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10.1 : Aperçu - Mathématiques


L'exponentielle matricielle est un moyen puissant pour représenter la solution de nn équations différentielles linéaires à coefficient constant. Le problème de la valeur initiale pour un tel système peut s'écrire

[x′(t) = Ax(t) onombre]

[x(0) = x_{0} onumber]

où (A) est la matrice n par n de coefficients. Par analogie avec le cas 1 par 1, on pourrait s'attendre

[x(t) = e^{At}u onumber]

tenir. Nos attentes sont exaucées si nous définissons correctement (e^{At}). Voyez-vous pourquoi il ne suffit pas d'exposer chaque élément de (At) ?

Il existe au moins 4 approches distinctes (mais bien sûr équivalentes) pour définir correctement (e^{At}). Les deux premiers sont des analogues naturels du cas à variable unique tandis que les deux derniers utilisent des machines d'algèbre matricielle plus lourdes.

  1. La matrice exponentielle comme limite des pouvoirs
  2. La matrice exponentielle comme somme de puissances
  3. La matrice exponentielle via la transformée de Laplace
  4. La matrice exponentielle via les valeurs propres et les vecteurs propres

Veuillez visiter chacun de ces modules pour voir la définition et un certain nombre d'exemples.

Pour une application concrète de ces méthodes à un système dynamique réel, veuillez visiter le module Mass-Spring-Damper.

Quelle que soit l'approche, la matrice exponentielle peut être montrée pour obéir aux 3 belles propriétés

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = Ae^{At} = e^{At}A)
  2. (e^{A(t_{1}+t_{2})} = e^{At_{1}}e^{At_{2}})
  3. (e^{At}) est non singulier et ((e^{At})^{-1} = e^{-(At)})

Confirmons chacun d'eux sur la suite d'exemples utilisés dans les sous-modules.

Exemple (PageIndex{1})

Si

[A = egin{pmatrix} {1}&{0} {0}&{2} end{pmatrix} onumber]

ensuite

[e^{At} = egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^{2t}} end{pmatrix} onumber]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^{2t}} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {1}&{0} {0}&{2} end{pmatrix} egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^ {2t}} end{pmatrix})
  2. (egin{pmatrix} {e^{t_{1}+t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}+2t_{2}}} end{ pmatrix} = egin{pmatrix} {e^{t_{1}}e^{t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}}e^{2t_{ 2}}} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {e^{t_{1}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}}} end{pmatrix} egin{pmatrix} {e^{t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{2}}} end{pmatrix})
  3. ((e^{At})^{-1} = egin{pmatrix} {e^{-t}}&{0} {0}&{e^{-(2t)}} end {pmatrix} = e^{-(At)})

Exemple (PageIndex{2})

Si

[A = egin{pmatrix} {0}&{1} {-1}&{0} end{pmatrix} onumber]

ensuite

[e^{At} = egin{pmatrix} {cos(t)}&{sin(t)} {-sin(t)}&{cos(t)} end{pmatrix } pas de numéro]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {-sin(t)}&{cos(t)} {-cos(t)}& {-sin(t)} end{pmatrix}) et (Ae^{At} = egin{pmatrix} {-sin(t)}&{cos(t)} {- cos(t)}&{-sin(t)} end{pmatrix})
  2. Vous reconnaîtrez cette déclaration comme une identité trig de base (egin{pmatrix} {cos(t_{1}+t_{2})}&{sin(t_{1}+t_{2})} {-sin(t_{1}+t_{2})}&{cos(t_{1}+t_{2})} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {cos(t_{1 })}&{sin(t_{1})} {-sin(t_{1})}&{cos(t_{1})} end{pmatrix} egin{pmatrix} { cos(t_{2})}&{sin(t_{2})} {-sin(t_{2})}&{cos(t_{2})} end{pmatrix})
  3. ((e^{At})^{-1} = egin{pmatrix} {cos(t)}&{-sin(t)} {sin(t)}&{cos( t)} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {cos(-t)}&{-sin(-t)} {sin(-t)}&{cos(-t) } end{pmatrix} = e^{-(At)})

Exemple (PageIndex{3})

Si

[A = egin{pmatrix} {0}&{1} {0}&{0} end{pmatrix} onumber]

ensuite

[e^{At} = egin{pmatrix} {1}&{t} {0}&{1} end{pmatrix} onumber]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {0}&{1} {0}&{0} end{pmatrix} = Ae^{At} )
  2. (egin{pmatrix} {1}&{t_{1}+t_{2}} {0}&{1} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {1}&{t_{1 }} {0}&{1} end{pmatrix} egin{pmatrix} {1}&{t_{2}} {0}&{1} end{pmatrix})
  3. (egin{pmatrix} {1}&{t} {0}&{1} end{pmatrix}^{-1} = egin{pmatrix} {1}&{-t} { 0}&{1} end{pmatrix} = e^{-At})

Pourquoi l'auto-attention multi-tête fonctionne : mathématiques, intuitions et 10+1 idées cachées

Cet article s'adresse aux personnes curieuses qui veulent vraiment comprendre pourquoi et comment fonctionne l'auto-attention. Avant de mettre en œuvre, ou d'expliquer uniquement un nouvel article de fantaisie avec des transformateurs, j'ai pensé qu'il serait intéressant de présenter différentes perspectives sur le mécanisme d'attention.

Après avoir étudié ce sujet pendant quelques mois, j'ai découvert de nombreuses intuitions cachées qui peuvent donner un sens à la basé sur le contenu mécanisme d'attention.

Pourquoi est-ce que je prends le temps d'analyser plus en profondeur l'auto-attention ?

Tout d'abord parce que je ne pouvais pas trouver de réponses simples à ma question évidente pourquoi l'auto-attention multi-tête fonctionne. Deuxièmement, parce que de nombreux chercheurs de haut niveau comme Hadamaru de Google Brain le considèrent comme la formule la plus importante après 2018 :

Il est intéressant de noter qu'il existe deux types de calculs parallèles cachés dans l'auto-attention :

en incorporant par lots des vecteurs dans la matrice de requête

en introduisant une attention multi-têtes.

Nous analyserons les deux. Plus important encore, je vais essayer de fournir différentes perspectives quant à Pourquoi l'auto-attention multi-tête fonctionne !

Veuillez visiter mes articles d'introduction sur l'attention et les transformateurs pour un aperçu de haut niveau ou notre bibliothèque open source pour les implémentations.

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Chaque unité offrira deux composants pour aider à rendre les unités de mathématiques significatives et engageantes pour tout le groupe, en petit groupe ou en leçons individuelles. Ce programme donne à l'enseignant la flexibilité et la liberté de réorganiser les unités pour répondre aux besoins de ses élèves. Puisqu'il y a tellement de pages et de centres de pratique dans chaque unité, l'enseignant peut utiliser de nombreuses pages et centres comme une revue en spirale au fur et à mesure que l'année avance. Les activités les plus difficiles conviendraient mieux à ce type d'approche.

Les normes de niveau scolaire pour chaque page et centre de pratique sont clairement indiquées sur le Feuille de normes mathématiques pour la maternelle. Par conséquent, vous n'avez pas à deviner quelle norme est couverte. C'est un soulagement de SAVOIR avec certitude que TOUT les normes sont couvertes. Ce type de ressource permet à l'enseignant ou à l'élève à domicile de compléter facilement son programme de mathématiques actuel ou de mettre en œuvre ces unités en tant que nouveau programme.

Ci-dessous, vous pouvez voir comment chaque page correspond aux normes de niveau scolaire pour la maternelle. Une fois que vous avez couvert les pages spécifiques d'une norme avec les pages de pratique NO PREP, vous pouvez maintenant vous référer à la page des normes pour les centres. Contrairement à un plan de cours écrit mot à mot, ce programme de mathématiques permet une certaine flexibilité, donnant à l'enseignant le contrôle de la portée et de la séquence.


Les références

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Contenu

La procédure de résolution d'équations linéaires simultanées maintenant appelée élimination gaussienne apparaît dans l'ancien texte mathématique chinois Chapitre Huit : Tableaux rectangulaires de Les neuf chapitres sur l'art mathématique. Son utilisation est illustrée dans dix-huit problèmes, avec deux à cinq équations. [4]

Les systèmes d'équations linéaires sont apparus en Europe avec l'introduction en 1637 par René Descartes des coordonnées en géométrie. En effet, dans cette nouvelle géométrie, désormais appelée géométrie cartésienne, les lignes et les plans sont représentés par des équations linéaires, et calculer leurs intersections revient à résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Les premières méthodes systématiques de résolution de systèmes linéaires utilisaient des déterminants, envisagés pour la première fois par Leibniz en 1693. En 1750, Gabriel Cramer les utilisa pour donner des solutions explicites de systèmes linéaires, maintenant appelée règle de Cramer. Plus tard, Gauss a décrit plus en détail la méthode d'élimination, qui était initialement répertoriée comme une avancée de la géodésie. [5]

En 1844, Hermann Grassmann publia sa « Théorie de l'extension » qui incluait de nouveaux sujets fondamentaux de ce qu'on appelle aujourd'hui l'algèbre linéaire. En 1848, James Joseph Sylvester a introduit le terme matrice, qui signifie en latin utérus.

L'algèbre linéaire s'est développée avec des idées notées dans le plan complexe. Par exemple, deux nombres w et z en C > avoir une différence wz, et les segments de ligne w z ¯ >> et 0 ( w − z ) ¯ >> ont la même longueur et la même direction. Les segments sont équipollents. Le système à quatre dimensions H > des quaternions a été commencé en 1843. Le terme vecteur a été présenté comme v = X je + oui j+ z k représentant un point dans l'espace. La différence de quaternion pq produit également un segment équipollent à p q . >.> D'autres systèmes de nombres hypercomplexes ont également utilisé l'idée d'un espace linéaire avec une base.

Arthur Cayley a introduit la multiplication matricielle et la matrice inverse en 1856, rendant possible le groupe linéaire général. Le mécanisme de représentation de groupe est devenu disponible pour décrire des nombres complexes et hypercomplexes. Fondamentalement, Cayley a utilisé une seule lettre pour désigner une matrice, traitant ainsi une matrice comme un objet agrégé. Il réalisa également le lien entre matrices et déterminants, et écrivit « Il y aurait beaucoup de choses à dire sur cette théorie des matrices qui devrait, me semble-t-il, précéder la théorie des déterminants ». [5]

Benjamin Peirce a publié son Algèbre associative linéaire (1872), et son fils Charles Sanders Peirce a étendu les travaux plus tard. [6]

Le télégraphe nécessitait un système explicatif, et la publication en 1873 du Traité d'électricité et de magnétisme instituait une théorie des forces des champs et nécessitait une géométrie différentielle pour l'expression. L'algèbre linéaire est une géométrie différentielle plate et sert dans les espaces tangents aux variétés. Les symétries électromagnétiques de l'espace-temps sont exprimées par les transformations de Lorentz, et une grande partie de l'histoire de l'algèbre linéaire est l'histoire des transformations de Lorentz.

La première définition moderne et plus précise d'un espace vectoriel a été introduite par Peano en 1888 [5] en 1900, une théorie des transformations linéaires d'espaces vectoriels de dimension finie avait émergé. L'algèbre linéaire a pris sa forme moderne dans la première moitié du XXe siècle, lorsque de nombreuses idées et méthodes des siècles précédents ont été généralisées en tant qu'algèbre abstraite. Le développement des ordinateurs a conduit à une recherche accrue d'algorithmes efficaces pour l'élimination gaussienne et les décompositions matricielles, et l'algèbre linéaire est devenue un outil essentiel pour la modélisation et les simulations. [5]

Jusqu'au 19ème siècle, l'algèbre linéaire a été introduite à travers des systèmes d'équations linéaires et de matrices. En mathématiques modernes, la présentation à travers espaces vectoriels est généralement préféré, car il est plus synthétique, plus général (non limité au cas de dimension finie), et conceptuellement plus simple, bien que plus abstrait.

Un espace vectoriel sur un champ F (souvent le champ des nombres réels) est un ensemble V muni de deux opérations binaires satisfaisant les axiomes suivants. Des éléments de V sont appelés vecteurs, et des éléments de F sont appelés scalaires. La première opération, addition de vecteur, prend deux vecteurs quelconques v et w et génère un troisième vecteur v + w . La deuxième opération, multiplication scalaire, prend n'importe quel scalaire une et tout vecteur v et génère un nouveau vecteur unev . Les axiomes auxquels l'addition et la multiplication scalaire doivent satisfaire sont les suivants. (Dans la liste ci-dessous, vous, v et w sont des éléments arbitraires de V , et une et b sont des scalaires arbitraires dans le champ F .) [7]

Axiome Signification
Associativité de l'addition vous + (v + w) = (vous + v) + w
Commutativité de l'addition vous + v = v + vous
Élément d'identité de l'addition Il existe un élément 0 dans V , appelé le vecteur zéro (ou simplement zéro), tel que v + 0 = v pour tous v dans V .
Éléments inverses d'addition Pour chaque v dans V , il existe un élément −v dans V , appelé le inverse additif de v , tel que v + (−v) = 0
Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle une(vous + v) = unevous + unev
Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition de champ (une + b)v = unev + bv
Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication de champ une(bv) = (un B)v [une]
Élément d'identité de la multiplication scalaire 1v = v , où 1 désigne l'identité multiplicative de F .

Les quatre premiers axiomes signifient que V est un groupe abélien sous addition.

Un élément d'un espace vectoriel spécifique peut être de nature diverse par exemple, il peut s'agir d'une séquence, d'une fonction, d'un polynôme ou d'une matrice. L'algèbre linéaire s'intéresse aux propriétés de ces objets qui sont communes à tous les espaces vectoriels.

Cartes linéaires Modifier

Cartes linéaires sont des mappages entre les espaces vectoriels qui préservent la structure vecteur-espace. Étant donné deux espaces vectoriels V et W sur un champ F , une carte linéaire (également appelée, dans certains contextes, transformation linéaire ou application linéaire) est une carte

compatible avec l'addition et la multiplication scalaire, c'est-à-dire

pour tous les vecteurs vous,v dans V et scalaire une dans F.

Cela implique que pour tout vecteur vous, v dans V et scalaires une, b dans F , on a

Lorsque V = W sont le même espace vectoriel, une application linéaire T : V → V est également appelée opérateur linéaire sur V.

Une application linéaire bijective entre deux espaces vectoriels (c'est-à-dire que chaque vecteur du deuxième espace est associé à exactement un dans le premier) est un isomorphisme. Parce qu'un isomorphisme préserve la structure linéaire, deux espaces vectoriels isomorphes sont "essentiellement les mêmes" du point de vue de l'algèbre linéaire, dans le sens où ils ne peuvent pas être distingués en utilisant les propriétés de l'espace vectoriel. Une question essentielle en algèbre linéaire est de tester si une application linéaire est un isomorphisme ou non, et, si ce n'est pas un isomorphisme, de trouver sa plage (ou image) et l'ensemble des éléments qui sont mappés sur le vecteur zéro, appelé le noyau de la carte. Toutes ces questions peuvent être résolues en utilisant l'élimination gaussienne ou une variante de cet algorithme.

Sous-espaces, étendue et base Modifier

L'étude de ces sous-ensembles d'espaces vectoriels qui sont en eux-mêmes des espaces vectoriels sous les opérations induites est fondamentale, de même que pour de nombreuses structures mathématiques. Ces sous-ensembles sont appelés sous-espaces linéaires. Plus précisément, un sous-espace linéaire d'un espace vectoriel V sur un corps F est un sous-ensemble W de V tel que vous + v et unevous sont dans W , pour tout vous , v dans W , et chaque a dans F . (Ces conditions suffisent pour impliquer que W est un espace vectoriel.)

Par exemple, étant donné une application linéaire T : V → W , l'image T(V) de V , et l'image inverse T −1 (0) de 0 (appelé noyau ou espace nul), sont des sous-espaces linéaires de W et V , respectivement.

Une autre façon importante de former un sous-espace est de considérer des combinaisons linéaires d'un ensemble S de vecteurs : l'ensemble de toutes les sommes

v1, v2, . vk sont dans S , et une1, une2, . unek sont dans F forment un sous-espace linéaire appelé l'étendue de S . L'étendue de S est également l'intersection de tous les sous-espaces linéaires contenant S . En d'autres termes, il s'agit du sous-espace linéaire (le plus petit pour la relation d'inclusion) contenant S .

Un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si aucun n'est dans la portée des autres. De manière équivalente, un ensemble S de vecteurs est linéairement indépendant si la seule façon d'exprimer le vecteur zéro comme une combinaison linéaire d'éléments de S est de prendre zéro pour chaque coefficient a i .