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16.3 : Champs vectoriels conservateurs - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Décrire des courbes simples et fermées ; définir des régions connectées et simplement connectées.
  • Explique comment trouver une fonction potentielle pour un champ vectoriel conservateur.
  • Utilisez le théorème fondamental des intégrales de droites pour évaluer une intégrale de droites dans un champ vectoriel.
  • Expliquez comment tester un champ vectoriel pour déterminer s'il est prudent.

Dans cette section, nous poursuivons l'étude des champs de vecteurs conservateurs. Nous examinons le théorème fondamental des intégrales linéaires, qui est une généralisation utile du théorème fondamental du calcul aux intégrales linéaires des champs de vecteurs conservateurs. Nous découvrons également montrer comment tester si un champ de vecteurs donné est conservateur, et déterminer comment construire une fonction potentielle pour un champ de vecteurs connu pour être conservateur.

Courbes et régions

Avant de poursuivre notre étude des champs de vecteurs conservateurs, nous avons besoin de quelques définitions géométriques. Les théorèmes des sections suivantes reposent tous sur l'intégration sur certains types de courbes et de régions, nous développons donc ici les définitions de ces courbes et régions. Nous définissons d'abord deux types particuliers de courbes : les courbes fermées et les courbes simples. Comme nous l'avons appris, une courbe fermée est une courbe qui commence et se termine au même point. Une courbe simple est une courbe qui ne se croise pas. Une courbe à la fois fermée et simple est une courbe fermée simple (Figure (PageIndex{1})).

DÉFINITION : Courbes fermées

La courbe (C) est une courbe fermée s'il existe une paramétrisation (vecs r(t)), (a≤t≤b) de (C) telle que la paramétrisation parcourt la courbe exactement une fois et (vecs r(a)= vecs r(b)). La courbe (C) est une courbe simple si (C) ne se croise pas. C'est-à-dire que (C) est simple s'il existe une paramétrisation (vecs r(t)), (a≤t ) de (C) telle que (vecs r) est un à un sur ((a,b)). C'est possible pour (vecs r(a)=vecs r(b)), ce qui signifie que la courbe simple est également fermée.

Exemple (PageIndex{1}) : déterminer si une courbe est simple et fermée

La courbe de paramétrisation (vecs{r}(t)=leftlanglecos t,frac{sin(2t)}{2} ight angle), (0≤t≤2 pi) une simple courbe fermée ?

Solution

Notez que (vecs{r}(0)=⟨1,0⟩=vecs r(2pi)); par conséquent, la courbe est fermée. La courbe n'est cependant pas simple. Pour le voir, notez que (vecs{r}left(frac{pi}{2} ight)=⟨0,0⟩=vecs{r}left(frac{3pi} {2} ight)), et donc la courbe se croise à l'origine (Figure (PageIndex{2})).

Exercice (PageIndex{1})

La courbe donnée par la paramétrisation (vecs{r}(t)=⟨2cos t,3sin t⟩), (0≤t≤6pi), est-elle une simple courbe fermée ?

Indice

Esquissez la courbe.

Répondre

Oui

De nombreux théorèmes de ce chapitre relient une intégrale sur une région à une intégrale sur la limite de la région, où la limite de la région est une simple courbe fermée ou une union de courbes fermées simples. Pour développer ces théorèmes, il nous faut deux définitions géométriques des régions : celle d'une région connexe et celle d'une région simplement connexe. Une région connectée est une région dans laquelle il existe un chemin dans la région qui relie deux points quelconques qui se trouvent dans cette région. Une région simplement connectée est une région connectée qui n'a pas de trous. Ces deux notions, ainsi que la notion de courbe fermée simple, nous permettent d'énoncer plusieurs généralisations du théorème fondamental du calcul plus loin dans le chapitre. Ces deux définitions sont valables pour des régions à un nombre quelconque de dimensions, mais nous ne nous intéressons qu'aux régions à deux ou trois dimensions.

DÉFINITION : régions connectées

Une région est un région connectée si, pour deux points quelconques (P_1) et (P_2), il existe un chemin de (P_1) à (P_2) avec une trace contenue entièrement à l'intérieur . Une région est une région simplement connexe si est connecté pour toute courbe fermée simple C qui se trouve à l'intérieur , et courbe C peut être rétréci en continu jusqu'à un certain point tout en restant entièrement à l'intérieur . En deux dimensions, une région est simplement connectée si elle est connectée et n'a pas de trous.

Toutes les régions simplement connectées sont connectées, mais toutes les régions connectées ne sont pas simplement connectées (Figure (PageIndex{3})).

Exercice (PageIndex{2})

La région de l'image ci-dessous est-elle connectée ? La région est-elle simplement connectée ?

Indice

Considérez les définitions.

Répondre

La région de la figure est connectée. La région de la figure n'est pas simplement connectée.

Théorème fondamental pour les intégrales de ligne

Maintenant que nous comprenons quelques courbes et régions de base, généralisons le théorème fondamental du calcul aux intégrales de ligne. Rappelons que le théorème fondamental du calcul dit que si une fonction (f) a une primitive (F), alors l'intégrale de (f) de (a) à (b) ne dépend que de les valeurs de (F) à (a) et à (b)—c'est-à-dire,

[int_a^bf(x),dx=F(b)−F(a).]

Si nous considérons le gradient comme une dérivée, le même théorème est valable pour les intégrales de lignes vectorielles. Nous montrons comment cela fonctionne à l'aide d'un exemple de motivation.

Exemple (PageIndex{2}) : évaluation d'une intégrale de ligne et des primitives des extrémités

Soit (vecs{F}(x,y)=⟨2x,4y⟩). Calculez (displaystyle int_C vecs{F} cdot dvecs{r}), où C est le segment de ligne de ((0,0)) à ((2,2)) (Figure (PageIndex{4})).

Solution

Nous utilisons la méthode de la section précédente pour calculer (int_C vecs{F} cdot dvecs{r}). Courbe C peut être paramétré par (vecs{r}(t)=⟨2t,2t⟩), (0≤t≤1). Alors, (vecs{F}(vecs r(t))=⟨4t,8t⟩) et (vecs r′(t)=⟨2,2⟩), ce qui implique que

[egin{align*} int_C vecs{F}·dvecs{r} &=int_0^1⟨4t,8t⟩·⟨2,2⟩dt [4pt] &=int_0^ 1(8t+16t)dt=int_0^1 24tdt[4pt] &={ig[12t^2ig]}_0^1=12. end{align*}]

Notez que (vecs{F}=vecs abla f), où (f(x,y)=x^2+2y^2). Si nous considérons le gradient comme une dérivée, alors (f) est une « primitive » de (vecs{F}). Dans le cas des intégrales à une seule variable, l'intégrale de la dérivée (g′(x)) est (g(b)−g(a)), où une est le point de départ de l'intervalle d'intégration et b est le point final. Si les intégrales de lignes vectorielles fonctionnent comme des intégrales à variable unique, alors nous nous attendrions à ce que l'intégrale (vecs{F}) soit (f(P_1)−f(P_0)), où (P_1) est le point final de la courbe d'intégration et (P_0) est le point de départ. Notez que c'est le cas pour cet exemple :

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r}=int_C vecs abla f cdot dvecs{r}=12 onumber]

et

[f(2,2)−f(0,0)=4+8−0=12. pas de numéro]

En d'autres termes, l'intégrale d'une « dérivée » peut être calculée en évaluant une « primitive » aux extrémités de la courbe et en la soustrayant, tout comme pour les intégrales à une seule variable.

Le théorème suivant dit que, sous certaines conditions, ce qui s'est passé dans l'exemple précédent est valable pour tout champ de gradient. Le même théorème est valable pour les intégrales vectorielles, que nous appelons le Théorème fondamental pour les intégrales de droite.

Théorème : LE THÉORÈME FONDAMENTAL POUR LES INTÉGRALES DE LIGNE

Laisser C une courbe lisse par morceaux de paramétrisation (vecs r(t)), (a≤t≤b). Soit (f) une fonction de deux ou trois variables avec des dérivées partielles du premier ordre qui existent et sont continues sur C. Puis,

[int_C vecs abla f cdot dvecs{r}=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)). label{FunTheLine}]

Preuve

D'abord,

[int_C vecs abla f cdot d vecs{r}=int_a^b vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt. pas de numéro ]

Par la règle de la chaîne,

[dfrac{d}{dt}(f( vecs r(t))= vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t) onumber]

Par conséquent, par le théorème fondamental du calcul,

[egin{align*} int_C vecs abla f cdot d vecs{r} &=int_a^b vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t )dt [4pt] &=int_a^bdfrac{d}{dt}(f( vecs r(t))dt [4pt] &={ig[f( vecs r(t ))ig]}_{t=a}^{t=b}[4pt] &=f( vecs r(b))−f( vecs r(a)). end{align* }]

(carré)

On sait que si (vecs{F}) est un champ de vecteurs conservateur, il existe une fonction potentielle (f) telle que ( vecs abla f= vecs F). Par conséquent

[int_C vecs F·dvecs r=int_Cvecs abla f·dvecs{r}=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)).]

En d'autres termes, tout comme pour le théorème fondamental du calcul, le calcul de l'intégrale de droite (int_C vecs F·dvecs{r}), où (vecs{F}) est conservateur, est un -étape du processus :

  1. Trouver une fonction potentielle (« primitive ») (f) pour (vecs{F}) et
  2. Calculez la valeur de (f) aux extrémités de (C) et calculez leur différence (f(vecs r(b))−f(vecs r(a))).

Gardez à l'esprit, cependant, qu'il existe une différence majeure entre le théorème fondamental du calcul et le théorème fondamental des intégrales de ligne :
Une fonction d'une variable qui est continue doit avoir une primitive. Cependant, un champ de vecteurs, même continu, n'a pas besoin d'avoir de fonction potentielle.

Exemple (PageIndex{3}): Application du théorème fondamental

Calculer l'intégrale (int_C vecs{F} cdot dvecs{r}), où (vecs{F}(x,y,z)=⟨2xln y,dfrac{x^2 }{y}+z^2,2yz⟩) et (C) est une courbe de paramétrisation (vecs{r}(t)=⟨t^2,t,t⟩), (1 t≤e)

  1. sans utiliser le théorème fondamental des intégrales de droites et
  2. en utilisant le théorème fondamental des intégrales de droites.

Solution

1. Tout d'abord, calculons l'intégrale sans le théorème fondamental pour les intégrales linéaires et utilisons à la place la méthode que nous avons apprise dans la section précédente :

[egin{align*} int_C vecs{F} cdot dr &=int_1^evecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt[ 4pt] &=int_1^e⟨2t^2ln t,dfrac{t^4}{t}+t^2,2t^2⟩ cdot ⟨2t,1,1⟩,dt[ 4pt] &=int_1^e(4t^3ln t+t^3+3t^2),dt [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t ,dt+int_1^ e(t^3+3t^2),dt [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t,dt+{Big[dfrac{t^4}{4}+t^ 3Big]}_1^e [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t,dt+dfrac{e^4}{4}+e^3 −dfrac{1}{4 } -1 [4pt] &= int_1^e 4t^3ln t,dt+dfrac{e^4}{4}+e^3 −dfrac{5}{4}end{align *}]

L'intégrale (displaystyle int_1^e t^3ln t,dt) nécessite une intégration par parties. Soit (u=ln t) et (dv=t^3). Puis (u=ln t), (dv=t^3)

et

[du=dfrac{1}{t},dt, ;;v=dfrac{t^4}{4}. onumber]

Par conséquent,

[egin{align*} int_1^et^3ln t,dt &={Big[dfrac{t^4}{4}ln tBig]}_1^e−dfrac{ 1}{4}int_1^et^3,dt [4pt] &=dfrac{e^4}{4}−dfrac{1}{4}left(dfrac{e^4} {4}−dfrac{1}{4} ight). end{align*}]

Ainsi,

[egin{align*} int_C vecs F cdot dvecs{r} &= 4int_1^et^3ln t, dtquad +quad dfrac{e^4}{4 }+e^3 − dfrac{5}{4} [4pt] &=4left(dfrac{e^4}{4}−dfrac{1}{4}left(dfrac{ e^4}{4}−dfrac{1}{4} ight) ight)+dfrac{e^4}{4}+e^3−dfrac{5}{4}[4pt ] &=e^4−dfrac{e^4}{4}+dfrac{1}{4}+dfrac{e^4}{4}+e^3−dfrac{5}{4} [4pt] &=e^4+e^3−1. end{align*}]

2. Étant donné que (f(x,y,z)=x^2ln y+yz^2) est une fonction potentielle pour (vecs F), utilisons le théorème fondamental des intégrales de droite pour calculer l'intégrale. Noter que

[egin{align*} int_C vecs F cdot dvecs{r} &=int_C vecs abla f cdot dvecs{r} [4pt] &=f(vecs r (e))−f(vecs r(1)) [4pt] &=f(e^2,e,e)−f(1,1,1)[4pt] &=e^4 +e^3−1. end{align*}]

Ce calcul est beaucoup plus simple que le calcul que nous avons fait en (a). Tant que nous avons une fonction potentielle, le calcul d'une intégrale de ligne en utilisant le théorème fondamental pour les intégrales de ligne est beaucoup plus facile que de calculer sans le théorème.

L'exemple (PageIndex{3}) illustre une fonctionnalité intéressante du théorème fondamental des intégrales de lignes : il nous permet de calculer plus facilement de nombreuses intégrales de lignes vectorielles. Tant que nous avons une fonction potentielle, le calcul de l'intégrale de ligne n'est qu'une question d'évaluation de la fonction potentielle aux extrémités et de soustraction.

Exercice (PageIndex{3})

Étant donné que (f(x,y)={(x−1)}^2y+{(y+1)}^2x) est une fonction potentielle pour (vecs F(x,y)=⟨2xy− 2y+{(y+1)}^2,{(x−1)}^2+2yx+2x⟩), calculer l'intégrale (int_C vecs F·dvecs r), où (C ) est la moitié inférieure du cercle unité orientée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Indice

Le théorème fondamental pour les intervalles de ligne dit que cette intégrale ne dépend que de la valeur de (f) aux extrémités de (C).

Répondre

2

Le théorème fondamental des intégrales de droites a deux conséquences importantes. La première conséquence est que si (vecs{F}) est conservatrice et (C) est une courbe fermée, alors la circulation de (vecs{F}) le long de (C) est nulle— c'est-à-dire (int_C vecs F·dvecs r=0). Pour voir pourquoi cela est vrai, soit (f) une fonction potentielle pour (vecs{F}). Puisque (C) est une courbe fermée, le point terminal (vecs r(b)) de (C) est le même que le (vecs r(a)) initial de (C )—c'est-à-dire (vecs r(a)=vecs r(b)). Par conséquent, d'après le théorème fondamental des intégrales de droites,

[egin{align} oint_C vecs F·dvecs r &=oint_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(vecs r(b))−f( vecs r(a)) [4pt] &=f(vecs r(b))−f(vecs r(b)) [4pt] &=0. end{aligner}]

Rappelons que la raison pour laquelle un champ vectoriel conservateur (vecs{F}) est appelé « conservatif » est que ces champs vectoriels modélisent des forces dans lesquelles l'énergie est conservée. Nous avons montré que la gravité est un exemple d'une telle force. Si nous considérons le champ vectoriel (vecs{F}) dans l'intégrale (oint_C vecs F·dvecs r) comme un champ gravitationnel, alors l'équation (oint_C vecs{F}·d vecs{r}=0) suit. Si une particule se déplace le long d'un chemin qui commence et se termine au même endroit, alors le travail effectué par gravité sur la particule est nul.

La deuxième conséquence importante du théorème fondamental pour les intégrales de ligne (équation ef{FunTheLine}) est que les intégrales de ligne des champs de vecteurs conservateurs sont indépendantes du chemin, ce qui signifie qu'elles ne dépendent que des extrémités de la courbe donnée et ne dépendent pas de le chemin entre les extrémités.

DÉFINITION : Indépendance du chemin

Soit (vecs{F}) un champ de vecteurs de domaine (D); il est indépendant du chemin (ou chemin indépendant) si

[int_{C_1} vecs{F}·dvecs{r}=int_{C_2} vecs{F}·dvecs{r}]

pour tous les chemins (C_1) et (C_2) dans (D) avec les mêmes points initiaux et terminaux.

La deuxième conséquence est énoncée formellement dans le théorème suivant.

Théorème : CHAMPS CONSERVATEURS

Si (vecs{F}) est un champ vectoriel conservateur, alors (vecs{F}) est indépendant du chemin.

Preuve

Soit (D) le domaine de (vecs{F}) et soit (C_1) et (C_2) deux chemins dans (D) avec les mêmes points initial et terminal (Figure (PageIndex{5})). Appelez le point initial (P_1) et le point terminal (P_2). Puisque (vecs{F}) est conservateur, il existe une fonction potentielle (f) pour (vecs{F}). Par le théorème fondamental des intégrales de droites,

[int_{C_1} vecs{F}·dvecs{r}=f(P_2)−f(P_1)=int_{C_2} vecs{F}·dvecs{r}. pas de numéro]

Par conséquent, (int_{C_1}vecs F·dvecs r=int_{C_2}vecs F·dvecs r) et (vecs{F}) est indépendant du chemin.

(carré)

Pour visualiser ce que signifie l'indépendance du chemin, imaginez trois randonneurs qui grimpent du camp de base au sommet d'une montagne. Le randonneur 1 emprunte un itinéraire escarpé directement du camp au sommet. Le randonneur 2 emprunte un itinéraire sinueux qui n'est pas raide du camp au sommet. Le randonneur 3 commence par emprunter la route escarpée mais à mi-chemin du sommet décide que c'est trop difficile pour lui. Par conséquent, il retourne au camp et prend le chemin non escarpé jusqu'au sommet. Les trois randonneurs empruntent des sentiers dans un champ gravitationnel. Puisque la gravité est une force dans laquelle l'énergie est conservée, le champ gravitationnel est conservateur. Par indépendance de chemin, la quantité totale de travail effectué par gravité sur chacun des randonneurs est la même car ils ont tous commencé au même endroit et se sont terminés au même endroit. Le travail effectué par les randonneurs inclut d'autres facteurs tels que la friction et le mouvement musculaire, de sorte que la quantité totale d'énergie dépensée par chacun n'est pas la même, mais l'énergie nette dépensée contre la gravité est la même pour les trois randonneurs.

Nous avons montré que si (vecs{F}) est conservateur, alors (vecs{F}) est indépendant du chemin. Il s'avère que si le domaine de (vecs{F}) est ouvert et connecté, alors l'inverse est également vrai. Autrement dit, si (vecs{F}) est indépendant du chemin et que le domaine de (vecs{F}) est ouvert et connecté, alors (vecs{F}) est conservateur. Par conséquent, l'ensemble des champs de vecteurs conservateurs sur les domaines ouverts et connectés est précisément l'ensemble des champs de vecteurs indépendants du chemin.

Théorème : LE TEST D'INDÉPENDANCE DU CHEMIN POUR LES CHAMPS CONSERVATEURS

Si (vecs{F}) est un champ vectoriel continu indépendant du chemin et que le domaine (D) de (vecs{F}) est ouvert et connexe, alors (vecs{F }) est conservateur.

Preuve

On démontre le théorème des champs de vecteurs dans (ℝ^2). La preuve pour les champs de vecteurs dans (ℝ^3) est similaire. Pour montrer que (vecs F=⟨P,Q⟩) est conservatrice, il faut trouver une fonction potentielle (f) pour (vecs{F}). Pour cela, soit (X) un point fixe dans (D). Pour tout point ((x,y)) dans (D), soit (C) un chemin de (X) à ((x,y)). Définissez (f(x,y)) par (f(x,y)=int_C vecs F·dvecs r). (Notez que cette définition de (f) n'a de sens que parce que (vecs{F}) est indépendant du chemin. Si (vecs{F}) n'était pas indépendant du chemin, cela pourrait être possible pour trouver un autre chemin (C′) de (X) à ((x,y)) tel que (int_C vecs F·dvecs r≠int_C vecs F·dvecs r), et dans un tel cas (f(x,y)) ne serait pas une fonction.) Nous voulons montrer que (f) a la propriété (vecs abla f=vecs F ).

Puisque le domaine (D) est ouvert, il est possible de trouver un disque centré en ((x,y)) tel que le disque soit entièrement contenu à l'intérieur de (D). Soit ((a,y)) avec (a

[f(x,y)=int_{C_1} vecs F·dvecs r+int_{C_2}vecs F cdot dvecs r. onumber]

La première intégrale ne dépend pas de (x), donc

[f_x(x,y)=dfrac{∂}{∂x}int_{C_2} vecs F cdot dvecs r. pas de numéro]

Si nous paramétrons (C_2) par (vecs r(t)=⟨t,y⟩), (a≤t≤x), alors

[egin{align*} f_x(x,y) &=dfrac{∂}{∂x}int_{C_2} vecs F cdot dvecs r [4pt] &=dfrac{∂ }{∂x}int_a^x vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x}int_a ^x vecs F(vecs r(t)) cdot dfrac{d}{dt}(⟨t,y⟩),dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x} int_a^x vecs F(vecs r(t)) cdot ⟨1,0⟩,dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x}int_a^x P(t,y) ,dt.[4pt] end{align*}]

Par le théorème fondamental du calcul (partie 1),

[f_x(x,y)=dfrac{∂}{∂x}int_a^x P(t,y),dt=P(x,y). onumber]

Un argument similaire utilisant un segment de ligne verticale plutôt qu'un segment de ligne horizontale montre que (f_y(x,y)=Q(x,y)).

Par conséquent (vecs abla f=vecs F) et (vecs{F}) est conservateur.

(carré)

Nous avons passé beaucoup de temps à discuter et prouver les théorèmes ci-dessus, mais nous pouvons les résumer simplement : un champ de vecteurs (vecs F) sur un domaine ouvert et connexe est conservateur si et seulement s'il est indépendant du chemin. Ceci est important à savoir car les champs vectoriels conservateurs sont extrêmement importants dans les applications, et ces théorèmes nous donnent une manière différente de voir ce que signifie être conservateur en utilisant l'indépendance de chemin.

Exemple (PageIndex{4}) : montrer qu'un champ vectoriel n'est pas conservateur

Utilisez l'indépendance du chemin pour montrer que le champ vectoriel (vecs F(x,y)=⟨x^2y,y+5⟩) n'est pas conservateur.

Solution

Nous pouvons indiquer que (vecs{F}) n'est pas conservateur en montrant que (vecs{F}) n'est pas indépendant du chemin. Nous le faisons en donnant deux chemins différents, (C_1) et (C_2), qui commencent tous les deux à ((0,0)) et se terminent à ((1,1)), et pourtant (int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r).

Soit (C_1) la courbe de paramétrisation (vecs r_1(t)=⟨t,,t⟩), (0≤t≤1) et soit (C_2) la courbe de paramétrisation (vecs r_2(t)=⟨t,,t^2⟩), (0≤t≤1) (Figure (PageIndex{7}).). Puis

[egin{align*} int_{C_1} vecs{F}·dvecs r &=int_0^1 vecs F(vecs r_1(t))·vecs r_1′(t), dt [4pt] &=int_0^1⟨t^3,t+5⟩·⟨1,1⟩,dt=int_0^1(t^3+t+5),dt[ 4pt] &={Big[dfrac{t^4}{4}+dfrac{t^2}{2}+5tBig]}_0^1=dfrac{23}{4} end{ aligner*}]

et

[egin{align*} int_{C_2}vecs F·dvecs r &=int_0^1 vecs F(vecs r_2(t))·vecs r_2′(t),dt [4pt] &=int_0^1⟨t^4,t^2+5⟩·⟨1,2t⟩,dt=int_0^1(t^4+2t^3+10t),dt [4pt] &={Gros[dfrac{t^5}{5}+dfrac{t^4}{2}+5t^2Big]}_0^1=dfrac{57}{10 }. end{align*}]

Puisque (int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r), la valeur d'une ligne intégrale de (vecs{F} ) dépend du chemin entre deux points donnés. Par conséquent, (vecs{F}) n'est pas indépendant du chemin, et (vecs{F}) n'est pas conservateur.

Exercice (PageIndex{4})

Montrer que (vecs{F}(x,y)=⟨xy,,x^2y^2⟩) n'est pas indépendant du chemin en considérant le segment de droite de ((0,0)) à ( (0,2)) et le morceau du graphe de (y=dfrac{x^2}{2}) qui va de ((0,0)) à ((0,2) ).

Indice

Calculer les intégrales de droite correspondantes.

Répondre

Si (C_1) et (C_2) représentent les deux courbes, alors [int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r. pas de numéro]

Champs vectoriels conservateurs et fonctions potentielles

Comme nous l'avons appris, le théorème fondamental des intégrales de droites dit que si (vecs{F}) est conservateur, alors le calcul de (int_C vecs F·dvecs r) comporte deux étapes : d'abord, trouver un fonction potentielle (f) pour (vecs{F}) et, en second lieu, calculez (f(P_1)−f(P_0)), où (P_1) est le point final de (C ) et (P_0) est le point de départ. Pour utiliser ce théorème pour un champ conservateur (vecs{F}), il faut pouvoir trouver une fonction potentielle (f) pour (vecs{F}). Par conséquent, nous devons répondre à la question suivante : Étant donné un champ de vecteurs conservateur (vecs{F}), comment trouver une fonction (f) telle que (vecs abla f=vecs{F} ) ? Avant de donner une méthode générale pour trouver une fonction potentielle, motivons la méthode avec un exemple.

Exemple (PageIndex{5}) : Recherche d'une fonction potentielle

Trouver une fonction potentielle pour (vecs F(x,y)=⟨2xy^3,3x^2y^2+cos(y)⟩), montrant ainsi que (vecs{F}) est conservatrice .

Solution

Supposons que (f(x,y)) soit une fonction potentielle pour (vecs{F}). Alors, (vecs abla f=vecs F), et donc

[f_x(x,y)=2xy^3 ; ; ext{et} ;; f_y(x,y)=3x^2y^2+cos y. pas de numéro]

L'intégration de l'équation (f_x(x,y)=2xy^3) par rapport à (x) donne l'équation

[f(x,y)=x^2y^3+h(y). pas de numéro]

Notez que puisque nous intégrons une fonction à deux variables par rapport à (x), nous devons ajouter une constante d'intégration qui est une constante par rapport à (x), mais peut toujours être une fonction de (y ). L'équation (f(x,y)=x^2y^3+h(y)) peut être confirmée en prenant la dérivée partielle par rapport à (x):

[dfrac{∂f}{∂x}=dfrac{∂}{∂x}(x^2y^3)+dfrac{∂}{∂x}(h(y))=2xy^3+ 0=2xy^3. pas de numéro]

Puisque (f) est une fonction potentielle pour (vecs{F}),

[f_y(x,y)=3x^2y^2+cos(y), onumber]

et donc

[3x^2y^2+g′(y)=3x^2y^2+cos(y). pas de numéro]

Ceci implique que (h′(y)=cos y), donc (h(y)=sin y+C). Par conséquent, quelconque fonction de la forme (f(x,y)=x^2y^3+sin(y)+C) est une fonction potentielle. Prenant en particulier (C=0) donne la fonction potentielle (f(x,y)=x^2y^3+sin(y)).

Pour vérifier que (f) est une fonction potentielle, notez que (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^3,3x^2y^2+cos y⟩=vecs F).

Exercice (PageIndex{5})

Trouvez une fonction potentielle pour (vecs{F}(x,y)=⟨e^xy^3+y,3e^xy^2+x⟩).

Indice

Suivez les étapes de l'exemple (PageIndex{5}).

Répondre

(f(x,y)=e^xy^3+xy)

La logique de l'exemple précédent s'étend à la recherche de la fonction potentielle pour tout champ vectoriel conservateur dans (ℝ^2). Ainsi, nous avons la stratégie de résolution de problèmes suivante pour trouver des fonctions potentielles :

STRATÉGIE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES : TROUVER UNE FONCTION POSSIBLE POUR UN CHAMP VECTEUR CONSERVATEUR (vecs{F}(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩)

  1. Intégrez (P) par rapport à (x). Cela donne une fonction de la forme (g(x,y)+h(y)), où (h(y)) est inconnu.
  2. Prenons la dérivée partielle de (g(x,y)+h(y)) par rapport à (y), ce qui donne la fonction (gy(x,y)+h′(y)) .
  3. Utilisez l'équation (gy(x,y)+h′(y)=Q(x,y)) pour trouver (h′(y)).
  4. Intégrez (h′(y)) pour trouver (h(y)).
  5. Toute fonction de la forme (f(x,y)=g(x,y)+h(y)+C), où (C) est une constante, est une fonction potentielle pour (vecs{ F}).

Nous pouvons adapter cette stratégie pour trouver des fonctions potentielles pour les champs de vecteurs dans (ℝ^3), comme le montre l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{6}): Recherche d'une fonction potentielle dans (ℝ^3)

Trouver une fonction potentielle pour (F(x,y,z)=⟨2xy,x^2+2yz^3,3y^2z^2+2z⟩), montrant ainsi que (vecs{F}) est conservateur.

Solution

Supposons que (f) soit une fonction potentielle. Alors, (vecs abla f= vecs{F}) et donc (f_x(x,y,z)=2xy). L'intégration de cette équation par rapport à (x) donne l'équation (f(x,y,z)=x^2y+g(y,z)) pour une fonction (g). Notez que, dans ce cas, la constante d'intégration par rapport à (x) est une fonction de (y) et (z).

Puisque (f) est une fonction potentielle,

[x^2+2yz^3=f_y(x,y,z)=x^2+g_y(y,z). pas de numéro]

Par conséquent,

[g_y(y,z)=2yz^3. pas de numéro]

L'intégration de cette fonction par rapport à (y) donne

[g(y,z)=y^2z^3+h(z) onumber]

pour une fonction (h(z)) de (z) seule. (Remarquez que, parce que nous savons que (g) est une fonction de seulement (y) et (z), nous n'avons pas besoin d'écrire (g(y,z)=y^2z^3 +h(x,z)).) Par conséquent,

[f(x,y,z)=x^2y+g(y,z)=x^2y+y^2z^3+h(z). pas de numéro]

Pour trouver (f), il ne nous reste plus qu'à trouver (h). Puisque (f) est une fonction potentielle,

[3y^2z^2+2z=g_z(y,z)=3y^2z^2+h′(z). pas de numéro]

Ceci implique que (h′(z)=2z), donc (h(z)=z^2+C). Laisser (C=0) donne la fonction potentielle

[f(x,y,z)=x^2y+y^2z^3+z^2. pas de numéro]

Pour vérifier que (f) est une fonction potentielle, notez que (vecs abla f(x,y,z)=⟨2xy,x^2+2yz^3,3y^2z^2+2z⟩= vecs F(x,y,z)).

Exercice (PageIndex{6})

Trouver une fonction potentielle pour (vecs{F}(x,y,z)=⟨12x^2,cos ycos z,1−sin ysin z⟩).

Indice

Suivant l'exemple (PageIndex{6}), commencez par intégrer par rapport à (x).

Répondre

(f(x,y,z)=4x^3+sin ycos z+z)

Nous pouvons appliquer le processus de recherche d'une fonction potentielle à une force gravitationnelle. Rappelons que, si un objet a une masse unitaire et est situé à l'origine, alors la force gravitationnelle en (ℝ^2) que l'objet exerce sur un autre objet de masse unitaire au point ((x,y)) est donné par le champ de vecteurs

(vecs F(x,y)=−Ggauchelangledfrac{x}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dfrac{y}{ {( x^2+y^2)}^{3/2} } ight angle),

où (G) est la constante gravitationnelle universelle. Dans l'exemple suivant, nous construisons une fonction potentielle pour (vecs{F}), confirmant ainsi ce que nous savons déjà : que la gravité est conservatrice.

Exemple (PageIndex{7}): Recherche d'une fonction potentielle

Trouver une fonction potentielle (f) pour (vecs{F}(x,y)=−Gleftlangledfrac{x}{ {(x^2+y^2)}^{3/ 2} },dfrac{y}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} } ight angle).

Solution

Supposons que (f) est une fonction potentielle. Alors, (vecs abla f= vecs{F}) et donc

[f_x(x,y)=dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }. onumber]

Pour intégrer cette fonction par rapport à (x), nous pouvons utiliser (u)-substitution. Si (u=x^2+y^2), alors (dfrac{du}{2}=x,dx), donc

[egin{align*} int dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dx &=int dfrac{−G}{2u ^{3/2}} ,du [4pt] &=dfrac{G}{sqrt{u}}+h(y) [4pt] &=dfrac{G}{sqrt{ x^2+y^2}}+h(y) end{align*}]

pour une fonction (h(y)). Par conséquent,

[f(x,y)=dfrac{G}{ sqrt{x^2+y^2}}+h(y). onumber]

Puisque (f) est une fonction potentielle pour (vecs{F}),

[f_y(x,y)=dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} } onumber].

Puisque (f(x,y)=dfrac{G}{ sqrt{x^2+y^2}}+h(y)), (f_y(x,y)) est également égal à ( dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }+h′(y)).

Par conséquent,

[dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }+h′(y)=dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2 )}^{3/2} }, onuméro]

ce qui implique que (h′(y)=0). Ainsi, nous pouvons prendre (h(y)) pour n'importe quelle constante ; en particulier, on peut laisser (h(y)=0). La fonction

[f(x,y)=dfrac{G}{ sqrt{x^2+y^2} } onumber]

est une fonction potentielle pour le champ gravitationnel (vecs{F}). Pour confirmer que (f) est une fonction potentielle, notez que

[egin{align*} vecs abla f(x,y) &=⟨−dfrac{1}{2} dfrac{G}{ {(x^2+y^2)}^{3 /2} } (2x),−dfrac{1}{2} dfrac{G}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }(2y)⟩ [4pt] &=⟨dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3 /2} }⟩[4pt] &=vecs F(x,y). end{align*}]

Exercice (PageIndex{7})

Trouver une fonction potentielle (f) pour la force gravitationnelle tridimensionnelle (vecs{F}(x,y,z)=leftlangledfrac{−Gx}{ {(x^2+y^ 2+z^2)}^{3/2} },dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2} },dfrac{−Gz }{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2} } ight angle).

Indice

Suivez la stratégie de résolution de problèmes.

Répondre

(f(x,y,z)=dfrac{G}{sqrt{x^2+y^2+z^2}})

Test d'un champ vectoriel

Jusqu'à présent, nous avons travaillé avec des champs de vecteurs que nous savons conservateurs, mais si on ne nous dit pas qu'un champ de vecteurs est conservateur, nous devons pouvoir tester s'il est conservateur. Rappelez-vous que, si (vecs{F}) est conservateur, alors (vecs{F}) a la propriété cross-partial (voir La propriété cross-partial des champs de vecteurs conservateurs). Autrement dit, si (vecs F=⟨P,Q,R⟩) est conservateur, alors (P_y=Q_x), (P_z=R_x) et (Q_z=R_y). Donc, si (vecs{F}) a la propriété cross-partial, alors (vecs{F}) est-il conservateur ? Si le domaine de (vecs{F}) est ouvert et simplement connecté, alors la réponse est oui.

Théorème : LE TEST CROSS-PARTIAL POUR LES CHAMPS CONSERVATEURS

Si (vecs{F}=⟨P,Q,R⟩) est un champ vectoriel sur une région ouverte et simplement connexe (D) et (P_y=Q_x), (P_z=R_x) , et (Q_z=R_y) tout au long de (D), alors (vecs{F}) est conservateur.

Bien qu'une preuve de ce théorème dépasse le cadre du texte, nous pouvons découvrir sa puissance avec quelques exemples. Plus tard, nous voyons pourquoi il est nécessaire que la région soit simplement connectée.

En combinant ce théorème avec la propriété cross-partial, nous pouvons déterminer si un champ de vecteurs donné est conservateur :

Théorème : PROPRIÉTÉ TRANSPARENTE DES CHAMPS CONSERVATEURS

Soit (vecs{F}=⟨P,Q,R⟩) un champ de vecteurs sur une région ouverte et simplement connexe (D). Alors (P_y=Q_x), (P_z=R_x), et (Q_z=R_y) tout au long de (D) si et seulement si (vecs{F}) est conservateur.

La version de ce théorème dans (ℝ^2) est également vraie. Si (vecs F(x,y)=⟨P,Q⟩) est un champ de vecteurs sur un domaine ouvert et simplement connexe dans (ℝ^2), alors (vecs F) est conservateur si et seulement si (P_y=Q_x).

Exemple (PageIndex{8}) : déterminer si un champ vectoriel est conservateur

Déterminez si le champ vectoriel (vecs F(x,y,z)=⟨xy^2z,x^2yz,z^2⟩) est conservateur.

Solution

Notez que le domaine de (vecs{F}) est tout de (ℝ^2) et (ℝ^3) est simplement connexe. Par conséquent, nous pouvons utiliser La propriété interpartielle des champs de vecteurs conservateurs pour déterminer si (vecs{F}) est conservateur. Laisser

[P(x,y,z)=xy^2z onumber]

[Q(x,y,z)=x^2yz onumber]

et

[R(x,y,z)=z^2. onumber]

Puisque (Q_z(x,y,z)=x^2y) et (R_y(x,y,z)=0), le champ vectoriel n'est pas conservateur.

Exemple (PageIndex{9}) : déterminer si un champ vectoriel est conservateur

Déterminer le champ de vecteurs (vecs{F}(x,y)=⟨xln (y), ,dfrac{x^2}{2y}⟩) est conservateur.

Solution

Notez que le domaine de (vecs{F}) est la partie de (ℝ^2) dans laquelle (y>0). Ainsi, le domaine de (vecs{F}) fait partie d'un plan au-dessus de l'axe (x), et ce domaine est simplement connexe (il n'y a pas de trous dans cette région et cette région est connexe). Laisser

[P(x,y)=xln (y) ;; ext{et} ;; Q(x,y)=dfrac{x^2}{2y}. pas de numéro]

Alors (P_y(x,y)=dfrac{x}{y}=Q_x(x,y)) et donc (vecs{F}) est conservateur.

Exercice (PageIndex{8})

Déterminez si (vecs{F}(x,y)=⟨sin xcos y,,cos xsin y⟩) est conservateur.

Indice

Utiliser La propriété interpartielle des champs de vecteurs conservateurs de la section précédente.

Répondre

C'est conservateur.

Lors de l'utilisation La propriété interpartielle des champs de vecteurs conservateurs, il est important de se rappeler qu'un théorème est un outil, et comme tout outil, il ne peut être appliqué que dans les bonnes conditions. Dans le cas de La propriété interpartielle des champs de vecteurs conservateurs, le théorème ne peut être appliqué que si le domaine du champ de vecteurs est simplement connexe.

Pour voir ce qui peut mal se passer lors d'une mauvaise application du théorème, considérons le champ vectoriel de l'exemple (PageIndex{4}):

[vecs F(x,y)=dfrac{y}{x^2+y^2},hat{mathbf i}+dfrac{−x}{x^2+y^2} ,hat{mathbf j}.]

Ce champ de vecteurs satisfait la propriété croisée partielle, puisque

[dfrac{∂}{∂y}left(dfrac{y}{x^2+y^2} ight)=dfrac{(x^2+y^2)−y(2y)} { {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}]

et

[dfrac{∂}{∂x}left(dfrac{−x}{x^2+y^2} ight)=dfrac{−(x^2+y^2)+x(2x)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}.]

Since (vecs{F}) satisfies the cross-partial property, we might be tempted to conclude that (vecs{F}) is conservative. However, (vecs{F}) is not conservative. To see this, let

[vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the upper half of a unit circle oriented counterclockwise (denote this (C_1)) and let

[vecs s(t)=⟨cos t,−sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the lower half of a unit circle oriented clockwise (denote this (C_2)). Notice that (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint. Since ({sin}^2 t+{cos}^2 t=1),

[vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t)=⟨sin(t),−cos(t)⟩ cdot ⟨−sin(t), cos(t)⟩=−1]

et

[vecs F(vecs s(t))·vecs s′(t)=⟨−sin t,−cos t⟩·⟨−sin t,−cos t⟩={sin}^2 t+{cos}^2t=1.]

Par conséquent,

[int_{C_1} vecs F·dvecs r=int_0^{pi}−1,dt=−pi]

et

[int_{C_2}vecs F·dvecs r=int_0^{pi} 1,dt=pi.]

Thus, (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint, but (int_{C_1} vecs F·dvecs r≠int_{C_2} vecs F·dvecs r). Therefore, (vecs{F}) is not independent of path and (vecs{F}) is not conservative.

To summarize: (vecs{F}) satisfies the cross-partial property and yet (vecs{F}) is not conservative. What went wrong? Does this contradict The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields? The issue is that the domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^2) except for the origin. In other words, the domain of (vecs{F}) has a hole at the origin, and therefore the domain is not simply connected. Since the domain is not simply connected, The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields does not apply to (vecs{F}).

We close this section by looking at an example of the usefulness of the Fundamental Theorem for Line Integrals. Now that we can test whether a vector field is conservative, we can always decide whether the Fundamental Theorem for Line Integrals can be used to calculate a vector line integral. If we are asked to calculate an integral of the form (int_C vecs F·dvecs r), then our first question should be: Is (vecs{F}) conservative? If the answer is yes, then we should find a potential function and use the Fundamental Theorem for Line Integrals to calculate the integral. If the answer is no, then the Fundamental Theorem for Line Integrals cannot help us and we have to use other methods, such as using the method from the previous section (using (vecs F(vecs r(t))) and (vecs r'(t))).

Example (PageIndex{10}): Using the Fundamental Theorem for Line Integrals

Calculate line integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs F(x,y,z)=⟨2xe^yz+e^xz,,x^2e^yz,,x^2e^y+e^x⟩) and (C) is any smooth curve that goes from the origin to ((1,1,1)).

Solution

Before trying to compute the integral, we need to determine whether (vecs{F}) is conservative and whether the domain of (vecs{F}) is simply connected. The domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^3), which is connected and has no holes. Therefore, the domain of (vecs{F}) is simply connected. Laisser

[P(x,y,z)=2xe^yz+e^xz, ;; Q(x,y,z)=x^2e^yz, ;; ext{and} ;; R(x,y,z)=x^2e^y+e^x onumber]

so that (vecs{F}(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩). Since the domain of (vecs{F}) is simply connected, we can check the cross partials to determine whether (vecs{F}) is conservative. Noter que

[egin{align*} P_y(x,y,z) &=2xe^yz=Q_x(x,y,z) [4pt]P_z(x,y,z) &=2xe^y+e^x=R_x(x,y,z) [4pt] Q_z(x,y,z) &=x^2e^y=R_y(x,y,z).end{align*}]

Therefore, (vecs{F}) is conservative.

To evaluate (int_C vecs F·dvecs r) using the Fundamental Theorem for Line Integrals, we need to find a potential function (f) for (vecs{F}). Let (f) be a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f=vecs F), and therefore (f_x(x,y,z)=2xe^yz+e^xz). Integrating this equation with respect to (x) gives (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(y,z)) for some function (h). Differentiating this equation with respect to (y) gives (x^2e^yz+h_y(y,z)=Q(x,y,z)=x^2e^yz), which implies that (h_y(y,z)=0). Therefore, (h) is a function of (z) only, and (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(z)). To find (h), note that (f_z=x^2e^y+e^x+h′(z)=R=x^2e^y+e^x). Therefore, (h′(z)=0) and we can take (h(z)=0). A potential function for (vecs{F}) is (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz).

Now that we have a potential function, we can use the Fundamental Theorem for Line Integrals to evaluate the integral. By the theorem,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(1,1,1)−f(0,0,0)[4pt] &=2e. end{align*}]

Analyse

Notice that if we hadn’t recognized that (vecs{F}) is conservative, we would have had to parameterize (C) and use the method from the previous section. Since curve (C) is unknown, using the Fundamental Theorem for Line Integrals is much simpler.

Exercice (PageIndex{9})

Calculate integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs{F}(x,y)=⟨sin xsin y, 5−cos xcos y⟩) and (C) is a semicircle with starting point ((0,pi)) and endpoint ((0,−pi)).

Indice

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Répondre

(−10pi)

Example (PageIndex{11}): Work Done on a Particle

Let (vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) be a force field. Suppose that a particle begins its motion at the origin and ends its movement at any point in a plane that is not on the (x)-axis or the (y)-axis. Furthermore, the particle’s motion can be modeled with a smooth parameterization. Show that (vecs{F}) does positive work on the particle.

Solution

We show that (vecs{F}) does positive work on the particle by showing that (vecs{F}) is conservative and then by using the Fundamental Theorem for Line Integrals.

To show that (vecs{F}) is conservative, suppose (f(x,y)) were a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f(x,y)=vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) and therefore (f_x(x,y)=2xy^2) and (f_y(x,y)=2x^2y). The equation (fx(x,y)=2xy^2) implies that (f(x,y)=x^2y^2+h(y)). Deriving both sides with respect to (y) yields (f_y(x,y)=2x^2y+h′(y)). Therefore, (h′(y)=0) and we can take (h(y)=0).

If (f(x,y)=x^2y^2), then note that (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩=vecs F), and therefore (f) is a potential function for (vecs{F}).

Let ((a,b)) be the point at which the particle stops is motion, and let (C) denote the curve that models the particle’s motion. The work done by (vecs{F}) on the particle is (int_C vecs{F}·dvecs{r}). By the Fundamental Theorem for Line Integrals,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C abla f·dvecs r [4pt] &=f(a,b)−f(0,0)[4pt] &=a^2b^2. end{align*}]

Since (a≠0) and (b≠0), by assumption, (a^2b^2>0). Therefore, (int_C vecs F·dvecs r>0), and (vecs{F}) does positive work on the particle.

Analyse

Notice that this problem would be much more difficult without using the Fundamental Theorem for Line Integrals. To apply the tools we have learned, we would need to give a curve parameterization and use the method from the previous section. Since the path of motion (C) can be as exotic as we wish (as long as it is smooth), it can be very difficult to parameterize the motion of the particle.

Exercice (PageIndex{10})

Let (vecs{F}(x,y)=⟨4x^3y^4,4x^4y^3⟩), and suppose that a particle moves from point ((4,4)) to ((1,1)) along any smooth curve. Is the work done by (vecs{F}) on the particle positive, negative, or zero?

Indice

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Répondre

Négatif

Concepts clés

  • The theorems in this section require curves that are closed, simple, or both, and regions that are connected or simply connected.
  • The line integral of a conservative vector field can be calculated using the Fundamental Theorem for Line Integrals. This theorem is a generalization of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions. Using this theorem usually makes the calculation of the line integral easier.
  • Conservative fields are independent of path. The line integral of a conservative field depends only on the value of the potential function at the endpoints of the domain curve.
  • Given vector field (vecs{F}), we can test whether (vecs{F}) is conservative by using the cross-partial property. If (vecs{F}) has the cross-partial property and the domain is simply connected, then (vecs{F}) is conservative (and thus has a potential function). If (vecs{F}) is conservative, we can find a potential function by using the Problem-Solving Strategy.
  • The circulation of a conservative vector field on a simply connected domain over a closed curve is zero.

Équations clés

  • Fundamental Theorem for Line Integrals
    (displaystyle int_C vecs abla f·dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
  • Circulation of a conservative field over curve C that encloses a simply connected region
    (displaystyle oint_C vecs abla f·dvecs r=0)

Glossaire

closed curve
a curve that begins and ends at the same point
connected region
a region in which any two points can be connected by a path with a trace contained entirely inside the region
Fundamental Theorem for Line Integrals
the value of line integral (displaystyle int_Cvecs ∇f⋅dvecs r) depends only on the value of (f) at the endpoints of (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
independence of path
a vector field (vecs{F}) has path independence if (displaystyle int_{C_1} vecs F⋅dvecs r=displaystyle int_{C_2} vecs F⋅dvecs r) for any curves (C_1) and (C_2) in the domain of (vecs{F}) with the same initial points and terminal points
simple curve
a curve that does not cross itself
simply connected region
a region that is connected and has the property that any closed curve that lies entirely inside the region encompasses points that are entirely inside the region


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