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6.2 : Classifications de l'équation modèle - Mathématiques


Les distinctions entre les systèmes linéaires et non linéaires ainsi que les systèmes autonomes et non autonomes, dont nous avons discuté dans la section 4.2, s'appliquent toujours aux modèles en temps continu. Mais la distinction entre les systèmes de premier ordre et d'ordre supérieur est légèrement différente, comme suit.

Système de premier ordre

Une équation différentielle qui implique des dérivées du premier ordre des variables d'état ((dfrac{dx}{ dt})) uniquement.

Système d'ordre supérieur

Une équation différentielle qui implique des dérivées d'ordre supérieur des variables d'état ((dfrac{d^{2}x} {dt^{2}}) , (dfrac{d^{3}x} {dt^ {3}}) , etc.).

Heureusement, ce qui suit est toujours le cas pour les modèles en temps continu :

modèles en temps continu

Les équations différentielles non autonomes d'ordre supérieur peuvent toujours être converties en formes autonomes de premier ordre en introduisant des variables d'état supplémentaires.

Voici un exemple:

[dfrac{d^{2} heta}{dt^{2}} =-dfrac{g}{L}sin heta label{(6.3)}]

Cette équation décrit le mouvement oscillant d'un simple pendule, que vous avez peut-être vu dans un cours d'introduction à la physique. (θ) est la position angulaire du pendule, (g) est l'accélération gravitationnelle et (L) est la longueur de la corde qui relie le poids au pivot. Cette équation est évidemment non linéaire et du second ordre. Bien que nous ne puissions pas supprimer la non-linéarité du modèle, nous pouvons convertir l'équation en une forme du premier ordre, en introduisant la variable supplémentaire suivante :

[omega =dfrac{d heta}{dt}label{(6.4)}]

En utilisant cela, le côté gauche de l'Eq. ef{(6.3)} peut être écrit sous la forme (dfrac{domega}{dt}), et par conséquent, l'équation peut être transformée en la forme du premier ordre suivante :

[dfrac{d heta}{dt}=omegalabel{(6.5)}]

[dfrac{domega}{dt}=-dfrac{g}{L}sin hetalabel{(6.6)}]

Cette technique de conversion fonctionne également pour les équations du troisième ordre ou d'ordre supérieur, tant que l'ordre le plus élevé reste fini. Voici un autre exemple.

Exemple (PageIndex{1}) : pendule entraîné

Considérons l'équation non autonome :

[dfrac{d^{2} heta}{dt^{2}} = -dfrac{g}{L}sin heta+ksin(2pi{ft}+phi) étiquette{6.7}]

Il s'agit d'une équation différentielle du comportement d'un pendule entraînée. Le deuxième terme du côté droit représente une force variant périodiquement appliquée au pendule par, par exemple, un électro-aimant à commande externe intégré dans le sol. Comme nous l'avons vu précédemment, cette équation peut être convertie sous la forme du premier ordre suivante :

[egin{align*} dfrac{d heta}{dt} &=omegalabel{(6.8)} [4pt]dfrac{domega}{dt} &=-dfrac{ g}{L} sin heta +k sin (2pi ft +phi)label{(6.9)} end{align*}]

Maintenant, nous devons éliminer (t) à l'intérieur de la fonction (sin). Tout comme nous l'avons fait pour les cas à temps discret, nous pouvons introduire une variable « horloge », disons (τ), comme suit :

[dfrac{d au}{dt} =1, au(0) =0label{(6.10)} ]

Cette définition garantit (τ(t) = t). En utilisant cela, le modèle complet peut être réécrit comme suit :

[egin{align*} dfrac{d heta}{dt} &=omega label{(6.11)} [4pt] dfrac{domega}{dt} &=-dfrac{ g}{L}sin heta +ksin(2pi{f au} +phi) label{(6.12)} [4pt] dfrac{d au}{dt} &= 1, au(0) =0 label{(6.13)} end{align*}]

Celui-ci est maintenant composé uniquement d'équations différentielles autonomes du premier ordre.

Cette technique de conversion fonctionne toujours, nous assurant que les équations autonomes du premier ordre peuvent couvrir toute la dynamique de toutes les équations non autonomes d'ordre supérieur.

Exercice (PageIndex{1})

Convertissez l'équation différentielle suivante sous la forme du premier ordre.

[dfrac{d^{2}}{dt^{2}}-xdfrac{dx}{dt} +x^{2}=0 label{(6.14)}]

Exercice (PageIndex{2})

Convertissez l'équation différentielle suivante en une forme autonome du premier ordre.

[dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -acos{bt}=0 label{(6.15)}]

Pour votre information, les faits suivants sont également applicables aux équations différentielles, ainsi qu'aux équations aux différences :

Les systèmes dynamiques linéaires ne peuvent montrer qu'une croissance/décroissance exponentielle, une oscillation périodique, des états stationnaires (pas de changement) ou leurs hybrides (par exemple, une oscillation à croissance exponentielle)une.

uneparfois, ils peuvent également montrer des comportements qui sont représentés par des polynômes (ou des produits de polynômes et d'exponentielles) du temps. Cela se produit lorsque leurs matrices de coefficients sont non diagonalisable.

Les équations linéaires sont toujours résolubles analytiquement, tandis que les équations non linéaires n'ont pas de solutions analytiques en général.


Taux d'infection dans une population?

Un ami m'a donné ce problème de mots et cela m'a laissé perplexe sur la façon de le configurer. J'espère que vous pouvez aider. C'est ici:

"Exactement une personne est une population isolée de 10 000 personnes qui tombe avec une certaine maladie un certain jour. Supposons que la vitesse à laquelle cette maladie se propage soit proportionnelle au produit du nombre de personnes atteintes de la maladie et du nombre de personnes qui ne l'ont pas encore. Si 50 personnes ont la maladie au bout de 5 jours, combien l'ont au bout de dix jours ?"

Donc, je suppose que ce que je demande n'est pas vraiment quelle est la réponse (même si ce serait cool aussi), mais plutôt comment configurer et résoudre ce problème.

apparemment, cela implique des intégrales d'une manière ou d'une autre.


Contenu

La modélisation des maladies infectieuses est un outil qui a été utilisé pour étudier les mécanismes par lesquels les maladies se propagent, pour prédire l'évolution future d'une épidémie et pour évaluer les stratégies de contrôle d'une épidémie. [1]

Le premier scientifique qui a systématiquement essayé de quantifier les causes de décès était John Graunt dans son livre Observations naturelles et politiques faites sur les factures de mortalité, en 1662. Les factures qu'il étudiait étaient des listes de nombres et de causes de décès publiées chaque semaine. L'analyse des causes de décès de Graunt est considérée comme le début de la « théorie des risques concurrents » qui, selon Daley et Gani [1], est « une théorie désormais bien établie parmi les épidémiologistes modernes ».

Le premier compte rendu de la modélisation mathématique de la propagation de la maladie a été réalisé en 1760 par Daniel Bernoulli. Médecin de formation, Bernoulli a créé un modèle mathématique pour défendre la pratique de l'inoculation contre la variole. [2] Les calculs de ce modèle ont montré que l'inoculation universelle contre la variole augmenterait l'espérance de vie de 26 ans 7 mois à 29 ans 9 mois. [3] Les travaux de Daniel Bernoulli ont précédé la compréhension moderne de la théorie des germes.

Au début du 20e siècle, William Hamer [4] et Ronald Ross [5] ont appliqué la loi de l'action de masse pour expliquer le comportement épidémique.

Les années 1920 voient l'émergence de modèles compartimentés. Le modèle épidémique de Kermack-McKendrick (1927) et le modèle épidémique de Reed-Frost (1928) décrivent tous deux la relation entre les individus sensibles, infectés et immunisés dans une population. Le modèle épidémique Kermack-McKendrick a réussi à prédire le comportement des épidémies très similaire à celui observé dans de nombreuses épidémies enregistrées. [6]

Récemment, des modèles à base d'agents (ABM) ont été utilisés en échange de modèles compartimentaux plus simples. [7] Par exemple, les ABM épidémiologiques ont été utilisés pour informer les interventions de santé publique (non pharmaceutiques) contre la propagation du SRAS-CoV-2. [8] Les ABM épidémiologiques, malgré leur complexité et nécessitant une puissance de calcul élevée, ont été critiqués pour des hypothèses simplificatrices et irréalistes. [9] [10] Pourtant, ils peuvent être utiles pour éclairer les décisions concernant les mesures d'atténuation et de suppression dans les cas où les ABM sont calibrés avec précision. [11]

Les modèles sont aussi bons que les hypothèses sur lesquelles ils sont basés. Si un modèle fait des prédictions qui ne correspondent pas aux résultats observés et que les mathématiques sont correctes, les hypothèses initiales doivent changer pour rendre le modèle utile.

  • Répartition par âge rectangulaire et stationnaire, c'est-à-dire que tout le monde dans la population vit jusqu'à l'âge L puis meurt, et pour chaque âge (jusqu'à L) il y a le même nombre de personnes dans la population. Ceci est souvent bien justifié pour les pays développés où la mortalité infantile est faible et une grande partie de la population vit jusqu'à l'espérance de vie.
  • Mélange homogène de la population, c'est-à-dire que les individus de la population examinée s'assortissent et prennent contact au hasard et ne se mélangent pas principalement dans un sous-groupe plus petit. Cette hypothèse est rarement justifiée car la structure sociale est répandue. Par exemple, la plupart des habitants de Londres n'entrent en contact qu'avec d'autres Londoniens. De plus, à Londres, il existe des sous-groupes plus petits, tels que la communauté turque ou les adolescents (pour ne citer que deux exemples), qui se mélangent davantage que les personnes extérieures à leur groupe. Cependant, le mélange homogène est une hypothèse standard pour rendre les mathématiques traitables.

Modifier stochastique

« Stochastique » signifie être ou avoir une variable aléatoire. Un modèle stochastique est un outil pour estimer les distributions de probabilité des résultats potentiels en permettant une variation aléatoire d'une ou plusieurs entrées au fil du temps. Les modèles stochastiques dépendent des variations aléatoires du risque d'exposition, de la maladie et d'autres dynamiques de la maladie. La dissémination statistique de la maladie au niveau de l'agent dans des populations petites ou grandes peut être déterminée par des méthodes stochastiques. [12] [13]

Déterministe Modifier

Lorsqu'il s'agit de grandes populations, comme dans le cas de la tuberculose, des modèles mathématiques déterministes ou compartimentaux sont souvent utilisés. Dans un modèle déterministe, les individus de la population sont affectés à différents sous-groupes ou compartiments, chacun représentant un stade spécifique de l'épidémie.

Les taux de transition d'une classe à une autre sont exprimés mathématiquement sous forme de dérivées, le modèle est donc formulé à l'aide d'équations différentielles. Lors de la construction de tels modèles, il faut supposer que la taille de la population dans un compartiment est différentiable dans le temps et que le processus épidémique est déterministe. En d'autres termes, les changements de population d'un compartiment peuvent être calculés en utilisant uniquement l'historique qui a été utilisé pour développer le modèle. [6]

le numéro de reproduction de base (désigné par R0) est une mesure de la transférabilité d'une maladie. C'est le nombre moyen de personnes qu'une seule personne infectieuse infectera au cours de son infection. Cette quantité détermine si l'infection va se propager de façon exponentielle, s'éteindre ou rester constante : si R0 > 1, alors chaque personne infecte en moyenne plus d'une autre personne, de sorte que la maladie se propagera si R0 < 1, alors chaque personne infecte moins d'une personne en moyenne donc la maladie disparaîtra et si R0 = 1, alors chaque personne infectera en moyenne exactement une autre personne, de sorte que la maladie deviendra endémique: il se déplacera dans toute la population mais n'augmentera ni ne diminuera.

Une maladie infectieuse est dite endémique lorsqu'elle peut être maintenue dans une population sans avoir besoin d'apports externes. Cela signifie qu'en moyenne, chaque personne infectée infecte exactement une autre personne (plus et le nombre de personnes infectées augmentera de façon exponentielle et il y aura une épidémie, moins et la maladie s'éteindra). En termes mathématiques, c'est :

Le numéro de reproduction de base (R0) de la maladie, en supposant que tout le monde est sensible, multiplié par la proportion de la population qui est réellement sensible (S) doit être un (car ceux qui ne sont pas sensibles ne figurent pas dans nos calculs car ils ne peuvent pas contracter la maladie). Notez que cette relation signifie que pour qu'une maladie soit à l'état d'équilibre endémique, plus le nombre de reproduction de base est élevé, plus la proportion de la population sensible doit être faible, et vice versa. Cette expression a des limitations concernant la proportion de susceptibilité, par ex. les R0 est égal à 0,5 implique que S doit être égal à 2, mais cette proportion dépasse la taille de la population.

Supposons la distribution par âge stationnaire rectangulaire et supposons également que les âges d'infection aient la même distribution pour chaque année de naissance. Soit l'âge moyen de l'infection UNE, par exemple lorsque des personnes de moins de UNE sont sensibles et ceux plus âgés que UNE sont immunisés (ou infectieux). On peut alors montrer par un argument simple que la proportion de la population qui est susceptible est donnée par :

Nous réitérons que L est l'âge auquel, dans ce modèle, chaque individu est supposé mourir. Mais la définition mathématique de l'état d'équilibre endémique peut être réarrangée pour donner :

Ceci fournit un moyen simple d'estimer le paramètre R0 en utilisant des données facilement disponibles.

Cela permet d'obtenir le nombre de reproduction de base d'une maladie donnée UNE et L dans l'un ou l'autre type de répartition de la population.

Les modèles compartimentaux sont formulés sous forme de chaînes de Markov. [14] Un modèle compartimental classique en épidémiologie est le modèle SIR, qui peut être utilisé comme modèle simple pour modéliser les épidémies. Plusieurs autres types de modèles compartimentés sont également utilisés.


Expliquer Adaboost, une étape à la fois

Passons en revue la formule itérative, en décomposant chaque notation à chaque étape à un niveau granulaire pour une digestion facile.

1) Étant donné (x_1,y_1),…. (x_m,y_m) où x_i X, y_i ∈

(x_1, y_1): premier échantillon d'apprentissage, (x_m,y_m) = m-ième échantillon d'apprentissage

Maintenant que nous avons toutes les notations, nous pouvons lire la première partie de la formule comme :

"Étant donné l'ensemble d'apprentissage contenant m échantillons où toutes les entrées x sont un élément de l'ensemble total X et où les sorties y sont un élément d'un ensemble comprenant seulement deux valeurs, -1 (classe négative) et 1 (classe positive)…"

2) Initialiser : D1(i) = 1/m pour i = 1, …,m.

Ici, D = poids des échantillons et i = le ième échantillon d'apprentissage. Dans d'autres articles, le D sera écrit W. Ainsi, la déclaration suivante se lit comme suit :

« ... initialisez tous les poids de vos échantillons à 1 divisé par le nombre d'échantillons d'apprentissage... »

3) Pour t=1, …, T :

* former l'apprenant faible en utilisant la distribution Dt.

* Obtenir l'hypothèse faible h_t : X ->

* Objectif : sélectionnez h_t avec une erreur pondérée faible :

Dt [h_t(xi) différent de y_i]

Dt+1(i) = Dt(i)exp(-αt * y_i * h_t(x_i) / Zt

ε = erreur minimale de mauvaise classification pour le modèle

α = poids pour le classificateur

Zt = facteur de normalisation, utilisé pour s'assurer que les poids représentent une vraie distribution

Avec ces notations à portée de main, nous pouvons lire la partie suivante comme :

"Pour les classificateurs t = 1 à T, ajustez-le aux données d'apprentissage (où chaque prédiction est soit -1 soit 1) et sélectionnez le classificateur avec l'erreur de classification pondérée la plus faible."

La formule pour calculer formellement ε est décrit comme suit :

Décomposons ce modèle particulier.

y_i différent de h_j = 1 si mal classé et 0 si correctement classé

Ainsi, la formule se lit comme suit : "L'erreur est égale à la somme du taux de classification erronée, où le poids pour l'échantillon d'apprentissage i et y_i n'est pas égal à notre prédiction h_j (qui est égale à 1 si elle est mal classée et à 0 si elle est correctement classée)."

Appliquons des mathématiques simples pour donner un sens à la formule. Envisagez d'avoir 4 échantillons différents avec des poids de 0,5, 0,2, 0,1 et 0,04. Imaginez que notre classificateur h a prédit les valeurs 1, 1, -1 et -1, mais la valeur de sortie réelle y était -1, 1, -1, 1.

prédit : 1 1 -1 -1

réel : -1 1 -1 1

poids : 0,5 0,2 0,1 0,04

1 ou 0 : 1 0 0 1

Cela conduit au calcul suivant pour le taux d'erreur de classification :

taux d'erreur de classification / erreur = (0,5*1 + 0,2*0 + 0,1*0 + 0,04*1) / (0,5 + 0,2 + 0,1 + 0,04)

erreur = 0.64285714285

Ensuite, choisissez notre poids pour le classificateur, , par la formule qui lit 1/2 * ln(1- erreur / erreur).

Des mathématiques simples pourraient expliquer mieux que les mots ne pourraient le faire ici. Supposons par exemple que nous ayons des erreurs 0,30, 0,70, 0,5.

Nos poids de classificateur seraient calculés comme suit :

= 0,3

= 1/2 * ln(1- 0,3 / 0,3) = 0,42365

= 0,7

= 1/2 * ln(1- 0,7 / 0,7) = -0,42365

= 0,5

= 1/2 * ln(1- 0,5 / 0,5) = 0

Remarquez trois observations intéressantes : 1) un classificateur avec une précision supérieure à 50 % entraîne un poids positif pour le classificateur (en d'autres termes, > 0 si ε <= 0,5), 2) le classificateur avec une précision exacte de 50 % est égal à 0 et ne contribue donc pas à la prédiction finale, et 3) les erreurs de 0,3 et 0,7 conduisent à des poids de classificateur avec des signes inverses.

Vient maintenant la partie très importante de l'équation : la mise à jour des poids pour chaque échantillon. J'ai mentionné ci-dessus que le but de la mise à jour est de forcer les classificateurs à se concentrer sur des observations difficiles à classer correctement. Cela se fait en faisant en sorte que les cas mal classés soient mis à jour avec des poids accrus après une itération. Des poids accrus obligeraient notre algorithme d'apprentissage à accorder une plus grande attention à ces observations lors de la prochaine itération. Inversement, les cas correctement classés recevraient un poids réduit et une attention réduite de nos classificateurs à l'itération suivante.

Encore une fois, avec des chiffres simples comme démonstration, l'assimilation de l'information est indolore. Utilisons le taux d'erreur de 0,3 ci-dessus pour nous connecter à la formule. N'oubliez pas que nous recherchons le faible erreur pondérée. En d'autres termes, nous ne devrions pas utiliser un taux d'erreur supérieur ou égal à 0,5. Avec le faible taux d'erreur, vérifions ce qui se passe lorsque les cas sont mal classés et lorsque les cas sont correctement classés.

Et voila! Dans le cas d'une classification incorrecte, le terme exp est devenu supérieur à 1, et dans le cas d'une classification correcte, le terme exp est devenu inférieur à 1. Par conséquent, une classification incorrecte recevrait des poids plus élevés, incitant nos classificateurs à y prêter plus d'attention dans le à l'itération suivante, tandis que le cas contraire d'une classification correcte conduirait à l'inverse.

Nous continuons cette itération jusqu'à ce que a) une faible erreur d'entraînement soit atteinte, ou b) un nombre prédéfini d'apprenants faibles ait été ajouté (c'est un paramètre qui est sous notre contrôle). Nous prenons ensuite la prédiction finale en additionnant la prédiction pondérée de chaque classificateur.


6.2 : Classifications de l'équation modèle - Mathématiques

Si la bibliothèque de la boîte à outils ne contient pas une équation paramétrique souhaitée, vous pouvez créer votre propre équation personnalisée. Les modèles de bibliothèque, cependant, offrent les meilleures chances de convergence rapide. Ceci est dû au fait:

Pour la plupart des modèles de bibliothèque, la boîte à outils calcule les points de départ optimaux des coefficients par défaut. Pour les modèles personnalisés, la boîte à outils choisit des points de départ par défaut aléatoires sur l'intervalle [0,1]. Vous devez trouver des points de départ appropriés pour les modèles personnalisés.

Les modèles de bibliothèque utilisent un Jacobien analytique. Les modèles personnalisés utilisent une différenciation finie.

Ajustement linéaire et non linéaire

Vous pouvez créer des équations générales personnalisées avec le type d'ajustement Équation personnalisée. Les modèles généraux sont des combinaisons non linéaires de termes (peut-être non linéaires). Ils sont définis par des équations qui peuvent être non linéaires dans les paramètres. L'ajustement d'équation personnalisé utilise la procédure d'ajustement des moindres carrés non linéaire.

Vous pouvez définir une équation linéaire personnalisée à l'aide du type d'ajustement Équation personnalisée, bien que l'ajustement non linéaire soit moins efficace et généralement plus lent que l'ajustement linéaire par les moindres carrés.

Si vous ne savez pas si votre équation peut être exprimée sous la forme d'un ensemble de fonctions linéaires, sélectionnez Équation personnalisée . Vous devrez peut-être rechercher des points de départ appropriés.

Si vous avez besoin d'un ajustement linéaire par les moindres carrés pour les équations personnalisées, sélectionnez plutôt le type de modèle Ajustement linéaire. Voir Ajustement linéaire personnalisé.

Sélection interactive d'un ajustement d'équation personnalisé

Dans l'application Curve Fitting, sélectionnez Custom Equation dans la liste des types de modèle.

Utilisez l'ajustement d'équation personnalisé pour définir vos propres équations. Un exemple d'équation personnalisée apparaît lorsque vous sélectionnez Équation personnalisée de la liste, comme indiqué ici pour les données de courbe.

Si vous avez des données de surface, l'exemple d'équation personnalisée utilise à la fois X et oui.

Vous pouvez modifier x , y et z en n'importe quel nom de variable valide.

Dans la zone inférieure, modifiez l'exemple pour définir votre propre équation personnalisée. Vous pouvez saisir n'importe quelle expression MATLAB ® valide en termes de noms de variables. Vous pouvez spécifier un nom de fonction ou de script (voir Ajustement d'une courbe définie par un fichier dans l'application d'ajustement de courbe).

Cliquez sur Options d'ajustement si vous souhaitez spécifier des points de départ ou des limites. Par défaut, les valeurs de départ sont sélectionnées aléatoirement sur l'intervalle [0,1] et ne sont pas contraintes. Vous devrez peut-être rechercher des points de départ et des limites appropriés. Pour un exemple, voir Analyse de données ENSO non linéaire personnalisée.

Si vous définissez des options d'ajustement, puis modifiez d'autres paramètres d'ajustement, l'application mémorise vos choix pour les limites inférieure et supérieure et les points de départ, si possible. Pour les équations personnalisées, l'application Curve Fitting se souvient toujours des valeurs utilisateur, mais pour de nombreux modèles de bibliothèque, si vous modifiez les paramètres d'ajustement, l'application calcule automatiquement les nouvelles meilleures valeurs pour les points de départ ou les limites inférieures.

Vous pouvez enregistrer vos équations personnalisées dans le cadre de vos sessions d'application Curve Fitting enregistrées.

Votre fonction peut s'exécuter plusieurs fois, à la fois pendant l'ajustement et pendant le prétraitement avant l'ajustement. Sachez que cela peut prendre du temps si vous utilisez des fonctions avec des effets secondaires telles que l'écriture de données dans un fichier ou l'affichage d'informations de diagnostic dans la fenêtre de commande.

Ajustement d'une courbe définie par un fichier dans l'application Curve Fitting

Cet exemple montre comment fournir un nom de fonction ou de script comme modèle d'ajustement dans l'application Curve Fitting. Définissez une fonction dans un fichier et utilisez-la pour ajuster une courbe.

Définissez une fonction dans un fichier MATLAB.

Enregistrez le fichier sur le chemin MATLAB.

Définissez des données et ouvrez l'application Curve Fitting.

Dans l'application Curve Fitting, sélectionnez x et y dans le données X et données Y listes.

Utilisez votre fonction piecewiseLine dans l'application Curve Fitting en sélectionnant le type d'ajustement Custom Equation, puis en entrant votre expression de fonction dans la zone de texte de l'équation personnalisée. La fonction prend x données et certains paramètres pour l'ajustement.

L'application Curve Fitting crée un ajustement à l'aide de votre fonction.

Si vous souhaitez utiliser la même fonction pour l'ajustement sur la ligne de commande, utilisez la même expression comme entrée pour fittype , puis utilisez le fittype comme entrée pour adapter :

Sélection d'un ajustement d'équation personnalisé sur la ligne de commande

Pour adapter des modèles personnalisés, soit :

Fournissez un modèle personnalisé à la fonction fit dans l'argument d'entrée fitType. Vous pouvez utiliser une expression MATLAB (y compris n'importe quel fichier .m), un tableau de cellules de termes de modèle linéaire ou une fonction anonyme.

Créez un objet fittype avec la fonction fittype à utiliser comme argument d'entrée pour la fonction fit.

Cet exemple charge des données et utilise une équation personnalisée définissant un modèle Weibull en entrée de la fonction d'ajustement :

Pour définir un modèle personnalisé à l'aide de fittype , utilisez le formulaire :

Voir la page de référence fittype pour plus de détails sur :

Spécification des variables dépendantes et indépendantes, des paramètres du problème et des coefficients à l'aide de fittype .

Spécification d'un tableau de cellules de termes pour utiliser un algorithme d'ajustement linéaire pour votre équation personnalisée. Si expr est une chaîne ou une fonction anonyme, la boîte à outils utilise un algorithme d'ajustement non linéaire.


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Exemple 2 : équations de forme standard

Réécrivez y = 1/2x + 4 sous forme standard.

Nous savons maintenant que les équations de forme standard ne doivent pas contenir de fractions. Par conséquent, éliminons d'abord les fractions.

Puisque la seule fraction est 1/2, nous pouvons multiplier tous les termes par le dénominateur (2) pour éliminer la fraction.

Solution

Maintenant, regardons un exemple qui contient plus d'une fraction avec différents dénominateurs.


3. La formule quadratique

À la fin de la dernière section (Compléter le carré), nous avons dérivé une formule générale pour résoudre les équations quadratiques. Voici cette formule générale :

Pour toute équation quadratique `ax^2+ bx + c = 0`, les solutions de X peut être trouvé en utilisant la formule quadratique :

L'expression sous la racine carrée, `b^2&moins 4ac`, peut nous dire combien de racines nous obtiendrons. (Il n'y a pas de magie ici - juste une considération de la racine carrée de `b^2&moins 4ac`.)

Si ` b^2&moins 4ac = 0`, alors nous aurons une racine seulement, `x = &moinsb/(2a)`.

Si ` b^2&moins 4ac > 0`, alors nous aurons deux racines, l'un impliquant le signe "+" et l'autre impliquant le signe "&moins" dans la formule.

Si ` b^2&moins 4ac < 0`, alors nous aurons pas de vraies racines, car vous ne pouvez pas trouver la racine carrée d'un nombre négatif.

L'expression "b^2 &moins 4ac" est appelée la discriminant et dans certains livres, vous le verrez écrit avec un Delta majuscule grec, comme ceci `Delta = b^2 &moins 4ac`.


6.2 : Classifications de l'équation modèle - Mathématiques

Ce logiciel d'algèbre permet à ma fille d'apprendre de manière autonome, en lui offrant des faits et des conseils utiles avant de lui proposer des problèmes à résoudre. Ça marche très bien. . . Je pense que le logiciel se prête bien à aider les étudiants tout au long de l'année en complétant tout matériel qu'ils obtiennent dans une salle de classe ordinaire.
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La corrélation

La corrélation est une mesure de la proximité de la ligne avec les points que vous avez trouvés dans votre expérience. N'importe qui peut dire s'il pense que la droite est bien ajustée ou non, mais pour la mesurer exactement, nous utilisons le coefficient de corrélation : R 2 .

Regardez les deux graphiques suivants. Dans le premier, la ligne s'adapte très bien et dans la seconde, la ligne s'adapte très mal.

Notez que la valeur R 2 diffère dans les deux graphiques. Les droites qui correspondent le mieux aux points ont une valeur R . R est le coefficient de corrélation.

En comparant les graphiques aux valeurs R, vous pouvez probablement voir que plus R est proche de 1, mieux la ligne correspond à vos données. Lorsque R est loin de 1, votre ligne ne représentera pas du tout les données. Ceci est facilement visible ci-dessus, et pour plus d'informations, veuillez consulter MathWorld.

Pour voir comment trouver rapidement l'équation de la ligne la mieux ajustée et le coefficient de corrélation à l'aide de Microsoft Excel (ou du logiciel Open Office), visitez notre page Web Régression de ligne Excel.


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