Des articles

3.8 : Multiplier et diviser des nombres entiers (partie 2) - Mathématiques


Évaluer les expressions de variable avec des entiers

Nous pouvons maintenant évaluer des expressions qui incluent la multiplication et la division avec des nombres entiers. N'oubliez pas que pour évaluer une expression, substituez les nombres à la place des variables, puis simplifiez.

Exemple (PageIndex{10}): évaluer

Évaluez (2x^2 − 3x + 8) lorsque (x = −4).

Solution

Remplacez ( extcolor{red}{-4}) par x.(2( extcolor{red}{-4})^{2} - 3( extcolor{red}{-4}) + 8)
Simplifier les exposants.(2(16) - 3(-4) + 8)
Multiplier.(32 - (-12) + 8)
Soustraire.(44 + 8)
Ajouter.(52)

Gardez à l'esprit que lorsque nous substituons (−4) à (x), nous utilisons des parenthèses pour montrer la multiplication. Sans parenthèses, cela ressemblerait à (2 • −4^2 − 3 • −4 + ​​8).

Exercice (PageIndex{19})

Évaluer : (3x^2 − 2x + 6) lorsque (x = −3)

Répondre

(39)

Exercice (PageIndex{20})

Évaluer : (4x^2-x-5) lorsque (x = −2)

Répondre

(13)

Exemple (PageIndex{11}): évaluer

Évaluer (3x + 4y − 6) lorsque (x = −1) et (y = 2).

Solution

Remplacez x = ( extcolor{red}{-1}) et y = ( extcolor{blue}{2}).(3( extcolor{red}{-1}) + 4( extcolor{blue}{2}) - 6)
Multiplier.(-3 + 8 - 6)
Simplifier.(-1)

Exercice (PageIndex{21})

Évaluer : (7x + 6y − 12) lorsque (x = −2) et (y = 3)

Répondre

(-8)

Exercice (PageIndex{22})

Évaluer : (8x − 6y + 13) lorsque (x = −3) et (y = −5)

Répondre

(19)

Traduire des phrases de mots en expressions algébriques

Encore une fois, tous nos travaux antérieurs de traduction de mots en algèbre sont transférés en phrases qui incluent à la fois la multiplication et la division d'entiers. Rappelez-vous que le mot clé pour la multiplication est produit et pour la division est quotient.

Exemple (PageIndex{12}): traduire

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le produit de (−2) et (14).

Solution

Le mot produit nous dit de multiplier.

Traduire.(−2)(14)
Simplifier.−28

Exercice (PageIndex{23})

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le produit de (−5) et (12)

Répondre

(-5(12)=-60)

Exercice (PageIndex{24})

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le produit de (8) et (−13)

Répondre

(8(-13)=-104)

Exemple (PageIndex{13})

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le quotient de (−56) et (−7).

Solution

Le mot quotient nous dit de diviser.

Traduire.−56 ÷ (−7)
Simplifier.8

Exercice (PageIndex{25})

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le quotient de (−63) et (−9)

Répondre

(-63 div -9 = 7)

Exercice (PageIndex{26})

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le quotient de (−72) et (−9)

Répondre

(-72 div -9 = 8)

Concepts clés

  • Multiplication de nombres signés
    • Pour déterminer le signe du produit de deux nombres signés :
      Mêmes signesProduit
      Deux points positifs
      Deux points négatifs
      Positif
      Positif
      Différents signesProduit
      Positif négatif
      Négatif positif
      Négatif
      Négatif
  • Division des nombres signés
    • Pour déterminer le signe du quotient de deux nombres signés :
      Mêmes signesQuotient
      Deux points positifs
      Deux points négatifs
      Positif
      Positif
      Différents signesQuotient
      Positif négatif
      Négatif positif
      Négatif
      Négatif
  • Multiplication par (-1)
    • Multiplier un nombre par (-1) donne son contraire : (-1a=-a)
  • Division par (-1)
    • Diviser un nombre par (-1) donne son contraire : (a div (-1) = -a)

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Multiplier des nombres entiers

Dans les exercices suivants, multipliez chaque paire d'entiers.

  1. −4 • 8
  2. −3 • 9
  3. −5(7)
  4. −8(6)
  5. −18(−2)
  6. −10(−6)
  7. 9(−7)
  8. 13(−5)
  9. −1 • 6
  10. −1 • 3
  11. −1(−14)
  12. −1(−19)

Diviser des nombres entiers

Dans les exercices suivants, divisez.

  1. −24 ÷ 6
  2. −28 ÷ 7
  3. 56 ÷ (−7)
  4. 35 ÷ (−7)
  5. −52 ÷ (−4)
  6. −84 ÷ (−6)
  7. −180 ÷ 15
  8. −192 ÷ 12
  9. 49 ÷ (−1)
  10. 62 ÷ (−1)

Simplifier les expressions avec des entiers

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression.

  1. 5(−6) + 7(−2)−3
  2. 8(−4) + 5(−4)−6
  3. −8(−2)−3(−9)
  4. −7(−4)−5(−3)
  5. (−5)3
  6. (−4)3
  7. (−2)6
  8. (−3)5
  9. −42
  10. −62
  11. −3(−5)(6)
  12. −4(−6)(3)
  13. −4 • 2 • 11
  14. −5 • 3 • 10
  15. (8 − 11)(9 − 12)
  16. (6 − 11)(8 − 13)
  17. 26 − 3(2 − 7)
  18. 23 − 2(4 − 6)
  19. −10(−4) ÷ (−8)
  20. −8(−6) ÷ (−4)
  21. 65 ÷ (−5) + (−28) ÷ (−7)
  22. 52 ÷ (−4) + (−32) ÷ (−8)
  23. 9 − 2[3 − 8(−2)]
  24. 11 − 3[7 − 4(−2)]
  25. (−3)2−24 ÷ (8 − 2)
  26. (−4)2 − 32 ÷ (12 − 4)

Évaluer les expressions de variable avec des entiers

Dans les exercices suivants, évaluez chaque expression.

  1. -2x + 17 lorsque (a) x = 8 (b) x = -8
  2. −5y + 14 quand (a) y = 9 (b) y = −9
  3. 10 − 3 m lorsque (a) m = 5 (b) m = −5
  4. 18 − 4n quand (a) n = 3 (b) n = −3
  5. p2 − 5p + 5 lorsque p = −1
  6. q2 − 2q + 9 quand q = −2
  7. 2w2 − 3w + 7 lorsque w = −2
  8. 3u2 − 4u + 5 quand u = −3
  9. 6x − 5y + 15 lorsque x = 3 et y = −1
  10. 3p − 2q + 9 lorsque p = 8 et q = −2
  11. 9a − 2b − 8 lorsque a = −6 et b = −3
  12. 7m − 4n − 2 lorsque m = −4 et n = −9

Traduire des phrases de mots en expressions algébriques

Dans les exercices suivants, traduisez en une expression algébrique et simplifiez si possible.

  1. Le produit de -3 et 15
  2. Le produit de -4 et 16
  3. Le quotient de −60 et −20
  4. Le quotient de -40 et -20
  5. Le quotient de −6 et la somme de a et b
  6. Le quotient de -7 et la somme de m et n
  7. Le produit de -10 et la différence de p et q
  8. Le produit de -13 et la différence de c et d

Mathématiques de tous les jours

  1. Bourse Javier possède 300 actions dans une société. Mardi, le cours de l'action a chuté de 12 $ par action. Quel a été l'effet total sur le portefeuille de Javier ?
  2. Perte de poids Au cours de la première semaine d'un programme de régime, huit femmes ont perdu en moyenne 3 livres chacune. Quel a été le changement de poids total pour les huit femmes?

Exercices d'écriture

  1. En vos propres termes, énoncez les règles de multiplication de deux nombres entiers.
  2. En vos propres termes, énoncez les règles de division de deux nombres entiers.
  3. Pourquoi -24 ≠ (−2)4 ?
  4. Pourquoi -42 ≠ (−4)2 ?

Auto contrôle

(a) Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

(b) Sur une échelle de 1 à 10, comment évalueriez-vous votre maîtrise de cette section à la lumière de vos réponses sur la liste de contrôle ? Comment pouvez-vous améliorer cela ?


3.4 Multiplier et diviser des entiers

Étant donné que la multiplication est un raccourci mathématique pour l'addition répétée, notre modèle de compteur peut facilement être appliqué pour montrer la multiplication d'entiers. Regardons ce modèle concret pour voir quels modèles nous remarquons. Nous utiliserons les mêmes exemples que nous avons utilisés pour l'addition et la soustraction.

Nous nous souvenons que a · b a · b signifie ajouter a , b a , b fois. Ici, nous utilisons le modèle illustré à la figure 3.19 juste pour nous aider à découvrir le modèle.

Notez que pour la multiplication de deux nombres signés , lorsque les signes sont les mêmes, le produit est positif et lorsque les signes sont différents, le produit est négatif.

Multiplication de nombres signés

Le signe du produit de deux nombres dépend de leurs signes.

Exemple 3.47

Multipliez chacun des éléments suivants :

Solution

Chaque fois que nous multiplions un nombre par −1 , −1 , nous obtenons son contraire.

Multiplication par -1 -1

Multiplier un nombre par -1 -1 donne son contraire.

Exemple 3.48

Multipliez chacun des éléments suivants :

Solution

Diviser des nombres entiers

La division des nombres signés suit les mêmes règles que la multiplication. Lorsque les signes sont les mêmes, le quotient est positif et lorsque les signes sont différents, le quotient est négatif.

Division des nombres signés

Le signe du quotient de deux nombres dépend de leurs signes.

N'oubliez pas que vous pouvez toujours vérifier la réponse à un problème de division en multipliant.

Exemple 3.49

Divisez chacun des éléments suivants :

Solution

Lorsque nous divisons un nombre par −1 −1 nous obtenons son contraire.

Division par -1 -1

Exemple 3.50

Divisez chacun des éléments suivants :

Solution

Notez que les signes étaient les mêmes, donc le quotient était positif.

Simplifier les expressions avec des entiers

Nous allons maintenant simplifier les expressions qui utilisent les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division) avec des entiers. N'oubliez pas de suivre l'ordre des opérations.

Exemple 3.51

Solution

Nous utilisons l'ordre des opérations. Multipliez d'abord, puis ajoutez et soustrayez de gauche à droite.

Exemple 3.52

Solution

L'exposant indique combien de fois multiplier la base.

Exemple 3.53

Solution

Selon l'ordre des opérations, nous simplifions d'abord entre parenthèses. Ensuite, nous multiplierons et enfin nous soustrairons.

Exemple 3.54

Solution

Nous simplifions d'abord l'exposant, puis multiplions et divisons.

Exemple 3.55

Solution

Nous allons d'abord multiplier et diviser de gauche à droite. Ensuite, nous ajouterons.

Évaluer les expressions de variable avec des entiers

Nous pouvons maintenant évaluer des expressions qui incluent la multiplication et la division avec des nombres entiers. N'oubliez pas que pour évaluer une expression, substituez les nombres à la place des variables, puis simplifiez.

Exemple 3.56

Évaluer 2 x 2 − 3 x + 8 lorsque x = −4 . Évaluer 2 x 2 − 3 x + 8 lorsque x = −4 .

Solution

Exemple 3.57

Évaluez 3 x + 4 y − 6 lorsque x = −1 et y = 2 . Évaluez 3 x + 4 y − 6 lorsque x = −1 et y = 2 .

Solution

7 x + 6 y − 12 quand x = −2 et y = 3 7 x + 6 y − 12 quand x = −2 et y = 3

8 x − 6 y + 13 lorsque x = −3 et y = −5 8 x − 6 y + 13 lorsque x = −3 et y = −5

Traduire des phrases de mots en expressions algébriques

Encore une fois, tous nos travaux antérieurs de traduction de mots en algèbre sont transférés en phrases qui incluent à la fois la multiplication et la division d'entiers. Rappelez-vous que le mot clé pour la multiplication est produit et pour la division est quotient.

Exemple 3.58

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le produit de -2 -2 et 14 . 14 .

Solution

Le mot produit nous dit de multiplier.

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible :

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible :

Exemple 3.59

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible : le quotient de -56 -56 et -7 . -7 .

Solution

Le mot quotient nous dit de diviser.

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible :

Traduire en une expression algébrique et simplifier si possible :

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Section 3.4 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Multiplier des nombres entiers

Dans les exercices suivants, multipliez chaque paire d'entiers.

Diviser des nombres entiers

Dans les exercices suivants, divisez.

Simplifier les expressions avec des entiers

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression.

Évaluer les expressions de variable avec des entiers

Dans les exercices suivants, évaluez chaque expression.

Traduire des phrases de mots en expressions algébriques

Dans les exercices suivants, traduisez en une expression algébrique et simplifiez si possible.

Mathématiques de tous les jours

Perte de poids Au cours de la première semaine d'un programme de régime, huit femmes ont perdu en moyenne 3 livres et 3 livres chacune. Quel a été le changement de poids total pour les huit femmes?

Exercices d'écriture

En vos propres termes, énoncez les règles de multiplication de deux nombres entiers.

En vos propres termes, énoncez les règles de division de deux nombres entiers.

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Sur une échelle de 1 à 10, comment évalueriez-vous votre maîtrise de cette section à la lumière de vos réponses sur la liste de contrôle ? Comment pouvez-vous améliorer cela ?

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    • Auteurs : Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Préalgèbre 2e
    • Date de parution : 11 mars 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/3-4-multiply-and-divide-integers

    © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    Résoudre des problèmes en multipliant et en divisant des fractions et des nombres mixtes

    Exemple 1 : S'il faut 5/6 mètres de tissu pour faire une robe, combien de mètres faut-il pour faire 8 robes ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons convertir le nombre entier en une fraction impropre. Ensuite, nous multiplierons les deux fractions.

    Réponse : Il faudra 6 et 2/3 mètres de tissu pour faire 8 robes.

    Exemple 2 : Renée avait une boîte de cupcakes, dont elle a donné 1/2 à son ami Juan. Juan a donné 3/4 de sa part à son amie Elena. Quelle fraction de la boîte de cupcakes d'origine Elena a-t-elle reçue ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons multiplier ces deux fractions.

    Réponse : Elena a reçu 3/8 de la boîte originale de cupcakes.

    Exemple 3 : La classe de mathématiques de Nina mesure 6 et 4/5 mètres de long et 1 et 3/8 mètres de large. Quelle est la superficie de la classe ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons multiplier ces nombres mixtes. Mais nous devons d'abord convertir chaque nombre fractionnaire en une fraction impropre.

    Réponse : La superficie de la salle de classe est de 9 et 7/20 mètres carrés.

    Exemple 4 : Une barre de chocolat mesure 3/4 de pouce de long. S'il est divisé en morceaux de 3/8 de pouce de long, combien de morceaux cela fait-il ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons diviser la première fraction par la seconde.

    Exemple 5 : Un électricien a un morceau de fil de 4 et 3/8 centimètres de long. Elle divise le fil en morceaux de 1 et 2/3 centimètres de long. Combien de pièces a-t-elle ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons diviser le premier nombre mixte par le second.

    Réponse : L'électricien a 2 et 5/8 morceaux de fil.

    Exemple 6 : Un entrepôt a 1 et 3/10 mètres de ruban. S'ils divisent le ruban en morceaux de 5/8 mètres de long, combien de morceaux auront-ils ?

    Analyse : Pour résoudre ce problème, nous allons diviser le premier nombre mixte par le second. Tout d'abord, nous allons convertir chaque nombre fractionnaire en une fraction impropre.

    Réponse : L'entrepôt aura 2 et 2/25 morceaux de ruban adhésif.

    Résumé : Dans cette leçon, nous avons appris à résoudre des problèmes de mots impliquant la multiplication et la division de fractions et de nombres fractionnaires.

    Des exercices

    Instructions : soustrayez les nombres mixtes dans chaque exercice ci-dessous. Assurez-vous de simplifier votre résultat, si nécessaire. Cliquez une fois dans une BOÎTE DE RÉPONSE et tapez votre réponse puis cliquez sur ENTRER. Après avoir cliqué sur ENTRÉE, un message apparaîtra dans la BOÎTE DE RÉSULTATS pour indiquer si votre réponse est correcte ou incorrecte. Pour recommencer, cliquez sur EFFACER.

    Remarque : Pour écrire le nombre mixte quatre et deux tiers, entrez 4, un espace, puis 2/3 dans le formulaire.


    Multiplier plus de deux nombres négatifs

    S'il y a un même nombre (0, 2, 4, . ) de facteurs négatifs à multiplier, le produit est positif. S'il y a un impair nombre (1, 3, 5, . ) de facteurs négatifs, le produit est négatif.

    Trouver 3(6)(2)(3)(1).

    Multipliez les valeurs absolues des nombres.

    Comptez le nombre de facteurs négatifs. Il y en a trois (−6, −3, −1).

    Comme il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.

    Incorrect. Vous avez multiplié 30 et 5 et oublié d'ajuster la virgule décimale. Vous avez également utilisé le mauvais signe. Pour multiplier 30 et 0,5, multipliez 30 et 5 pour obtenir 150, puis placez la décimale. Étant donné que 0,5 a un chiffre à droite de la virgule décimale, la virgule décimale dans le produit doit être placée avec un chiffre à sa droite, pour obtenir 15. Les deux facteurs d'origine sont tous deux négatifs. Comme il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif. La bonne réponse est 15.

    Incorrect. Vous avez correctement multiplié 30 et 0,5 pour obtenir 15, mais les deux facteurs d'origine sont tous les deux négatifs. Comme il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif. La bonne réponse est 15.

    Corriger. Tout d'abord, multipliez 30 et 0,5. Multipliez 30 et 5 pour obtenir 150, puis placez la virgule décimale. Étant donné que 0,5 a un chiffre à droite de la virgule décimale, la virgule décimale du produit doit être placée avec un chiffre à sa droite, pour obtenir 15. Les deux facteurs d'origine sont tous deux négatifs. Comme il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.

    Incorrect. Tout d'abord, multipliez 30 et 0,5. Multipliez 30 et 5 pour obtenir 150, puis placez la virgule décimale. Étant donné que 0,5 a un chiffre à droite de la virgule décimale, la virgule décimale dans le produit doit être placée avec un chiffre à sa droite pour obtenir 15. Les deux facteurs d'origine sont tous deux négatifs. Comme il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif. La bonne réponse est 15.

    L'identité multiplicative

    Il y a un nombre qui peut être ajouté, encore et encore, sans jamais changer la somme. Ce nombre, 0, est appelé l'identité additive.

    Il y a aussi un nombre qui peut être inclus comme facteur autant de fois que vous le souhaitez, et cela ne changera jamais la valeur du produit. Ce nombre, 1, est appelé l'identité multiplicative.

    X (1) = X (1)X = X

    le propriété d'identité de 1 stipule que X(1) = X et 1)X = X.

    Vous pouvez le voir de cette façon : Multiplier par 1 permet à l'autre nombre de garder son identité.

    Qu'est-ce que 1(y), lorsque oui = −3?

    Corriger. Substituer -3 pour oui donne 1(−3), et 1(−3) = −3.

    Incorrect. Le produit d'un nombre et 1 est l'autre nombre, pas 1. En remplaçant -3 pour oui donne 1(−3), et 1(−3) = −3.

    Incorrect. La propriété d'identité dit 1 · tout nombre = ce nombre. Substituer -3 pour oui donne 1(−3), et 1(−3) = −3.

    Inverses multiplicatives

    Vous vous souviendrez peut-être que deux nombres sont des inverses additifs si leur somme est 0, l'identité additive.

    3 et −3 sont des inverses additifs car 3 + (−3) = 0.

    Deux nombres sont inverses multiplicatifs si leur produit est 1, l'identité multiplicative.

    et sont des inverses multiplicatifs parce que .

    Vous vous souvenez peut-être que lorsque vous divisez des fractions, vous multipliez par le réciproque. Réciproque est un autre nom pour l'inverse multiplicatif (tout comme opposé est un autre nom pour l'inverse additif).

    Un moyen facile de trouver l'inverse multiplicatif consiste simplement à "retourner" le numérateur et le dénominateur comme vous l'avez fait pour trouver l'inverse. Voici quelques exemples:


    • Domicile
    • Ordre des opérations (1-4)
    • Propriétés des nombres (1-5)
    • Traduire des mots en mathématiques (1-7)
    • Simplifier les expressions algébriques (1-8)
    • Équations et leurs solutions (1-9)
    • Résoudre des équations par addition ou soustraction (1-10)
    • Résoudre des équations en multipliant et en divisant (1-1.
    • Entiers (2-1)
    • Ajout d'entiers (2-2)
    • Soustraction d'entiers (2-3)
    • Multiplication et division d'entiers (2-4)
    • Résolution d'équations contenant des entiers (2-5)
    • Fractions équivalentes et décimales (2-10)
    • Comparer et ordonner des nombres rationnels (2-11)
    • Ajouter et soustraire des décimales (3-2)
    • Multiplication de décimales (3-3)
    • Division de décimales (3-4)
    • Résolution d'équations contenant des décimales (3-5)
    • Addition et soustraction de fractions (3-7)
    • Addition et soustraction de nombres mixtes (3-8)
    • Multiplication de fractions et nombres mixtes (3-9)
    • Division de fractions et de nombres mixtes (3-10)
    • Résolution d'équations contenant des fractions (3-11)
    • Tarifs (4-2)
    • Tarifs (4-2) Vidéos
    • Identifier et écrire les proportions (4-3)
    • Résolution des proportions (4-4)
    • Chiffres et proportions similaires (4-8)
    • Utilisation de figures similaires (4-9)
    • Dessins à l'échelle et modèles à l'échelle (4-10)
    • Pente et taux de variation (5-6)
    • Variation directe (5-8)
    • Estimation avec des pourcentages (6-3)
    • Pourcentage d'un nombre (6-4)
    • Résoudre les problèmes de pourcentage (6-5)
    • Pourcentage de changement (6-6)
    • Intérêt simple (6-7)
    • Moyenne, médiane, mode, plage et valeur aberrante (7-2)
    • Graphiques à barres et histogrammes (7-3)
    • Parcelles à boîtes et à moustaches (7-5)
    • Populations et échantillons (7-8)
    • Classification des angles (8-2)
    • Classer les triangles (8-6)
    • Classer les quadrilatères (8-7)
    • Angles dans les polygones (8-8)
    • Chiffres congruents (8-9)
    • Périmètre et circonférence (9-2)
    • Aire des parallélogrammes (9-3)
    • Aire des triangles et trapèzes (9-4)
    • Aire de cercles (9-5)
    • Zone de figures irrégulières (9-6)
    • Carrés et racines carrées (9-7)
    • Volume de prismes et cylindres (10-2)
    • Superficie des prismes et des cylindres (10-4)
    • Probabilité (11-1)
    • Probabilité expérimentale (11-2)
    • Exemples d'espaces (11-3)
    • Probabilité théorique (11-4)
    • Faire des prédictions (11-5)
    • Probabilité d'événements indépendants et dépendants (1.
    • Combinaisons (11-7)
    • Permutation (11-8)
    • Résolution d'équations en deux étapes (12-1)
    • Résolution d'équations à plusieurs étapes (12-2)
    • Résoudre les inégalités par addition ou soustraction (12-.
    • Résoudre les inégalités en multipliant ou en divisant (1.
    • Résoudre les inégalités en plusieurs étapes (12-7)

    Addition et soustraction de nombres mixtes (3-8)

    Ajouter et soustraire des nombres mixtes

    Plus petit dénominateur commun (LCD) - le plus petit multiple commun des dénominateurs de deux fractions ou plus.

    Nombres mixtes - Un nombre avec une partie entière et une partie fractionnaire.

    Forme la plus simple - Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun supérieur à 1.


    14 commentaires

    Dans les mesures, les fractions apparaissent chaque fois que les unités ne sont pas assez petites pour exprimer des quantités en nombres entiers. Par exemple, cinq quarts de dollars vous achèteront exactement autant de bouillie qu'un dollar et un quart. Un dollar et demi représente exactement la même quantité que trois demi-dollars ou six quarts de dollars.

    Les fractions sont inévitables et tôt ou tard, nous devons tous apprendre à travailler avec des fractions. L'utilisation mathématique du mot fraction a une connotation quotidienne très claire en tant que partie d'un objet plus grand. Il serait impensable de nos jours de simplement introduire des fractions comme une paire de nombres et de postuler leurs propriétés de base. Pourtant, pour exprimer des fractions, il faut une paire de nombres avec une signification et une intuition qui leur sont attachées.

    Lors de la multiplication de fractions, les numérateurs (nombres supérieurs) sont multipliés ensemble et les dénominateurs (nombres inférieurs) sont multipliés ensemble. Pour diviser des fractions, réécrivez le problème en multipliant par l'inverse (inverse multiplicatif) du diviseur. Pour ajouter des fractions qui ont le même dénominateur ou un dénominateur commun, ajoutez simplement les numérateurs et utilisez le dénominateur commun. Cependant, les fractions ne peuvent pas être additionnées tant qu'elles ne sont pas écrites avec un dénominateur commun. La figure ci-dessous montre pourquoi l'addition de fractions avec des dénominateurs différents est incorrecte.

    Je suis d'accord avec le commentaire de Mike. En lisant l'article, j'ai réfléchi à la façon dont les élèves pourraient également arriver à inverser et multiplier par une fraction en explorant les modèles de division de nombres entiers par des fractions. Les élèves pourraient rechercher et utiliser une structure lorsqu'ils passent d'un nombre entier/une fraction à une fraction/une fraction. Couplé à un contexte, les étudiants acquerront une grande compréhension de ce concept.

    J'ai oublié de mentionner ce qui suit dans mon premier commentaire!

    L'idée de créer ce raccourci est également basée sur la compréhension des fractions en tant que division (comme Julie l'a mentionné ci-dessus) et c'est pourquoi en 5e année, nous limitons les élèves à la division des nombres entiers par des fractions unitaires et des fractions unitaires par des nombres entiers. Si nous pouvons aider les élèves à comprendre que 1/4 signifie la même chose que diviser par 4, alors créer ce tout pour le dénominateur est tellement plus logique parce que je sais que pour obtenir un tout, j'ai besoin de quatre quarts (donc multipliez par 4).

    Excellent article, Graham. Une chose importante à noter, je pense, est que les modèles que vous avez créés pour la compréhension de vos lecteurs ont été créés sur la base de vos efforts pour mieux comprendre cela. Pour que les étudiants fassent cela, ils ont besoin d'un contexte – et vous obtenez cela plus que n'importe qui que je connais. Enseigner ces procédures sans construire la compréhension qui les sous-tend peut être aussi dommageable que K-C-F.

    Place à Mike ! Le contexte rend cette idée beaucoup plus accessible aux étudiants. Heureux que vous ayez sonné ici mon pote, bravo !

    Merci pour cette progression réfléchie (ainsi que les autres) qui ont été bénéfiques pour les enseignants. Un commentaire que j'ai est que dans votre modèle, vous modifiez la taille de l'ensemble pour créer des "dénominateurs communs" qui, je pense, sont très bien traités dans le post de Fawn, mais si d'autres ne reviennent pas et ne les lisent pas. pensez intentionnellement à la taille de l'ensemble avec lequel ils commencent. Dans votre image, vous utilisez un rectangle proportionnel à vos originaux, mais ce concept vient plus tard. Merci pour votre travail à ce sujet.

    Un si bon point Kristin. J'espère que les gens reviendront et liront le post de Fawn, mais on ne sait jamais. Vous pouvez conduire un cheval à l'eau…..

    Personnellement, j'aime ça, mais je doute de la façon dont cela fonctionnerait avec mes élèves de sixième année. Peut-être que cela varie selon le district, mais je ne pense pas que mes élèves connaissent du tout les fractions complexes comme celle-ci. En fait, ils semblent choqués que les fractions et la division soient même liées (même si, comme vous le soulignez, 5.NF.3 aurait dû couvrir cela), et ne connaissent pas les réciproques jusqu'à ce que je les enseigne. Cependant, ils ont généralement une bonne compréhension des modèles visuels de fractions et de la signification des fractions en tant que part d'un ou de plusieurs touts.

    Je suis d'accord avec les deux premiers commentaires — le nombre entier divisé par la fraction unitaire est un excellent point de départ. Ensuite, je leur fais parcourir un nombre entier divisé par une fraction non unitaire (par exemple, il doit y avoir 1/3 autant de 3/5 dans quelque chose qu'il y a 1/5, car 3/5 est 3 fois plus grand). Une fois que nous avons établi le concept selon lequel diviser par une fraction (ou un nombre entier) équivaut à multiplier par son inverse, nous faisons quelques exemples simples de fraction divisée par fraction pour démontrer que les mêmes idées s'appliquent.

    Mon sentiment personnel est que si nous enseignions / mettions l'accent sur le concept d'opérations inverses plus tôt et mieux, les calculs de fractions seraient plus faciles à travailler et à comprendre qu'avec les modèles visuels sur lesquels les programmes de Common Core et / ou de mon district insistent si fortement. . J'aime les modèles visuels jusqu'à un certain point (y compris pour un nombre entier divisé par une fraction d'unité), mais cela me frustre que les enfants restent souvent coincés dessus même au-delà du point où ils sont inexacts et difficiles à comprendre. Si mes enfants avaient plus de connaissances de base sur les fractions en tant que division et multiplication et la division en tant qu'inverses les unes des autres, je préfère l'enseigner à votre façon.

    Merci Julie d'avoir partagé vos idées.
    Personnellement, je ne voudrais pas que les élèves de 5e année comprennent les fractions complexes, mais je pense que l'on devrait s'attendre à ce que les élèves aient eu amplement le temps d'explorer les fractions avant d'atteindre la 7e année.
    Le manque d'exploration dans les classes élémentaires est ce qui tue notre compréhension fractionnaire. Je pense vraiment que le principal problème sous-jacent ici est la ruée vers la pensée procédurale par opposition à la pensée des fractions comme parties du tout. Je pense que l'idée d'enseigner l'inverse dans les premières années serait trop abstraite pour que de nombreux étudiants puissent la comprendre, sans parler de la lutte, mais je pourrais être seule. Je n'ai jamais essayé, donc c'est difficile de passer cet appel. Mes roues tournent….merci.

    Essayez d'utiliser le programme Engage NY ou des parties de celui-ci si votre district vous permet d'utiliser d'autres ressources ou de compléter votre programme. Ils font un bon travail en introduisant les concepts sous-jacents des fractions. Vous aurez cependant besoin d'enseigner la compréhension conceptuelle de la division des fractions.

    J'ai hâte de partager cela avec mes professeurs. J'aime particulièrement l'idée de multiplier par le nombre qui fait le dénominateur en un (l'inverse du dénominateur).

    Le mar. 2 août 2016 à 14h00, Questioning My Metacognition a écrit :

    > gfletchy a posté : “En tant qu'enseignants du primaire, nous avons rarement l'occasion > d'explorer la division d'une fraction par une fraction. Lorsque nous le faisons, il est normalement > accompagné de Keep-Change-Flip ou du dicton "Yours n'est pas la raison > pourquoi, il suffit d'inverser et de multiplier.” Les deux sont conceptuels” >

    J'adore entendre comment ça se passe Susan. Veuillez partager tout ce que vous pouvez après l'avoir pris pour un essai routier.

    Je commencerais par de nombreux exemples de nombres entiers divisés par (quel que soit le mot pour) des fractions avec 1 au numérateur.

    Exactement le commentaire que j'allais laisser. Cela a tellement de sens que 3/ 1/2 est 6 ou 2 / 1/4 est 8. Vous pouvez le voir !

    Lorsque les mathématiciens donnent un sens à cela, ils utilisent beaucoup l'idée inverse. 2 / 1/4 demande à quelles fois 1/4 fait 2 ? Quel que soit le 4 fois le 2.

    Rétroliens/Pingbacks

      - […] Je vais vous diriger vers le blog de Graham Fletcher, GFletchy. Plus tôt cette année, il a écrit sur sa méthode que I&hellip - […] était d'avoir un plan de cours détaillé et impeccable, j'ai donc trouvé et travaillé à travers Graham Fletcher’s Making Sense of&hellip

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    Solving Multi-Step Equations (12-2)

    Solving Multi-Step Equations

    Like Terms - terms taht have the same value and the same corresponding exponents.


    One-tenth

    Integers Are Suited To Describing Whole Numbers, But We Need To Talk About Fractions Of Things.

    Also, the integers are still arithmetically incomplete — while we can always add, subtract, or multiply two integers and get another integer, we cannot always get an integer by dividing two integers. 8 ÷ 5 makes no sense if all we have are whole numbers.

    To deal with this, we add 1/10, or 0.1, to our number line. With 0.1, and the powers of 0.1 — 0.01, 0.001, 0.0001, and so on, we can now represent fractions and decimals. 8 ÷5 is now just 1.6. Dividing any two integers (except for dividing by zero) gets us a decimal number that either terminates, like 1.6, or has a repeating digit, or pattern of digits: 1 ÷ 3 = 0.3333. with the 3's going out to infinity. These types of decimals are the nombres rationnels, since we can form them by taking fractions, or ratios, of two integers. The rational numbers are arithmetically closed - I can take any two rationals and add, subtract, multiply, or divide them, and get back another rational number.

    The rational numbers allow us to represent quantities between integers, or fractional quantities. If three friends and I are sharing a cake and splitting it up evenly, we each get 1/4, or 0.25, or 25% of the cake. The rationals help us start filling in the spaces between the integers on the number line.


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    Page No 21:

    Question 1:

    Classify the decimal form of the given rational numbers into terminating and non-terminating recurring type.

    i   13 5 ii   2 11 iii   29 16 iv   17 125     v   11 6

    Répondre:

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where m et m are non-negative integers.

    So, the decimal form of 13 5 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where m et m are non-negative integers.

    So, the decimal form of 2 11 will be non-terminating recurring type.

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where m et m are non-negative integers.

    So, the decimal form of 29 16 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where m et m are non-negative integers.

    So, the decimal form of 17 125 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where m et m are non-negative integers.

    So, the decimal form of 11 6 will be non-terminating recurring type.

    Page No 21:

    Question 2:

    Write the following rational numbers in decimal form.

    i   127 200     ii   25 99   iii   23 7   iv   4 5   v   17 8

    Répondre:

    i   127 200 = 127 200 × 5 5 = 635 1000 = 0 . 635

    ii   25 99 = 4 4 × 25 99 = 1 4 × 100 99 = 1 4 × 1 . 010101 . . . = 0 . 2525 . . . = 0 . 25 ¯ ​

    iii   23 7 = 3 . 2857142857 . . . = 3 . 285714 ¯ ​

    v   17 8 = 17 8 × 125 125 = 2125 1000 = 2 . 125 ​

    Page No 21:

    Question 3:

    Write the following rational numbers in p q form

    Répondre:

    i   Let   x = 0 . 6 °               . . . 1 x = 0 . 666 . . . Multiplying   both   sides   by   10 ,   we   get 10 x = 6 . 666 . . .                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 9 x = 6 ∴   x = 6 9 So ,   0 . 6 ° = 2 3

    ii   Let   x = 0 . 37 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 37 . 37 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 37 ∴   x = 37 99 So ,   0 . 37 ¯ = 37 99 ​

    iii   Let   x = 3 . 17 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 317 . 17 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 314 ∴   x = 314 99 So ,   3 . 17 ¯ = 314 99 ​

    iv   Let   x = 15 . 89 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 1589 . 89 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 1574 ∴   x = 1574 99 So ,   3 . 17 ¯ = 1574 99 ​

    v   Let   x = 2 . 514 ¯                     . . . 1 Multiplying   both   sides   by   1000 ,   we   get 1000 x = 2514 . 514 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 999 x = 2512 ∴   x = 2512 999 So ,   2 . 514 ¯ = 2512 999 ​

    Page No 25:

    Question 1:

    Show that 4 2 is an irrational number.

    Répondre:

    Let us assume that 4 2 is a rational number.

    ⇒ 4 2 = p q , where p et q are the integers and q ≠ 0.

    Since, p, q and 4 are integers. So, p 4 q is a rational number.

    ⇒ 2 is also a rational number.

    but this contradicts the fact that 2 is an irrational number.

    This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 4 2 is a rational number.

    Hence, 4 2 is an irrational number.

    Page No 25:

    Question 2:

    Prove that 3 + 5 is an irrational number.

    Répondre:

    Let us assume that 3 + 5 is a rational number.

    ⇒ 3 + 5 = p q , where p et q are the integers and q ≠ 0.

    Since, p, q and 3 are integers. So, p - 3 q q is a rational number.

    ⇒ 5 is also a rational number.

    but this contradicts the fact that 5 is an irrational number.

    This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 3 + 5 is a rational number.

    Hence, 3 + 5 ​ is an irrational number.

    Page No 25:

    Question 3:

    Represent the numbers 5 and 10 on a number line .

    Répondre:

    (i) Steps of construction for 5 :

    Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

    Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

    Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point P.

    Thus, P is the point for 5 on the number line.

    (ii) Steps of construction for 10 :

    Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

    Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

    Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point C.


    Voir la vidéo: Multiplication et division de nombres entiers (Décembre 2021).