Avec les jetons de poker, il y a une différence perceptuelle entre "un (bleu) dix et huit (blanc ) ones" et "18 (white) ones". Cela fait partie de la façon dont les jetons de poker aident les enfants à comprendre conceptuellement le regroupement représentationnel. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 19. Au lieu de leur apprendre à construire des nombres à l'aide de chiffres et de colonnes, vous leur avez déjà appris à simplement écrire des nombres. En utilisant les jetons de poker, vous les avez aidés à regrouper les quantités de manière représentative en termes de dizaines et de uns, les dizaines étant différents des uns dans certaines caractéristiques. Ensuite, vous leur montrez que les nombres écrits regroupent également des quantités de cette façon - que les nombres écrits ne sont pas seulement des symboles monadiques indivisibles, mais qu'ils ont une structure et une justification logiques. Cela leur donne un sentiment de découverte et cela a plus de sens pour eux que d'essayer de commencer à leur apprendre à écrire des nombres en termes de chiffres et de colonnes, ce qui ne signifiera rien pour eux ou ne semblera pas avoir de signification particulière. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 20. Dans n'importe quel calcul de base, vous ajoutez simplement une autre colonne chaque fois que vous êtes « bloqué » parce que vous n'avez plus de symboles numériques et de combinaisons de ceux-ci. Et vous appelez cette colonne par le nom du premier numéro dont vous avez besoin pour avoir une nouvelle colonne afin d'écrire le numéro. Par conséquent, en arithmétique binaire, vous avez les colonnes "un", "deux", "quatre", "huit", "seize", "trente-deux", etc., car après avoir écrit "0" et "1", vous avez besoin d'une nouvelle colonne pour écrire "deux", puisque vous n'avez plus de chiffres. Ensuite, vous pouvez écrire « 10 » pour « deux » et « 11 » pour « trois », et vous êtes à nouveau à court de chiffres et de combinaisons. Pour écrire "quatre", vous avez besoin d'une nouvelle colonne (c'est donc la colonne "quatre") et vous pouvez alors faire quatre combinaisons différentes ("100" pour "quatre", "101" [un quatre, pas deux et un un] pour "cinq", "110" [un quatre, un deux et personne] pour un "six", et "111" [un quatre, un deux et un] pour un "sept"). (Retour au texte.)

    Note de bas de page 21. 35 fois 43 par exemple est le suivant, si vous vous souvenez de l'algèbre (30 + 5) (40 +3), qui finit par être [(30) (40) + (30) (3) + (5) (40) + (5) (3)]. Et c'est ainsi que nous effectuons le calcul (bien que dans un ordre différent) lorsque nous multiplions, puisque vous multipliez cinq fois trois, puis cinq fois quarante, puis additionnez-les (dans le même nombre) et ajoutez cela à la somme de trente fois trois et trente fois quarante. Mais, bien sûr, nous n'y pensons pas de cette façon et beaucoup de gens qui peuvent parfaitement se multiplier seraient incapables de penser de cette façon par eux-mêmes.

    De plus, voir pourquoi "a(b+c)" est identique à "(ab + ac)" n'est pas facile en termes de nombres écrits, bien qu'il soit facile de voir si vous disposez des jetons de poker en lignes et en colonnes. Vous pouvez voir que cinq rangées de sept, par exemple, sont identiques à cinq rangées de quatre plus cinq rangées de trois, car les deux ensembles de cinq rangées se trouvent l'un à côté de l'autre. Et en faisant cela dans des jetons de poker avec quelques ensembles de nombres, il est assez facile pour l'imagination de voir que "a" rangées de "(b+c)" est la même chose que "a" rangées de "b" plus " a" rangées de "c" et vice versa.

    Et voir pourquoi "(a+b)(c+d)" est (ac + ad + bc + bd) est également possible (bien qu'un peu plus difficile) en mettant des jetons de poker en lignes et en colonnes, par exemple, 12 par 23 [( 10+2) par (20+3)] et les marquer dans des portions qui correspondent à ac, ad, bc et bd, et voir que ce sont tous des segments mutuellement exclusifs qui se combinent pour former le nombre total de jetons. (Voir figure.)

    Quoi qu'il en soit, les manipulations que nous apprenons avec un crayon et du papier ont une justification, mais la justification n'est pas quelque chose que nous apprenons généralement, et pas quelque chose qui, dans un sens, est aussi facile que les manipulations.

    De plus, pour les grands nombres, la conceptualisation et la représentation physique sont difficiles, voire impossibles. Ainsi, une fois que l'on apprend le raisonnement ou que l'on est capable de le comprendre ou de le voir, on n'en utilise pas nécessairement la conceptualisation pour chaque application. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 22. Je crois qu'il y a une certaine ironie à appeler des quantités physiques réelles de choses manipulatrices, tout en considérant que les nombres « purs » ne sont pas des manipulateurs. Dans un sens, il me semble que c'est juste l'inverse de la vérité. Les nombres "purs" nous permettent de représenter des quantités en dehors de ce qu'elles sont des quantités (de sorte que si nous savons que cinq ensembles de cinq font 25, nous n'avons pas à calculer séparément quels cinq ensembles de cinq pneus et cinq ensembles de cinq bonbons et cinq ensembles de nickels le sont) mais les nombres purs sont plus souvent simplement ce que nous pouvons manipuler « mathématiquement » plutôt que des ensembles d'objets. Il est beaucoup plus facile de calculer des quantités de choses sur papier (ou dans une calculatrice) que d'assembler le nombre requis de choses dont nous parlons afin de les additionner, soustraire, multiplier ou diviser, surtout quand nous parlons de grandes nombre de choses. Et cela est vrai, qu'il s'agisse de milliards de dollars d'argent ou de milliers de gallons d'essence. Dans les mesures de liquides, nous calculons souvent les volumes en multipliant les dimensions, et non en prélevant et en transférant individuellement les volumes unitaires. Dans tous ces cas, nous manipulons des nombres, pas des choses.

    Malheureusement, dans la vie réelle, les quantités ne sont pas conformes à l'arithmétique simple, et la science est donc empirique plutôt qu'a priori. Les vitesses ne se combinent pas par simple addition (bien qu'à des vitesses relativement faibles elles semblent le faire), les forces ne se combinent pas par simple addition et les forces trois fois la distance agissant à un tiers de la force travaillant deux fois plus vite peuvent ne pas être vous l'avez fait en deux fois moins de temps (parce que vous risquez de vous épuiser avant d'avoir fini si vous travaillez plus fort que votre capacité) et 10 000 t-shirts achetés à la fois ne coûteront probablement pas 10 000 fois le prix d'un t-shirt. Mélanger des volumes égaux de choses qui se dissolvent les unes dans les autres ne vous donnera pas deux fois le volume de l'une ou l'autre. Déterminer la manière dont différentes quantités de choses se rapporter les uns aux autres fait partie de ce qu'est la science et ce n'est pas toujours une entreprise très facile qui se conforme à la manipulation arithmétique des nombres.

    En d'autres termes, les objets réels ne se manipulent pas toujours de la même manière que les nombres et manipuler des objets n'est pas la même chose que manipuler des nombres. Et, il me semble, l'enfant qui manipule des objets en lignes et en colonnes pour démontrer ou comprendre la multiplication fait quelque chose de tout à fait différent de la personne qui manipule des nombres sur papier ou dans sa tête. La multiplication est facilement considérée comme commutative (c'est-à-dire que six ensembles de huit équivaudront à huit ensembles de six) lors de la manipulation d'objets en lignes et en colonnes (car si vous changez votre point de vue de 90 degrés, vos lignes et colonnes s'inversent simplement, mais les quantités totales restent les mêmes) alors qu'il n'est pas si évident si vous le faites simplement dans votre tête ou simplement avec des chiffres purs pourquoi, ou que, six sachets contenant chacun huit bonbons seront le même nombre de bonbons que huit sachets contenant chacun six bonbons. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 23. Dans une correspondance avec moi de Peabody, Paul Cobb a dit qu'il « soutiendrait que les mathématiques au niveau élémentaire ne devraient pas impliquer des compétences mécaniques, même si elles sont actuellement souvent enseignées de cette façon. L'idéal serait que la résolution de problèmes basée sur le concept soit infusé dans l'activité mathématique de tous les enfants à l'école." Je ne suis pas d'accord.

    Bien que les enfants ne doivent pas apprendre l'arithmétique seul mécaniquement, certaines compétences mécaniques peuvent être apprises relativement facilement par les enfants, et qui sont importantes ou nécessaires pour voir des relations de nombres plus « intéressantes ». Par exemple, la mémorisation des tables de multiplication n'est pas (et ne doit ni être vue ni utilisée comme) juste un exercice pour permettre de multiplier comme une calculatrice très lente. Il donne une facilité avec les multiples qui peuvent aider à comprendre plus facilement le concept de division et à comprendre plus facilement les fractions et les relations entre les fractions, par exemple lors de la recherche de dénominateurs communs ou de la conversion entre des nombres "mixtes" et des fractions. Il donne une capacité accrue à comprendre et à utiliser la factorisation en algèbre ou en calcul.

    Je ne dis pas que toutes les choses que les enfants apprennent mécaniquement en mathématiques élémentaires sont nécessaires pour apprendre ou qu'il est préférable d'apprendre mécaniquement. Mais quelque sont. Et j'envisagerais d'apprendre à réciter les noms de nombres dans l'ordre et les noms de nombres par groupes ("compter" et "compter par groupes") et d'apprendre à faire ce que j'ai appelé de simples additions et soustractions comme exemples de compétences mécaniques d'une importance cruciale. Certaines compétences acquises mécaniquement vous permettent simplement de faire des sauts intellectuels que vous n'auriez peut-être pas pu faire du tout si vous n'étiez pas capable de percevoir rapidement et quelque peu automatiquement des relations avec lesquelles vous n'étiez pas devenu extrêmement familier ou "préparé" auparavant par la mémorisation, la répétition , percez et pratiquez. (Retour au texte.)

    Note de bas de page 24. J'avais l'habitude de jouer à un « jeu de sac » d'imagination avec mes enfants qui leur demandaient des choses comme « J'ai un sac et vous avez un sac, mon sac en a trois de moins que votre sac et vous avez cinq choses dans votre sac. Combien choses que j'ai dans le mien?" Au fur et à mesure qu'ils s'amélioraient, j'ai rendu les problèmes plus difficiles. « J'ai un sac et vous avez un sac, et ensemble nous avons huit choses mais vous en avez quatre de plus que moi. Combien en avons-nous chacun ? Nous en sommes maintenant à « J'ai un sac et vous avez un sac. Vous en avez cinq de plus que moi dans votre sac, mais si nous triplons ce que j'ai, j'en aurai cinq de plus que vous. Combien avons-nous chacun ? " Les enfants peuvent résoudre ces problèmes en pensant. Ils n'ont pas à passer par des étapes particulières pour lesquelles ils sont formés. Nous faisons également des progressions de nombres où ils doivent raisonner quel serait le prochain nombre. Vous pouvez le faire dans des progressions vraiment étranges, délicates, mais en fait simples et ils adorent souvent ça, par exemple, 2, 10, 4, 20, 8, 30, 16, ?. [Une bonne réponse serait « 40 », car ce sont deux progressions différentes qui sont entrecoupées : 2, 4, 8, 16, . et 10, 20, 30, . Nous avons fait la plupart de ces jeux de mathématiques dans la voiture lors de nos déplacements. Le père du professeur Richard Feynman avait l'habitude de faire des motifs de carreaux de couleur avec lui lorsque Richard était encore assis sur une chaise haute. Il y a toutes sortes de choses mathématiques que vous pouvez faire avec de très jeunes enfants qu'ils peuvent comprendre et apprendre avec succès, et qu'ils peuvent prendre plaisir.

    L'apprentissage des mathématiques ne doit pas nécessairement se dérouler dans un ordre arithmétique particulier, à un âge particulier. Il existe toutes sortes de choses mathématiques que les enfants peuvent faire à différents âges. Les mathématiques ne se limitent pas à l'arithmétique algorithmique et les enfants peuvent faire le « plus » même dans certains cas où ils ne peuvent pas encore faire l'arithmétique algorithmique. Les enfants peuvent penser qu'ils ont juste parfois besoin d'aide, de pratique ou de rétroaction, ou qu'ils ont parfois besoin d'un défi raisonnable ou canalisé de manière raisonnable, afin de perfectionner leurs capacités de raisonnement. (Retour au texte.)


    Platonisme mathématique : pour et contre

    Les philosophes ont proposé de nombreux arguments pour et contre le platonisme, mais l'un des arguments en faveur du platonisme se démarque des autres, et l'un des arguments contre le platonisme se distingue également comme le meilleur. Ces arguments ont leurs racines dans les écrits de Platon, mais l'argument pro-platonicien a d'abord été clairement formulé par Frege, et le locus classicus de l'argument anti-platonicien est un article de 1973 du philosophe américain Paul Benacerraf.


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