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5.3 : Limites à l'infini et limites infinies - Mathématiques


Définition

Soit (D subset mathbb{R}, f: D ightarrow mathbb{R},) et supposons que (a) est un point limite de (D). On dit que (f) diverge vers (+infty) lorsque (x) se rapproche de (a), noté

[lim _{x ightarrow a} f(x)=+infty ,]

si pour tout nombre réel (M) il existe un (delta>0) tel que

[f(x)>M ext { quand } x eq a ext { et } x in(a-delta, a+delta) cap D.]

De même, on dit que (f) diverge vers (-infty) lorsque (x) se rapproche de (a,) noté

[lim _{x ightarrow a} f(x)=-infty ,]

si pour tout nombre réel (M) il existe un (delta>0) tel que

[f(x)

Exercice (PageIndex{1})

Fournir des définitions pour

une. (lim _{x ightarrow a^{+}} f(x)=+infty),

b. (lim _{x ightarrow a^{-}} f(x)=+infty),

c. (lim _{x ightarrow a^{+}} f(x)=-infty),

ré. (lim _{x ightarrow a^{-}} f(x)=-infty).

Modélisez vos définitions sur les définitions précédentes.

Exercice (PageIndex{2})

Montrez que (lim _{x ightarrow 4^{+}} frac{7}{4-x}=-infty) et (lim _{x ightarrow 4^{-}} frac{7}{4-x}=+infty).

Définition

Supposons que (D subset mathbb{R}) n'ait pas de borne supérieure, (f: D ightarrow mathbb{R}), et (L in mathbb{R} .) Nous dire que la limite de (f) lorsque (x) s'approche de (+infty) est notée (L,)

[lim _{x ightarrow+infty} f(x)=L,]

si pour tout (epsilon>0) il existe un nombre réel (M) tel que

[|f(x)-L|

Définition

Supposons que (D subset mathbb{R}) n'ait pas de borne inférieure, (f: D ightarrow mathbb{R}), et (L in mathbb{R} .) Nous dire que la limite de (f) lorsque (x) s'approche de (-infty) est notée (L,)

[lim _{x ightarrow-infty} f(x)=L,]

si pour tout (epsilon>0) il existe un nombre réel (M) tel que

[|f(x)-L|

Exercice (PageIndex{3})

Vérifiez que (lim _{x ightarrow+infty} frac{x+1}{x+2}=1).

Exercice (PageIndex{4})

Fournir des définitions pour

une. (lim _{x ightarrow+infty} f(x)=+infty),

b. (lim _{x ightarrow+infty} f(x)=-infty),

c. (lim _{x ightarrow-infty} f(x)=+infty),

ré. (lim _{x ightarrow-infty} f(x)=-infty).

Modélisez vos définitions sur les définitions précédentes.

Exercice (PageIndex{5})

Supposer

[f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d,]

où (a, b, c, d in mathbb{R}) et (a>0 .) Montrer que

[lim _{x ightarrow+infty} f(x)=+infty ext { et } lim _{x ightarrow-infty} f(x)=-infty .]


Bien que l'infini n'ait pas de valeur spécifique et ne puisse pas être connecté à des fonctions, nous pouvons penser à ce qui arrivera à une fonction donnée comme X approchesinfini.

Tout ce que cela signifie vraiment, c'est que X devient continuellement infiniment grand. Et comme X devient de plus en plus gros, quoi oui la valeur de notre fonction se rapprochera-t-elle de plus en plus ?

Examinons quelques exemples courants et leur signification.

Un divisé par l'infini

Comme je l'ai déjà dit, l'infini n'est pas une valeur. Par conséquent, (frac<1>) n'est pas un nombre réel et n'a pas de valeur. Cependant, ce à quoi nous voulons penser, c'est à quoi oui valeur 1 fois s'approchera comme X va à l'infini. C'est exactement ce qui est demandé quand on voit : $lim_ frac<1>$

Alors réfléchissons à ce qui arrive à 1 fois quand on branche des nombres de plus en plus gros pour X.

X(mathbf>)
11
100.1
1000.01
1,0000.001
10,0000.0001
100,0000.00001
1,000,0000.000001
10,000,0000.0000001
100,000,0000.00000001

Vous pouvez donc voir dans le tableau ci-dessus que X devient de plus en plus gros, 1 fois se rapproche de plus en plus 0. Ou en d'autres termes,

comme X approche de l'infini, 1 fois approches 0

Nous écririons cela mathématiquement comme : $lim_ frac<1> = 0$

Nous pouvons également le voir graphiquement en utilisant Mathway. Remarquez dans le graphique ci-dessous qu'en tant que X valeur tend vers l'infini, vous pouvez voir le oui valeur se rapprochant de la axe y (y=0).

Limites allant à l'infini

L'autre exemple courant que j'ai mentionné est la limite comme X va à l'infini de (mathbf). Ou $lim_ e^x$

Encore une fois, cela n'a pas vraiment de sens de dire que nous pouvons simplement brancher l'infini pour X et obtenez (mathbf>). Cela n'a pas vraiment de valeur. Ce n'est pas un nombre. Au lieu de cela, nous voulons réfléchir à ce que oui valeur (mathbf) va vers comme X va à l'infini. Voyons donc ce qui se passe lorsque nous augmentons e à une puissance de plus en plus grande.

X(mathbf)
12.718
27.389
454.598
6403.429
82,980.958
1022,026.466
1002.688 * (mathbf<10^<43>>)

On voit donc ici que (mathbf) commence à nous donner de très grands nombres assez rapidement. Et comme nous continuons à insérer des valeurs plus élevées pour X, (mathbf) continuera à devenir de plus en plus gros.

comme X approches infini, (mathbf) approches infini

Nous écririons cela mathématiquement comme : $lim_ e^x = infty$


Limites finies et infinies

Nous commencerons par montrer un petit résumé des propriétés des limites finies.

Supposons que $displaystylelim_=a$ et ce $displaystylelim_=b$, alors aussi :

  • $displaystylelim_=style d'affichagelim_pm displaystylelim_=a pm b$
  • $displaystylelim_=style d'affichagelim_cdot displaystylelim_=a cdot b$
  • Si $b eq 0$, $displaystylelim_>=frac>